1、第二十八章第二十八章锐角三角函数锐角三角函数第1页28.2解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形第2页 新知新知1 1 解直角三角形常见类型及解法解直角三角形常见类型及解法图象象已知条件已知条件解法步解法步骤两两边两直角两直角边(如如a a,b b)斜斜边和一和一直角直角边(如如c c,a a)第3页 续表续表已知条件已知条件解法步解法步骤一一边一一角角一直角一直角边和一和一锐角角锐角、角、邻边（如（如A A,b b）锐角、角、对边(如如A,aA,a)斜斜边和一和一锐角（如角（如c c,A A）第4页 注意：注意：1.1.在碰到解直角三角形在碰到解直角三角形实际问题
2、时，最好是先画，最好是先画出一个直角三角形草出一个直角三角形草图，按，按题意意标明哪些元素是已知，明哪些元素是已知，哪些元素是未知，然后按先确定哪些元素是未知，然后按先确定锐角，再确定它角，再确定它对边和和邻边次序次序进行行计算算.2.2.若若题中无特殊中无特殊说明，明，“解直角三角形解直角三角形”即要求即要求出全部未知元素，其中已知条件中最少有一个条件出全部未知元素，其中已知条件中最少有一个条件为边.第5页 【例【例1 1】（滨滨州）在州）在RtRtACBACB中，中，C C=90=90，ABAB=10=10，sinsinA A=，coscosA A=，tantanA=A=，则则BCBC长为
3、长为（）A.6 A.6 B.7.5 B.7.5 C.8 C.8 D.12.5D.12.5 例题精讲例题精讲第6页第7页第8页 1.1.如如图图28-2-628-2-6，在直角，在直角BADBAD中，延中，延长长斜斜边边BDBD到点到点C C，使使DCDC=BDBD，连连接接ACAC，若，若tantanB B=，则则tantanCADCAD值值（）举一反三举一反三D D第9页 2.2.如如图图28-2-728-2-7，在，在ABCABC中，中，BACBAC=90=90，ABAB=ACAC，点，点D D为边为边ACAC中点，中点，DEDEBCBC于点于点E E，连连接接B BD D，则则tanta
4、nDBCDBC值为值为（）A A第10页 新知新知2 2 解直角三角形常看法法解直角三角形常看法法 解直角三角形解直角三角形问题，关，关键是正确利用直角三角形是正确利用直角三角形中中边角关系，同角关系，同时要注意利用勾股定理、代数式要注意利用勾股定理、代数式变形形及方程思想及方程思想.解非直角三角形解非直角三角形时，一定要，一定要经过作作辅助助线结构出直角三角形，将非直角三角形构出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角直角三角形三角形问题.第11页 注意：注意：1.1.熟熟练掌握掌握锐角三角函数概念，灵活利用特殊三角三角函数概念，灵活利用特殊三角函数角函数值来来处理相关理相关计算、求直角三角
5、形算、求直角三角形边和角等和角等问题，并能依据，并能依据实际情况情况结构出直角三角形，从而构出直角三角形，从而处理理问题.2.2.解答相关斜角解答相关斜角问题时，能灵活地将其，能灵活地将其转换为易易解答直角三角形解答直角三角形问题求解求解.第12页 【例【例2 2】如如图图28-2-828-2-8，已知，已知AOBAOB=60=60，点，点P P在在边边OAOA上，上，OPOP=12=12，点，点M M，N N在在边边OBOB上，上，PMPM=PNPN，若，若MNMN=2=2，则则OMOM=（）A.3 A.3 B.4 B.4 C.5 C.5 D.6D.6 例题精讲例题精讲第13页 解析解析 过
6、过点点P P作作PDPDOBOB，交，交OBOB于点于点D D，在直角三角，在直角三角形形PODPOD中，利用中，利用锐锐角三角函数定角三角函数定义义求出求出ODOD长长，再由，再由PMPM=P=PN N，利用三，利用三线线合一得到合一得到D D为为MNMN中点，依据中点，依据MNMN求出求出MDMD长长，由，由ODOD-MDMD即可求出即可求出OMOM长长.第14页 过过P P作作PDPDOBOB，交，交OBOB于点于点D D，如，如图图28-2-928-2-9所表示，所表示，在在RtRtOPDOPD中，中，cos60=cos60=，OPOP=12=12，ODOD=6=6，PPM M=PNP
7、N，PDPDMNMN，MNMN=2=2，MDMD=NDND=MNMN=1=1，OMOM=ODOD-MDMD=6-1=5.=6-1=5.答案答案 C C第15页 1.1.如如图图28-2-1028-2-10，在，在RtRtABCABC中，中，ACBACB=90=90，CDCDABAB，垂足，垂足为为点点D D，ABAB=c c，A A=，则则CDCD长为长为（）A.A.c csinsin2 2 B.B.c ccoscos2 2 C.C.c csinsintantan D.D.c csinsincoscos 举一反三举一反三D D第16页 2.2.如如图图28-2-1128-2-11，在，在ABC
8、ABC中，中，ABAB=ACAC=13=13，BCBC=10=10，点，点D D为为BCBC中点，中点，DEDEABAB于点于点E E，则则tantanBDEBDE值值等于（等于（）C C第17页 3.3.已知：如已知：如图图28-2-1228-2-12，ABCABC中，中，ACAC1010，sinsinC C=,sin=,sinB B=,求求ABAB.第18页第19页 1.1.解直角三角形解直角三角形问题问题，关，关键键是正确利用直角三是正确利用直角三角形中除直角外五个元素（三条角形中除直角外五个元素（三条边边和两个和两个锐锐角）之角）之间间关系，同关系，同时还时还要注意利用勾股定理，代数式
9、要注意利用勾股定理，代数式变变形及方形及方法思想法思想.2.2.解非直角三角形解非直角三角形时时，一定要，一定要经过经过作作辅辅助助线结线结构出直角三角形，将之构出直角三角形，将之转转化化为为直角三角形直角三角形问题问题.方法规律方法规律第20页 7.(67.(6分分)如如图图KT28-2-4,KT28-2-4,在在ABCABC中中,C C=90,=90,A A，B B，C C对边对边分分别为别为a a，b b，c c,且且b b=,=,A A平平分分线线ADAD=,=,解解这这个直角三角形个直角三角形.第21页第22页 8.8.（6 6分）台分）台风风是一个自然灾害，是一个自然灾害，它以台它
10、以台风风中心中心为圆为圆心在周心在周围围数十千米数十千米范范围围内形成气旋内形成气旋风风暴，有极暴，有极强强破坏力破坏力.如如图图KT28-2-5KT28-2-5，据气象，据气象观观察，距沿海察，距沿海某城市某城市A A正南方向正南方向220 km220 kmB B处处有一台有一台风风中心，其中心最大中心，其中心最大风风力力为为1212级级，每，每远远离台离台风风中心中心20 km20 km，风风力就会减弱一力就会减弱一级级，该该台台风风中心中心现现正以正以15 km/h15 km/h速度速度沿北偏沿北偏东东3030方向往方向往C C移移动动，且台，且台风风中心中心风风力不力不变变.若城市所受
11、若城市所受风风力到达力到达或超出四或超出四级级，则则称称为为受台受台风风影响影响.第23页 (1)(1)该该城市是否会受到城市是否会受到这这次台次台风风影响影响?请说请说明明理由理由.(2)(2)若会受到台若会受到台风风影响，那么台影响，那么台风风影响影响该该城市城市连续时间连续时间有多有多长长?(3)(3)该该城市受到台城市受到台风风影响最大影响最大风风力力为为几几级级?第24页 解：（解：（1 1）该城市受到此次台城市受到此次台风影响，理由影响，理由以下：以下：如答如答图28-2-228-2-2所表示，作所表示，作ADADBCBC于点于点D D，在直角三角，在直角三角形形ABDABD中，中
12、，ADAD=ABABsin30=sin30=ABAB=220=220=110 km110 km，台，台风中心与城市中心与城市A A最近距离最近距离为110 km110 km，城市，城市A A恰好受台恰好受台风影响影响时，城市所受，城市所受风力力为4 4级，距离恰，距离恰好好为（12-412-4）20=160 km20=160 km 因因为160 km160 km110 km110 km，所以，所以该城市受到此次城市受到此次台台风影响影响第25页第26页第27页 （3 3）当台）当台风中心位于中心位于D D处时，A A市所受市所受这次次台台风风力最大，其最大力最大，其最大风力力为12-12-6
13、6.5 5（级）第28页 7.(67.(6分分)如如图图KT28-2-11KT28-2-11，建筑物建筑物ABAB后有一座假山，其坡后有一座假山，其坡度度为为i i=1 =1 ，山坡上，山坡上E E点点处处有有一一凉亭，凉亭，测测得假山坡脚得假山坡脚C C与建筑与建筑物水平距离物水平距离BC=BC=25 m25 m，与凉亭距，与凉亭距离离CECE=20 m=20 m，某人从建筑物，某人从建筑物顶顶端端测测得得E E点俯角点俯角为为4545，求建筑物求建筑物ABAB高（注：坡度高（注：坡度i i是指坡面是指坡面铅铅直高度与水平直高度与水平宽宽度比）度比）第29页第30页第31页 8.(68.(6
14、分分)如如图图KT28-KT28-2-122-12所表示，某数学活所表示，某数学活动动小小组选组选定定测测量小河量小河对对岸大岸大树树BCBC高度，他高度，他们们在斜坡上在斜坡上D D处测处测得大得大树顶树顶端端B B仰角是仰角是3030，朝大，朝大树树方向下坡走方向下坡走6 m6 m抵达坡底抵达坡底A A处处，在，在A A处测处测得大得大树顶树顶端端B B仰角是仰角是4848，若坡，若坡角角FAEFAE=30=30，求大，求大树树高度高度.（结结果保留整数，参考数果保留整数，参考数据：据：sin480.74sin480.74，cos480.67cos480.67，tan48tan481.111.11，1.73 1.73）第32页解：如答解：如答图28-2-428-2-4所表示，所表示，过点点D D作作DGDGBCBC于点于点G G,DHDHCECE于点于点H H，则四四边形形DHCGDHCG为矩形矩形故故DGDG=CHCH，CGCG=DHDH，在在RtRtAHDAHD中，中，DAHDAH=30=30，ADAD=6=6，DH=DH=3 3，AHAH=3 =3 CGCG=3.=3.第33页第34页
