1、是说，不同领域的系统可能会遵循统一的发展规律。例如： 指数增长/衰减当系统中只含有一种元素，则系统演化方程（2）可简化为展开成泰勒级数，得 （3）若只保留级数的第一项，则有其解为这是指数曲线模型，当a10时，指数增长；当a10时，指数衰减。例如，生物细菌的繁殖、经济系统中复利的计算、放射性衰变、物种的灭绝等都符合这一规律。 S型饱和达到饱和当方程式（3）中的泰勒级数只保留两项时，则其解为它符合S型曲线模型，又称为逻辑斯蒂克（Logistic）曲线，存在某一极限值。例如，1938年费尔豪斯特对马尔萨斯人口模型加以修正后，所得到的人口增长模型就符合这一规律。 依存与竞争当系统中只有两种元素且所有系
2、数aij = 0（ij）时，令aii = ai，则系统演化方程变为 （4）其解为消去时间变量t，可简化得这称为比例增长模型。它表明了两个元素相互依存发展的关系。例如，经济中个人收入和国民收入间的比例增长关系就属于这种情况。若在方程（4）中再增加一个相关项，则系统演化方程变为当方程中的系数和在满足一定条件时，则体现了自然界中所普遍存在的竞争生存规律。（3） 目的性 由上述分析可见，系统可能随时间逐渐达到稳定的平衡态，或出现周期震荡，或永远达不到平衡态。这表明，系统似乎是朝着某种目标发展的，或者说现在发生的情况依赖于未来的最终状态，这就是所谓的目的性。例如，动物的羽毛和脂肪层的生长适合于身体保温。
3、（4） 层次性 层次性是指系统中存在一定的层次结构。例如，物质结构中分子、原子、原子核及电子的组成层次关系。（5） 动态性动态性是指任何系统都具有随时间演化、发展的性质。综上所述，一般系统论首次提出了应该从整体研究系统行为，并总结了一般系统所具有的一般性质和规律。尽管一般系统论中使用的数学工具和物理概念都过于简单，没有分析系统序演化的实质，但对系统演化模型的分析与归纳有助于启发后人的研究。2. 耗散结构理论1969年比利时物理学家普里高津（I. Prigogine）提出了“耗散结构理论”。他指出，一个孤立系统总是朝着均匀和无序的平衡态方向发展，直到系统的熵值增加到最大，此时系统达到平衡态；但对
4、于开放的非线性系统，由于它不断地与外界交换物质和能量，当系统远离平衡态且熵增小于零时，系统可能会从原有的混乱无序的状态演变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡态时所形成的新的有序结构就称为“耗散结构”。概括地说，产生耗散结构的条件是：（1） 开放系统系统必须不断地从外界摄取能量，以维持系统形成新的有序结构。（2） 远离平衡态系统处在近平衡时，实际上是处于线性区，系统总是趋于无序。只有远离平衡态，越出非平衡线性区，达到远离平衡态的非线性区，系统才能形成新的结构。（3） 涨落热力学系统失稳只是为系统演变准备了必要条件，而在远离平衡态的非线性区临界点附近，涨落可能不会被耗散掉，它
5、将促使系统进入到新的有序的耗散结构。普里高津领导的布鲁塞尔学派所构造的耗散结构理论模型为布鲁塞尔（Brusselator）模型，又称为三分子模型。它并非是一种实际存在的化学反应模型，其方程为式中，A、B、D、E、x、y为反应物、中间物或生成物；k1、k2、k3、k4为各方程反应速率。总之，耗散结构理论就是研究耗散结构的形成、性质、稳定性和演化规律的学说。其布鲁塞尔模型对我们了解极限环、非均匀定态、空间化学波等现象产生的条件，理解各种时空有序结构具有重要的理论意义。3. 协同学原理1969年德国物理学家哈肯（H. Haken）在研究激光形成原理的基础上提出了协同学的微观理论，并于1977年发表了
6、系统学导论一书，1983年又出版了高等协同学。协同学的含义是“协同工作”。协同学是系统自组织理论，其研究内容是关于系统的各个部分如何进行协作，并通过协作导致系统出现新的时间上、空间上或功能上的有序结构。从数学描述的角度而言，协同学所考虑的系统基本演化方程其中，N为非线性函数向量；q为状态变量，它与时间t和空间x有关；为微分算子；为控制参数，如贝纳德花纹受外界温差参数的控制；F(t)为系统内部的涨落力。通过对上述方程的研究，可以得出下列的协同学基本观点：（1） 协同导致有序； 为了研究系统中的协同作用是如何产生的，哈肯定义了两个系统的序参量快变量和慢变量（参见P28 line 612），并指出慢
7、变量是表示系统有序程度的序参量。若系统处于完全无序的混沌状态时，其序参量为零；在接近系统演化的临界区时，序参量迅速增大；进入临界区时，序参量达到最大值，从而导致系统出现新的有序结构。（2） 序参量支配着系统的行为，且序参量中快变量服从慢变量，这种观点又称为“支配原理”或“伺服原理”；（3） 多个序参量之间的关系是既竞争又协作，在不同的外部条件下其竞争与协作的结果是形成新的有序结构；（4） 涨落是系统形成有序结构的内部决定因素；通常，系统的随机涨落对系统的演化基本不起作用，但在临界区时涨落得到放大，从而触发系统形成新的有序结构，并达到新的平衡状态。综上所述，协同学理论表明系统的序参量及支配原理对
8、系统的演化与发展起到了决定性作用。这种观点在当今的经济学、社会学、生物学等诸多学科领域都得到了广泛应用。例如，产品市场的分布和分工、城市的形成和变迁、激光现象、化学钟等都可以用协同学的观点来进行分析。4. 突变论突变论是由法国数学家托姆（R. Thom）于1965年创立的。它是研究突变现象的数学理论。所谓突变现象，是指在短时间内系统状态突然发生极大变化的现象，如地震、火山爆发、桥梁坍塌、股市暴跌、政治危机等。突变论中采用了一个和动力系统关联的势函数V(x)来描述系统的突变行为，并引入了如下的数学定义：若有状态空间X，xX，控制参数空间，则集合就确定了一个突变流形，且突变集合是由M在空间上投影中
9、的临界点所组成的。突变论认为突变现象的本质是系统从一个稳定状态到另一个稳定状态的跃迁，并指出自然界中的一切突变形式都可以通过系统的控制参数空间和状态空间X的维数来进行分类，而突变模式的总数完全由控制参数空间的维数来决定。上述这种观点又称为分类定理。托姆根据发生突变时控制参数在其所在空间上的形状来命名各类突变模型（参见P20表2-2），如燕尾型突变模型、蝴蝶型突变模型等。总之，突变论研究了系统在连续作用下是如何导致不连续的突变结果的。它对于预见自然界和社会经济生活中某些突变现象所带来的灾难性后果具有积极影响。5. 混沌理论长期以来，人们一直被一类现象所困扰，也就是对于非线性确定系统来说，它的解有
10、时会表现出异常的随机性，即不存在一个稳定的终态。因此，当时人们就把这类系统以及相应的方程分别称为“病态系统”、“病态方程”，并将这类现象表现出的标志性符号称为“混沌吸引子”或“奇怪吸引子”，例如，类似猫头鹰脸的劳伦兹吸引子（参见P25图2-14）。经过近百年的研究，直到20世纪70年代人们才逐渐认识到，非线性确定系统表现出的这种终态不稳定现象是由于系统内在的随机性造成的，并将这种现象命名为“混沌”。早期具有代表性的混沌理论数学模型是Logistic（逻辑斯蒂克）方程其中，x为状态变量，其取值范围是01；为参数，其取值范围是04；n为迭代次数。该方程所描述的系统是以2、4、8、等倍周期分叉方式最
11、终进入混沌状态的。经过研究，人们发现从表面上看混沌现象处于一种简单而杂乱无章的无序状态，实际上它具有一定的普适性和自相似性。此外，混沌理论还指出，系统的有序和无序状态是互补的，混沌也是一种“正常”状态。当外界控制不断改变时，任何系统大多会经历从无序（混沌）到有序，从有序到有序，再从有序到无序的混沌过程。通过对混沌理论的研究，进一步深化了人们对系统及其演化方式的认识，并将其应用到许多学科领域，如金融市场的股票价格波动的研究。- 2-8 - 2012年 硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学三考试科目：微积分线性代数概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时
12、间为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分约56线性代数约22%概率论与数理统计22四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性单调性周期性和奇偶性 复合函数反函数分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准
13、则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系2了解函数的有界性单调性周期性和奇偶性3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念5了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念6了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法7理解无穷小的概念和基本性质掌握无穷小量的比较方法了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系8理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判
14、别函数间断点的类型9了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理介值定理)，并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（LHospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含
15、边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程2掌握基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数4了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分5理解罗尔（Rolle）定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用6会用洛必达法则求极限7掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用8会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数当时，
16、的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线9会描述简单函数的图形三、一元函数积分学考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法
17、和分部积分法3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题4了解反常积分的概念，会计算反常积分四、多元函数微积分学考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值最大值和最小值 二重积分的概念基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分考试要求1了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义2了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质3了解多元函数偏导数与全微分的
18、概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数4了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题5了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标）了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算五、无穷级数考试内容 常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级杰的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收
19、敛半径收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1了解级数的收敛与发散收敛级数的和的概念2了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数6了解及的麦克劳林（Maclaurin）展开式六、常微分方程
20、与差分方程考试内容 常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的微分方程齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3会解二阶常系数齐次线性微分方程4了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6了解一阶常系数线性差分方程的求
21、解方法7会用微分方程求解简单的经济应用问题线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价 分块矩阵及其运算考试要求1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的
22、幂与方阵乘积的行列式的性质3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组 等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则2理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，
23、掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法3理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩4理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5了解内积的概念掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法四、线性方程组考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程
24、组的基础解系和通解的求法4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的
25、秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形3.理解正定二次型正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算2理解概率
26、、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Pois
27、son）分布及其应用3掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布4理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为 5会求随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分
28、布和条件分布3理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系4掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义5会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2会求随机变量函数的数学期
29、望3了解切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗拉普拉斯（De MoivreLaplace）定理 列维林德伯格（LevyLindberg）定理考试要求1了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）2了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率六、数理统计的基本概念 考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数 样本均值样本方
30、差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表3掌握正态总体的样本均值样本方差样本矩的抽样分布4.了解经验分布函数的概念和性质七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1了解参数的点估计、估计量与估计值的概念2掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法策能产生决定性作用，利益集团垄断了公众接近政府权力的途径，并为政府腐败提供了土壤。探究题（本题18分）37.（
31、1）经济全球化为我们经济发展提供了广阔的空间，世博会的举办是我国积极参与国际经济竞争与合作的结果；改革开放解放和发展了生产力，提高了我国的综合国力为世博会的举办提供了物质基础；社会主义市场经济能够发挥国家集中人力、物力、财力办大事的优势。(2)跟贴认识到了经济发展对提高文化软实力的决定作用+但没有认识到文化软实力的提高还需要其他条件。提升我国文化软实力还要：充分发挥世博会的产业引领功能，更好实现文化与经济、政治的交融发展，增强我国的综合国力；充分发挥世博会的文化交流与传播功能，推动中华文化走向世界，增强中华文化国际影响力；充分利用世博会的文化融汇契机，既要面向世界、博采众长，又要继承传统、推陈
32、出新，实现文化的创新；充分发挥世博会的文明推动功能，提高国民的科学文化修养和思想道德修养，培育既有民族性又有世界性的民族精神。（3）答案要求：列举的理念要吻合所列材料中反映的信息，依据的唯物辩证法原理要贴切，践行举措要联系自身实际、具体可行。 参考答案示例创新理念。辩证的否定观要求我们树立创新意识。我们要不断优化学习方式，积极参加研究性学习，提高创新能力。合作理念。联系的普遍性和客观性要求我们用联系的观点看问题。我们要树立合作意识，积极参加合作学习和社团活动，提高合作能力。第 7 页 共 7 页储储13%的企业表示，政府的帮助切实解决了融资难的问题，而对另外的75%的企业这种帮助效果不大，还有12%的企业没有得到任何的帮助。
