1、数系的扩充与复数的引入 复 习 课 第三章 一、本章知识结构 虚数的引入 复 数 复数的表示复数的运算 代数表示几何表示代数运算几何意义 1、我们为解决负数开方的问 题引入虚数单位i，把形如 a+bi（a，bR）的数叫做复 数，数系由实数集扩充到复数 集，实现了数系的扩充。 n结构图简析 n结构图简析 n2、建立复数的概念之后， 我们主要研究了复数的代数 形式及其运算，复数的几何 表示（复平面上的点、向量 ），复数运算的几何意义。 本课复习要点： n1复数的有关概念 n2复数的代数运算 n3复数的几何意义 问题问题1 1 设复数设复数z= z= (m(m 2 2 2m2m 3)+3)+ (m(
2、m 2 2 +3m+2)i+3m+2)i，试求实数试求实数m m取何取何 值时。值时。 （1 1） z z是实数；是实数； （2 2） z z是虚数；是虚数； （3 3） z z是纯虚数；是纯虚数； 1复数的有关概念 复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b 分别称为复数a+bi的实部与虚部。 当b=0时，a+bi就是实数， 当b0时，a+bi是虚数， 其中a=0且b0时称为纯虚数。 背景知识 问题2 设x，yR，并且 (2x1)+xi=y(3y)i， 求x，y。 解题总结： 复数相等 的问题 转化求方程组的解 的问题 一种重要的数学思想一种重要的数学思想转化思想 2.复数的代数运算
3、 n问题3 复数 等于（ ） n A.1i B.1+i n C.1+ i D.1i C 方法点拨在掌握复数运算法则的基 础上注意以下几点 n1. 的周期性 2. 3. n问题4 设z为虚数，且满足 求|z|。 n解法1 设 z=a+bi (a,bR且 nb0)， 解题总结 n解法入手容易、思路清楚，是我们 处理这类问题的常规方法，必须熟 练掌握。 方法与技巧共轭复数的性质 ，z是虚数 （1） （2 ） （3） （4） 问题5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m- 2)i在复平面内所对应的点位于第二 象限，求实数m的取值范围。 3、复数的几何意义 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 直
4、角坐标系中的点Z(a,b) x轴-实轴 y轴-虚轴 （数）（形） 复平面 一一对应 y x o b a Z(a,b) z=a+bi 复数的一个几何意义复数的一个几何意义 背景知识 n 复数z=a+bi n点Z(a,b） 向量 复数的另一几何表示复数的另一几何表示 C x y B 0 A 问题6 如图，已知复平面内一个平 行四边形的三个顶点O,A,B对应的复 数分别是0, 5+2i , -3+i ，求第四 个顶点C对应的复数. 解法1向量法 解法2几何法 平行四边形对角线互相平分 n如果复数z满足|z+i|+|zi|=2， 那么|z+i+1|的最小值是（ ） n A.1 B. C.2 D. 问题7 x y o 思想方法数形结合 回顾总结 n1.两个复数相等的充要条件是实现 把复数问题转化为实数问题的重要 途径，也是我们解决有关的方程、 不等式问题的重要依据。 n2.在熟练进行复数运算的同时，掌 握一些运算技巧方法，以求快速准 确地解答问题。 n3.复数的几何表示建立了复数与平 面图形、复数与向量沟通的桥梁， 由此我们可以方便地进行数形转换 ，寻找更为直观、方便的解题方法 与途径。 回顾总结
