1、.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要易拉罐饮料是平时常喝的饮料。单个易拉罐的形状无关大局，但是成千上万易拉罐的形状就直接影响生产销售的成本利益。因此，对易拉罐的形状、尺寸进行优化设计具有重要的现实意义。对于容量一定的易拉罐的形状和尺寸的最优化设计问题，本文采用多元函数求极值的方法以及利用求条件极值的方法算出了易拉罐的规格尺寸，通过与实际测量的规格尺寸的对照比较知道所建立模型是合理的。根据所建的模型，本文设计出了正椭圆形的易拉罐。有关结果如下： 对于一个355毫升的可口可乐易拉罐来说，它从盖顶到盖底的高度约为，中间胖的部分的高度约为，顶盖的直径约为，中间胖的部分直径约为，罐壁的厚度约为，顶盖的厚度
2、约为，易拉罐上部分圆台的高度约为，（以上数据均为本组亲手测量）。 对于问题二，本文建立了表面用料的体积的函数表达式和易拉罐容量体积约束条件，由条件极值计算得，实际测量值，得出理论计算值与实际测量数据相吻合，由此说明本文建立的模型比较合理。 对于问题三，本文结合问题二，进一步建立表面用料体积函数式，仍由条件极值算得=与实际测量数据也基本相吻合，进一步说明所建立的模型的合理性。 对于问题四，本文设计的易拉罐的形状是正椭圆柱形状。当它的容积一定，若长轴是短轴的倍，即，则短轴与高的比例为。这就是本文所设计的正椭圆柱形的易拉罐的尺寸和比例 对于问题五，我们根据以前的学习经验和现在参加数学建模的体验，谈了
3、自己对数学建模的认识。我们认为建模的难点是模型的假设，关键步骤是模型的建立。建模的实质就是将实际问题转化翻译成数学语言，然后归结为某一种方法来求解，再由实际中的数据检验这种方法求解问题的精确性，精确度高的可将这种方法，也就是数学模型推广到实际中去应用。关键词： 易拉罐 最优设计 条件极值 一、问题重述销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量它的各部分的直径、高度、密度 ，并列表说明；如果数据是查阅
4、资料得到的，那么注明出处。2设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。求它的最优设计。同样把所求结果与测量结果进行比较。4根据你对易拉罐的洞察和想象能力，自己设计一种易拉罐的形状和尺寸。5根据你们以前的学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述一下数学建模，它的关键步骤和难点。二、问题分析对于容积一定的容器，怎样设置它的规格尺寸，使该容器的表面用料最省。这一类问题可以转化为条件极值问题1。建立关于表面用料参量的优化函数表达式（或者是表面用料表面积或
5、者是表面的用料的体积）和容器容积的约束函数，利用条件极值求出易拉罐各部分的尺寸，与测量尺寸进行比较，说明其结果的合理性。同样，我们用条件极值问题自己设计了一种易拉罐的形状和尺寸。实际中的易拉罐各部分的直径、高度、厚度，我们可以用千分尺和游标卡尺测得。三、模型假设 1、对于问题二，我们假设易拉罐是一个正圆柱体。 2、对于问题三，我们假设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面是一个正圆柱体。四、符号说明 表示容量的容积 表示盖顶到盖底高度 表示顶盖的半径 表示中间胖的部分的半径 表示罐壁的厚度 表示上部分圆台的高度 表示易拉罐壳的用料体积 表示正椭圆柱的表面积 表示正椭圆柱椭圆的周长 表示椭圆的长轴 表
6、示椭圆的短轴 表示正椭圆柱的高五、模型的建立对于问题,设易拉罐为正圆柱体.罐壁的厚度,则顶盖的厚度则为,如图1（源程序见附录） 图1我们进行如下建模:设易拉罐所用材料的体积为,易拉罐的容积为,则 因为所以带的项可以忽略,因此记于是我们可以建立以下的数学模型:其中Vs是目标函数, 是约束条件,V是已知的.对于问题3,此时易拉罐上部分为正圆台2,下部分是一个正圆柱,如图2（源程序见附录）设圆台的高为,下部分圆柱盖底的半径为,同样可列出 图2 将代入上式,得 记于是,我们建立以下的数学模型: 其中是目标函数,是约束条件,V是已知的对于问题4,我们设计的易拉罐的形状是正椭圆柱形易拉罐.且长轴()与短轴
7、的比是,即,.设S为正椭圆柱形易拉罐表面积,V为该易拉罐的容积,为椭圆的周长.同样,我们也可以列出其中将，代入上面式子，得：记同理，我们可以建立数学模型 其中为目标函数，是约束条件，是已知的。六、模型的求解与检验问题1的求解：实际测量的355ml可口可乐易拉罐各部分的尺寸如图表1名称盖顶到盖底的高度（）中间胖部分的高度（）顶盖的直径胖的部分直径（）罐壁的厚度顶盖的厚度上部分圆台高度尺寸 图表1问题2，问题3，问题4的求解的思路是：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的元条件极值问题3，对于一元函数，我们可以对一元函数的极值问题进行求解。问题2的求解和检验：对问题2所建立的数学模型进
8、行求解，得：与实际测量的数据一致。为检验这个r确实使Vs达到极小，计算Vs的二阶导数由r0，知 0，从而，这个r能使Vs达到局部极小。问题3的求解和检验： 对问题3所建立的数学模型进行求解，得： ，与实际测量的数据基本吻合。 用上检验法，对求二阶导数，易知 ，这组解能使达到局部极小。 问题4的求解与检验：对问题4进行求解，得,也用上面的检验法，对求二阶导易知0(由),从而和是值能使达到局部极小。这就是本文用所建模型设计的正椭圆柱形易拉罐的尺寸和比例（以上计算过程均由软件4完成）七、模型的应用与推广生活中的优化规划问题处处存在。由此，我们经过研究，得出一个最优化的模型。其实人们正在不知不觉间应用
9、这个模型，比如茶杯，水杯的设计，玻璃啤酒瓶形状以及商品的包装箱设计等问题。同时，我们也可以根据本模型设计出许多更具有新颖性的事物。因此，本模型可以在生活和生产实际得到更为广泛的应用和推广。八、模型的评价与改进本文将容积的优化问题从理论上建立了一个数学模型，忽略了实际情况中的一些因素。实际情况中顶盖的四周有一个高约的凸起。而底盖也不是一个圆面，而是一个类似球冠的曲面。凸起的作用是增加视觉效果，迎合消费者的心理，给消费者一种易拉罐容积很大的错觉。底盖为曲面的作用是减少底面接触物体对易拉罐的冲撞，防止对底面大面积的冲撞而发生爆炸。对模型的改进可以从这两方面进行考虑。我的“数学建模”认识随着科学技术的
10、迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。数学建模也在教育界以及生活中得到了越来越广泛的普及。那么，什么是数学建模呢？我谈谈自己的看法。用数学去解决实际问题还需要在实际问题和数学理论和方法之间搭建桥梁，数学建模就是桥梁之一。确切地说，数学建模5就是通过对实际问题的分析，通过抽象和简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过某种“规律”建立变量和参数间的数学问题（我们也可以把实际问题“翻译”为数学问题，或称之为这一简化阶段的一个数学模型），在用精确或近似的数学方法求解之，然后把数学的结果“翻译”成普通又能懂的语言，并用现场实验数据或历史记录或其他手段来验证结果是否
11、符合实际并用来解决实际问题，这样的过程的多次执行和完善就是数学建模的全过程。这就是数学建模。这是参考专家的说法，我认为数学建模就是将实际问题转化成数学问题的思想去解决，然后再将这种数学思想运用到实际中去，也就是我们平时所说的，“从实践中来到实践中去”的思想。具体来说，数学建模的一般步骤6是：（一）模型准备。（二）模型假设（三）模型构成（四）模型的求解（五）模型的分析（六）模型的检验（七）模型的应用几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，在从数学模型回到现实对象的循环。难点是模型假设，关键步骤模型的构成，也即模型建立。根据对象的特征和模型目的，抓住问题的本质，忽略次要因素做出必要的合
12、理的假设。假设的不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型，假设过分详细，会使很难或无法继续下一步工作。模型的建立是很关键的。它用将普通语言表达的实际问题的主要方面用数学的语言表述为明确的数学问题，然后用数学的方法去解决去实现它们。建模给我们的体会是永远无穷的。“只有参加了建模，你才会认识到你的知识有多少的贫乏，你才会体会到世界是多么的精彩，数学有多精彩”这应该是所有参加建模人的共同感受。.施工总承包企业资质等级标准及其承包工程范围施工总承包企业资质等级标准及其承包工程范围一、房屋建筑工程施工总承包企业资质等级标准二、公路工程施工总承包企业资质等级标准三、铁路工程施工总承包企业资质等级标准四、港
13、口与航道工程施工总承包企业资质等级标准五、水利水电工程施工总承包企业资质等级标准六、电力工程施工总承包企业资质等级标准七、矿山工程施工总承包企业资质等级标准八、冶炼工程施工总承包企业资质等级标准九、化工石油工程施工总承包企业资质等级标准十、市政公用工程施工总承包企业资质等级标准十一、通信工程施工总承包企业资质等级标准十二、机电安装工程施工总承包企业资质等级标准一、房屋建筑工程施工总承包企业资质等级标准房屋建筑工程施工总承包企业资质分为特级、一级、二级、三级。特级资质标准：1、企业注册资本金3亿元以上。2、企业净资产3.6亿元以上。3、企业近3年年平均工程结算收入15亿元以上。4、企业其他条件均
14、达到一级资质标准。一级资质标准：1、企业近5年承担过下列6项中的4项以上工程的施工总承包或主体工程承包，工程质量合格。（1）25层以上的房屋建筑工程；（2）高度100米以上的构筑物或建筑物；（3）单体建筑面积3万平方米以上的房屋建筑工程；（4）单跨跨度30米以上的房屋建筑工程；（5）建筑面积10万平方米以上的住宅小区或建筑群体；（6）单项建安合同额1亿元以上的房屋建筑工程。2、企业经理具有10年以上从事工程管理工作经历或具有高级职称；总工程师具有10年以上从事建筑施工技术管理工作经历并具有本专业高级职称；总会计师具有高级会计职称；总经济师具有高级职称。企业有职称的工程技术和经济管理人员不少于3
15、00人，其中工程技术人员不少于200人；工程技术人员中，具有高级职称的人员不少于10人，具有中级职称的人员不少于60人。企业具有的一级资质项目经理不少于12人。3、企业注册资本金5000万元以上，企业净资产6000万元以上。4、企业近3年最高年工程结算收入2亿元以上。5、企业具有与承包工程范围相适应的施工机械和质量检测设备。二级资质标准：1、企业近5年承担过下列6项中的4项以上工程的施工总承包或主体工程承包，工程质量合格。（1）12层以上的房屋建筑工程；（2）高度50米以上的构筑物或建筑物；（3）单体建筑面积1万平方米以上的房屋建筑工程；（4）单跨跨度21米以上的房屋建筑工程；（5）建筑面积5
16、万平方米以上的住宅小区或建筑群体；（6）单项建安合同额3000万元以上的房屋建筑工程。2、企业经理具有8年以上从事工程管理工作经历或具有中级以上职称；技术负责人具有8年以上从事建筑施工技术管理工作经历并具有本专业高级职称；财务负责人具有中级以上会计职称。企业有职称的工程技术和经济管理人员不少于150人，其中工程技术人员不少于100人；工程技术人员中，具有高级职称的人员不少于2人，具有中级职称的人员不少于20人。企业具有的二级资质以上项目经理不少于12人。3、企业注册资本金2000万元以上，企业净资产2500万元以上。4、企业近3年最高年工程结算收入8000万元以上。5、企业具有与承包工程范围相
17、适应的施工机械和质量检测设备。三级资质标准：1、企业近5年承担过下列5项中的3项以上工程的施工总承包或主体工程承包，工程质量合格。（1）6层以上的房屋建筑工程；（2）高度25米以上的构筑物或建筑物；（3）单体建筑面积5000平方米以上的房屋建筑工程；（4）单跨跨度15米以上的房屋建筑工程；（5）单项建安合同额500万元以上的房屋建筑工程。2、企业经理具有5年以上从事工程管理工作经历；技术负责人具有5年以上从事建筑施工技术管理工作经历并具有本专业中级以上职称；财务负责人具有初级以上会计职称。企业有职称的工程技术和经济管理人员不少于50人，其中工程技术人员不少于30人；工程技术人员中，具有中级以上
18、职称的人员不少于10人。企业具有的三级资质以上项目经理不少于10人。3、企业注册资本金600万元以上，企业净资产700万元以上。4、企业近3年最高年工程结算收入2400万元以上。5、企业具有与承包工程范围相适应的施工机械和质量检测设备。承包工程范围：特级企业：可承担各类房屋建筑工程的施工。一级企业：可承担单项建安合同额不超过企业注册资本金5倍的下列房屋建筑工程的施工：（1）40层及以下、各类跨度的房屋建筑工程；（2）高度240米及以下的构筑物；（3）建筑面积20万平方米及以下的住宅小区或建筑群体。二级企业：可承担单项建安合同额不超过企业注册资本金5倍的下列房屋建筑工程的施工：（1）28层及以下
19、、单跨跨度36米及以下的房屋建筑工程；（2）高度120米及以下的构筑物；（3）建筑面积12万平方米及以下的住宅小区或建筑群体。三级企业：可承担单项建安合同额不超过企业注册资本金5倍的下列房屋建筑工程的施工：（1）14层及以下、单跨跨度24米及以下的房屋建筑工程；（2）高度70米及以下的构筑物；（3）建筑面积6万平方米及以下的住宅小区或建筑群体。注：房屋建筑工程是指工业、民用与公共建筑（建筑物、构筑物）工程。工程内容包括地基与基础工程，土石方工程，结构工程，屋面工程，内、外部的装修装饰工程，上下水、供暖、电器、卫生洁具、通风、照明、消防、防雷等安装工程。二、公路工程施工总承包企业资质等级标准公路
20、工程施工总承包企业资质分为特级、一级、二级、三级。特级资质标准：1、企业注册资本金3亿元以上。2、企业净资产3.6亿元以上。3、企业近3年年平均公路工程结算收入15亿元以上。4、企业其他条件均达到一级资质标准。一级资质标准：1、企业近10年承担过下列4项中的3项以上所列工程的施工，工程质量合格。（1）累计修建一级以上公路路基100公里以上；（2）累计修建高级路面400万平方米以上；（3）累计修建单座桥长500米或单跨跨度100米的公路特大桥6座以上；（4）完成过单项合同额1亿元以上的公路工程3个以上。2、企业经理具有10年以上从事工程管理工作经历或具有高级职称；总工程师具有15年以上从事公路工
21、程施工技术管理工作经历并具有本专业高级职称；总会计师具有高级会计职称；总经济师具有高级职称。企业有职称的工程技术和经济管理人员不少于300人，其中工程技术人员不少于200人。工程技术人员中，具有高级职称的人员不少于20人，其中具有公路工程系列高级职称的人员不少于15人；具有中级职称的人员不少于80人，其中具有公路工程系列中级职称的人员不少于50人。企业具有的本专业一级资质项目经理不少于15人。 3、企业注册资本金6000万元以上，企业净资产8000万元以上。4、企业近3年最高年公路工程结算收入4亿元以上。5、企业具有与承包工程范围相适应的施工机械和质量检测设备，并至少具有：（1）160吨/小时
22、以上沥青混凝土拌和设备3台，120立方米/小时水泥混凝土拌和设备及60吨/小时以上水泥混凝土拌和设备各1台或60吨/小时以上水泥混凝土拌和设备3台，300吨/小时以上稳定土拌和设备4台；（2）摊铺宽度12米的沥青混凝土摊铺设备2台，摊铺宽度8米以上的沥青混凝土摊铺设备4台；（3）120千瓦以上平地机5台；（4）1立方米以上挖掘机5台；（5）100千瓦以上推土机5台；（6）各型压路机20台（其中沥青混凝土压实设备10台，大型土方振动压实设备10台）；（7）扭矩200千牛米以上的钻机2台；（8）80吨以上自行式架桥机2套；（9）50吨以上吊车3台；（10）水泥混凝土泵车4台；（11）隧道凿岩台车2
23、台，水泥混凝土喷射泵4台，压浆设备2台。二级资质标准：1、企业近10年承担过下列4项中的3项以上所列工程的施工，工程质量合格。（1）累计修建二级以上公路路基150公里以上；（2）累计修建高级、次高级路面200万平方米以上；（3）累计修建单座桥长100米，或单跨跨度40米的公路大桥4座以上；（4）完成过单项合同额5000万元以上的公路工程3项以上。2、企业经理具有8年以上从事工程管理工作经历或具有中级以上职称；技术负责人具有10年以上从事公路工程施工技术管理工作经历并具有本专业高级职称；财务负责人具有中级以上会计职称。企业有职称的工程技术和经济管理人员不少于180人，其中工程技术人员不少于120
24、人；工程技术人员中，具有公路工程系列高级职称的人员不少于10人，具有公路工程系列中级职称的人员不少于30人。企业具有的本专业二级资质以上项目经理不少于10人。3、企业注册资本金3000万元以上，企业净资产4000万元以上。4、企业近3年最高年公路工程结算收入2亿元以上。5、企业具有与承包工程范围相适应的施工机械和质量检测设备，并至少具有：（1）120吨/小时以上沥青混凝土拌和设备1台，60立方米/小时以上水泥混凝土拌和设备1台，300吨/小时以上稳定土拌和设备2台；（2）摊铺宽度8米以上沥青混凝土摊铺设备2台；（3）120千瓦以上平地机3台；（4）1立方米以上挖掘机3台；（5）100千瓦以上推土机3台；（6）各型压路机10台（其中沥青混凝土压实设备4台，大型土方振动压实设备2台）；（7）扭矩20
