1、返回上下目 高等数学多媒体课件 牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz） 1 返回上下目 第一节 导数概念 第二章 三、导数的几何意义 二、导数的定义 一、引 例 四、函数的可导性与连续性的关系 五、小结与思考题 （The Concept of Derivative） 2 返回上下目 一、引 例（Introduction） 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 3 返回上下目 曲线在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 2. 曲线的切线斜率 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 4
2、返回上下目 瞬时速度 切线斜率 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 5 返回上下目 二、导数的定义（Definition of Derivatives） 1. 函数在一点的导数与导函数. 定义1 设函数在点 存在,并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 即 6 返回上下目 若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在 若函数在开区间 I
3、 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 注意: 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 7 返回上下目 由此可见， 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 8 返回上下目 (C 为常数) 的导数. 解: 即 例2 求函数 解: 例1 求函数 2. 求导数举例. 9 返回上下目 对一般幂函数( 为常数) 例如， （以后将证明） 说明： 10 返回上下目 类似可证得 : 例3 解: 即 11 返回上下目 例4 解: 即 第1章第9节例6 特别的， 12 返回上下目 例5 解： 即 13 返回上下目 在点的某个右 邻域内 若极限 则
4、称此极限值为在 处的右 导数,记作 (左) (左) 定义2 设函数 有定义, 存在, 3. 单侧导数. 在点可导的充分必要条件注1： 函数 且 是 注2： 若函数 与 在开区间 内可导, 且 都存在 , 则称在闭区间 上可导. 14 返回上下目 在 x = 0 不可导. 例6 证明函数 证: 因此，函数在 x = 0 不可导. 15 返回上下目 三、导数的几何意义（Geometric Interpretation） 曲线在点的切线斜率为 若曲线过上升; 若曲线过下降; 若切线与 x 轴平行,称为驻点; 若切线与 x 轴垂直 . 曲线在点处的 切线方程: 法线方程: 16 返回上下目 哪一点有垂
5、直切线 ? 哪一点处的切线 与直线平行 ? 写出其切线方程.（由本本例8改编） 解: 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 例7 问曲线 令得对应 则在点(1,1) , (1,1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 17 返回上下目 四、函数的可导性与连续性的关系 定理 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 故 即 所以函数在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导. 18 返回上下目 例8 解： 在 处的讨论函数 是有界函数, 在 处连续性. 但在处有 当时， 在1和1之间振荡而极限不存在. 在 处不可导. 连续性与可导性. 19
6、 返回上下目 内容小结 1. 本节通过两个引例抽象出导数的定义： 20 返回上下目 2. 利用导数的定义得出以下导数公式： 3. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 4. 导数的几何意义: 切线的斜率; 5. 函数的可导性与连续性的关系： 可导必连续, 但连续不一定可导。 21 返回上下目 课后练习 习 题 2-1 1；4；5（偶数题）；10（2）；11 思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ? 与导函数 区别:是函数 , 是数值; 联系: 注意: ？ 22 返回上下目 3. 已知则 存在 , 则2. 设 4. 设存在, 求极限 解: 原式 23 返回上下目 , 问 a 取何值时,在 都存在 , 并求出 解: 故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 5. 设 24 返回上下目 解: 因为 存在, 且求 所以 6. 设 25 返回上下目 在 处连续, 且存在， 证明: 在处可导. 证：因为存在， 则有 又在处连续, 所以 即在处可导. 故 7. 设 26
