1、 5.4 5.4 广义坐标与广义力广义坐标与广义力 独立的虚位移数就是质系的自由度。 例如：沿曲面运动的质点有 个自由度。两 自由度自由度 N 是质点总数 r 是完整约束的总数 s 是非完整约束的总数 自由度数 第第4 4节节 广义坐标与广义力广义坐标与广义力 思考：虚功原理给出几个独立方程？ 2 能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为广义 坐标。例如单摆的摆角。 广义坐标数为 根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独 立参数 作为广义坐标，它们可以是距离、 角度、面积等。 广义坐标广义坐标 如果质点系只有完整约束，广义 坐标的变化就不再受任何约束限 制，广义坐标数与自由度相同。 3 利
2、用广义坐标描述质系运动完整约束自然满足 N = 2 r = 1+2 n = k = 3 O x y rl A B N = 2 r = 3+2 n = k = 1 k = 3 s = 1 n = 2 O x y v C O x y A B l 第第2 2节节 虚位移虚位移 4 刚体的自由度刚体的自由度 纯滚动的圆柱有 个自由度。 纯滚动的球有 个自由度。 三 一 思考题：1）纯滚的圆盘有几个自由度？ 2）自行车在粗糙地面上运动有几个自由度？ 自由刚体有 个自由度。六 自由刚体的位形可以用基点坐标(3个独立参数)和矩 阵A(3个独立参数)确定。 圆柱位形可用一个转角确定。 球的位形可用三个转角和球
3、心坐标(2个)确定 。 5 广义坐标形式的平衡方程广义坐标形式的平衡方程 6 O广义力是广义坐标和时间的函数。 O广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定 具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积 一定具有功的量纲。 具有完整理想约束的质系平衡的充要条件是所有 的广义力都等于零。 这是k个平衡方程。 称为对应广义坐标 qj 的广义力。 7 例例 8 例例1 1 均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度 为 和 ，重量均为 。在B端作用水平力 ， 以两杆与竖直方向夹角 为广义坐标，求相应的广 义力。 9 取a、b 为广义坐标 解（解析法）解（解析法） 10 解（解析法）解（解析法） 1
4、1 解解( (几何法几何法) ) 首先取 12 解解( (几何法几何法) ) 再取 13 例例2 2 惰钳机构由六根长杆和 两根短杆组成，长杆长 2a，短杆长a，各杆之间 用铰链相连。它在顶部 受力P的作用，问下部力 Q的大小为多少才能使 系统处于平衡状态。图 中 为已知角。 14 解解 取为广义坐标 由广义力等于零可得： 15 例例3 3 如图所示，圆柱半径为R，重为W，搁置在倾斜平 板AB上，ABl。B点用细绳拉在墙上。设各接触 点都是光滑的，求平衡时绳的拉力T。 16 解解 解除绳的约束，代之以约束 力T，作用在B处。取坐标系 Axy，主动力的虚功为： 取a 角为广义坐标，则 由广义力等于零可得： 17
