1、为平稳过程的平均功率 称 1 平均功率与功率谱密度的定义 四 平稳随机过程的功率谱密度 定义8 1 为平稳过程 的功率谱密度，简称自谱 密度或者谱密度。 称 谱密度 是从频率这个角度描述 的统计规律的主要数字特征,它是 的平均 功率关于频率的分布.具体看下面的性质。 2 2 功率谱密度的性质 从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时 间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功 率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字 特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在 某种关系。下面通过对 的性质的研究得到： 相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。 3 性质1 和自相关函数 是 一傅氏变换对
2、。即 称为维纳-辛钦公式。 4 维纳-辛钦公式又称为平稳过程 的相关函 数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度（ 即用相关函数 )和从频率角度（即用谱密 度 ）分别描述平稳过程的统计规律性之 间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体应 用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价的 频率域方法去解决问题。 性质2 是的实的、非负偶函数。 其中 实际上 5 性质3 平稳过程的平均功率可由谱密度的积分 表出： 即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值， 或等于它的谱密度在频域上的积分。 所以， 在 内的平均功率为: 6 在工程中，由于只在正的频率范围内进行 测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数
3、性质，可将负的频率范围内的值折算到正频 率范围内，得到所谓“单边功率谱”。 单边功率谱 定义为： 7 0 相应地 可称为“双边功率谱”它们 的图形关系如图所示。 8 式中 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所 以必须满足 ，且分母应该无实根。 性质4 有理谱密度是实际应用中最常 见的一类功率谱密度。其形式必为： 9 若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组） 例1 已知平稳过程的相关函数为： 求功率谱密度 10 例2 已知平稳过程 具有如下功率谱密度： 求平稳过程相关函数及平均功率 。 从本例的求解过程可
4、得 的谱密度: 11 五 白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就 12 是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认 为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而 改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这 种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以 它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种 常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分 量都有同样的功率。类似白光的
5、能谱在各种频 率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪声 ”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均值平 稳过程。即： 13 其相关函数为： 定义 一个均值为零，功率谱密度在整个 频率轴上为正常数： 的平稳过程 ，称为白噪声过程，简 称白噪声。 14 例5 设 为常数，A、B为相互 独立的随机变量，且 （1）证明 是平稳过程； （2）证明 具有均值各态历经性； （4）求 的谱密度。 （3）求 的平均功率； 15 解：(1) 为常数； 仅与 有关。 故 是平稳过程。 16 所以此平稳过程具有均值各态历经性； （2） 平均功率（3） 17 由表12.1之7知： （4） 18 今天作业 p87：1，2 P89：1-9 ； 19
