1、1 第10章 复杂体系的O(N)算法 1。引言 2。O(N)算法的物理基础 量子力学局域性 3。O(N)算法的基本策略 4。DFT框架下的O(N)算法 5。计算流程和主要步骤 2 1。引言 Order-N算法或O(N)算法的必要性 目前，DFT第一性原理计算方法，如fplapw, fplmto, Car- Parrinello, 从头赝势以及许多量子化学计算方法，对于由大 量原子组成的复杂体系已经不能满足需要。 原因是以上传统方法的数值运算工作量（操作数）Nat3。 即体系的原子数增加一倍，必须消耗8倍cpu时间。 研究计算操作数与体系原子数成比例的方法，即O(N)算法对 于研究复杂体系十分迫
2、切。 本章着重与分析O(N)算法的物理基础、实现O(N)算法的基 本策略以及把O(N)算法纳入DFT框架的方法。 3 2。O(N)算法的物理基础 量子力学局域性 1.Kohn的“近视原理(near-sightedness principle)” （Kohn, PRL 76, 3168 （1996） Kohn证明了如下原理：多电子体系的某部分的物理性质 ，不因远离它的区域有势的变化而受影响。 r v(r) r 考虑一个量子多粒子系，在r处的静态物理性质为F，它依赖 于r周围线度为的体积内的坐标，为de Broglie波长量级。 Kohn证明，F对于r处势的变化v(r)是不敏感的。所以， r处的势
3、保持不变，但比更远的区域会变。 v(r)=0 4 量子力学局域性 例：大多数量子力学静态性质有局域性： 1.分子或固体中的化学键 2.局域态密度 3.电荷密度分布 4.局域磁矩 5.结合能，。 它们都只依赖于几个近邻原子“壳层”内的局域环境。 2。局域性的描述 主要方案：采用局域化的Wannier函数和密度矩阵方法。 Wannier函数的衰减行为： 有带隙的绝缘体（1D, 3D, 无序，团簇，缺陷和表面），都有 指数衰减行为 5 局域性的描述 一般采用广义Wannier函数（GWF,wi, 非周期系 的局域Wannier函数）构造密度矩阵： N是体系每个自旋的电子数。因为wi是局域化的，将按|
4、r-r|衰 减。对于绝缘体和金属， |r-r|都表现出指数衰减率。T0时， 衰减甚至更迅速。 在DFT下，核心问题是使成为一个投影算符，其作用是把它 投射到占有态空间。这在数学上等价于要求 必须是等幂的 （Idempotent）,即要求其本征值在（0,1）区间。 如何把一个接近等幂的密度矩阵 变为等幂矩阵将在下面 介绍。 (10.1) 6 3。O(N)算法的基本策略 如何实现O(N)算法？ vi vi 根据Kohn近视原理，把体积为V的体系分成N个子体积vi(i-1.N) vi3. 在vi处取体积为vi的区域，它包括vi和一个缓冲区，然后 解出每一个vi的性质。如果vivi，那么vi内的性质是
5、相当精确 的。由于计算每一个vi的工作量完全独立于体系的大小，只要知 道vi内的资料即可。整个体系的大小vi的数目N, 于是得到线性 标度算法。 V=N*vi 7 O(N)算法的基本策略 考虑到处理波函数和密度矩阵的具体要求 ，已经提出了多种O(N)算法方案： 1. Fermi算符展开方法（FOE） 2. Fermi算符投影方法（FOP） 3. 分治（Divide and conquer, D&C）方法 4. 密度矩阵最小化方法（DMM） 5. 轨道最小化方法（OM） 6. 优化基密度矩阵最小化方法（OBDMM） 采用Chebyshev多 项式将DM展开 杨伟涛教授 与DFT密切结合 8 Mc
6、Weeny净化算法 McWeeny提出一种将接近等幂的密度矩阵 变换为更接 近等幂的密度矩阵的算法： 用和 分别表示和 的本征值，这两个本征值的关系 是 可见 所以，这种映射迭代将驱使本征值趋于0或1，由此得到符合 等幂要求的。 (10.2) (10.3) 9 LNV密度矩阵最小化方法 Li, Nunes, Vanderbilt (LNV)提出DMM方法，文 献上常称LNV方法。它所采用的净化方法有完全 不同的方式。其线性标度是通过对密度矩阵的空 间截断得到的。 Ref. Li, Nunes, Vanderbilt : Phys. Rev. B47, 10891 (1993) LNV方法已经在
7、TB方法的框架下得到广泛应用。 采用化学势固定使总能最小的方法。(后来发现， 固定化学势方法在实际计算上并不是最方便的)。 Ref. Nunes, Vanderbilt : Phys. Rev. B50, 17611 (1994) 10 线性标度的HGG方法-1 HGG（Hernndez-Gillan-Goringe）方法属于自 洽第一性原理方法，并与LNV方法密切相关。 方法的特点： 1.基态的描述：把DFT中关于总能Etot是KS占有轨 道i 或电子密度的泛函，等价地表述为密度矩阵 的泛函。并要求密度矩阵是等幂的。 2.采用局域化支持函数（support function）i和 空有限的分
8、参数矩Lij来表示密度矩。 3.用分法求能关于支持函数和Lij 均最小。 HGG方法采用的是固定子数而不是固定化学 。算上更方便。 11 线性标度的HGG方法-2 用KS占有轨道定义密度矩阵 由Etot关于最小化求基态，条件是(r,r)为等幂及电子数固 定。即 可以应用McWeeny净化方法，使密度矩阵达到等幂要求。 对于实际的第一原理计算，初始的 必须做成可分离 形式，HGG用支持函数i和局域变分参数Lij表示为 和 (10.4) (10.5) (10.6) (10.7) 12 线性标度的HG方法-3 净化之后称为等幂的密度矩阵 上式矩阵K与L的关系是： K = 3LSL - 2LSLSL
9、S 是交叠矩阵 为了实现线性标度算法，要求: 1。支持函数i 0, 只在某局域空间范围(称为支持区)之内。 2。Lij 0，只有当相应的区域以 截断距离Rcut被分离时。 由于密度矩阵的衰减行为上述条件一般都能满足。 (10.8) (10.9) (10.10) 13 线性标度的HG方法-4 以下的步骤就是采用变分法，在电子数固 定的条件下，求总能关于支持函数和L矩阵 为最小，由此得到真正基态能量的上限。 目前的O(N)算法，仅限于基态性质的研究 。 14 4。DFT框架下的O(N)算法 以上基本原理的实际执行，可以在LDA近似下采用 赝势法。但是，是在实空间的网格点上计算。 以每一个原子为中心
10、，取半径为Rreg的球作为支持区 。每一个支持区包含一定数量v的支持函数，并且各 区的v都一样。 实际执行表明，支持函数的总数 0.5Nel（val）。 在原来的方法中，每一个支持函数i(r)都用它在该 区的网格点rl 上之值i(rl)表示。后来发现这一方法 在动能计算精度及不同的网格点总能出现不连续性 等问题。新方法中采用一种局域函数将i展开。 15 支持函数的表达式 支持函数用局域化的基函数展开，他们称这种基函数为“ 视点函数（blip function)”。 Rin是第i个原子的支持区内的视点网格点（blip-grid）的位置。 在实际计算中，对i的变分采用对bin的变分。 计算方法中的
11、一个关键部分是对在积分网格上一组rl点的i(r) 计算。这些计算结果将用于矩阵元的计算。 从blip-grid上bin之值变换为积分网格上i(r)之值的效率是 借助于将视点函数写成如下乘积实现的： 其中x, y, z 是r的直角坐标，(x)被选择用B-spline工作。 (10.11) (10.12) 16 DFT框架下的O(N)算法-2 主要计算公式： 其中，动能（对所有网格点求和）： 其它三个能量全部依赖于rl 点上的电子密度 具体计算并不涉及特殊技巧，例如LDA交换关联能可对 求和得到。 (10.13) (10.14) (10.15) 17 DFT框架下的O(N)算法-3 通过变分法使总
12、能最小，在HGG方法中，采用共 轭梯度近似，涉及如下解析式： (10.16) (10.17) (10.18) (10.19) 18 以及 (10.20) (10.21) (10.22) (1023) 19 矩阵乘积中Hij是支持函数i 和j之间的 KS-Hamiltonian矩阵元。 线性标度来自支持函数的空间局域性。因 为支持函数之间的距离 超过某一截断距离时，H和S都将0。 20 DFT框架下的O(N)算法-4 用以上截断值到矩阵L上，Etot及其微商的 表达式中的所有矩阵都是稀疏矩阵。 稀疏矩阵的非0矩阵元的数目原子数（成 线性比例）。由此得到线性标度的算法。 O(N)算法正成为研究大原
13、子数复杂体系的 有力工具。 21 5。计算流程和主要步骤 1. 计算流程图 2. 主要计算步骤 22 1. General computational strategy . 计算E和dE/dL 选择L空间的搜索方向 E关于L最小化计算 检查E关于 L是否收敛 检查E关于 是攀眀愀瀀瀀栀琀洀氀冻洦栀浳5iwap前台访问/tag/lishixueshishime.html220.181.108.1080鵨崀礀眀愀瀀琀愀最焀椀猀栀椀稀栀椀渀愀栀琀洀氀冻栀5wap前台访问/tag/shandongchunkaoshuxuezhenti.html116.179.32.1050勈証鵨最眀愀瀀瀀栀琀洀氀冻栀
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