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弧 度 制
【知识梳理】
1．角度制与弧度制
(1)角度制．
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的作为一个单位．
(2)弧度制．
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
3．角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
4．弧度与角度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360＝2π rad
2π rad＝360
180＝π rad
π rad＝180
1＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝≈57.30
5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
弧度
0
π
6．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
【常考题型】
题型一、角度与弧度的换算
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72；(2)－300；(3)2；(4)－.
[解] (1)72＝72＝；
(2)－300＝－300＝－；
(3)2＝2＝；
(4)－＝－＝－40.
【类题通法】
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180是关键，由它可以得到：度数＝弧度数，弧度数＝度数．
【对点训练】
已知α1＝－570，α2＝750，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720～0范围内，找出与它们有相同终边的所有角．
解：(1)α1＝－570＝－＝－，
α2＝750＝＝.
∵α1＝－＝－22π＋，
α2＝＝22π＋，
∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．
(2)β1＝＝180＝108，
设θ＝k360＋108(k∈Z)，
则由－720≤θ<0，
得－720≤k360＋108<0(k∈Z)，
解得k＝－2或k＝－1，
∴在－720～0范围内，
与β1有相同终边的角是－612和－252；
β2＝－＝－180＝－60，
设γ＝k360－60(k∈Z)，
则由－720≤k360－60<0(k∈Z)，
得k＝－1或k＝0，
∴在－720～0范围内，
与β2有相同终边的角是－60和－420.
题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例2】 (1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
(1)[解析] 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝rl＝24＝4 cm2.
[答案] 4 cm 2
(2)[解] 设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是＝2(π－1)，
扇形的面积是Rl＝(π－1)R2.
【类题通法】
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
【对点训练】
已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，
从而S＝lr＝(30－2r)r＝－r2＋15r＝－2＋，所以，当r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.
题型三、用弧度制表示角的集合
【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[解] (1)如图①，330角的终边与－30角的终边相同，将－30化为弧度，即－，
而75＝75＝，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
(2)如图②，∵30＝，210＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
【类题通法】
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为.
在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
【对点训练】
以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．
解：在0到2π范围内，终边落在直线y＝－x上的角有两个，即π和π，所有与π终边相同的角构成的集合为S1＝，所有与π终边相同的角构成的集合为S2＝＝，∴终边落在直线y＝－x上的角的集合为S＝S1∪S2＝αα＝π＋nπ，n∈Z.
【练习反馈】
1．下列命题中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选D 根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B是正确的；1 rad的角是≈57.30，故C也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D错误．
2．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
3．－135化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135＝－135＝－π；
π＝180＝660.
答案：－π 660
4．把角－690化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
解析：法一：－690＝－＝－π.
∵－π＝－4π＋，∴－690＝－4π＋.
法二：－690＝－2360＋30，
则－690＝－4π＋.
答案：－4π＋
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝lR.
联立解得R＝1，l＝2，
∴α＝＝＝2.
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