1、88ln2（）令me（|a|+k），n（）2+1，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（k）0，存在x0（m，n），使f（x0）kx0+a，对于任意的aR及k（0，+），直线ykx+a与曲线yf（x）有公共点，由f（x）kx+a，得k，设h（x），则h（x），其中g（x）lnx，由（1）知g（x）g（16），又a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a3+4ln2+a0，h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，方程f（x）kxa0至多有一个实根，综上，a34ln2时，对于任意k0，直线ykx+a与曲线yf（x）有唯一公共点25已知函数f（x）x3a（x2+x+
2、1）（1）若a3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点【答案】见解析【解析】（1）当a3时，f（x）x33（x2+x+1），所以f（x）x26x3时，令f（x）0解得x3，当x（，32），x（3+2，+）时，f（x）0，函数是增函数，当x（32时，f（x）0，函数是单调递减，综上，f（x）在（，32），（3+2，+），上是增函数，在（32上递减（2）证明：因为x2+x+1（x+）2+，所以f（x）0等价于，令，则，仅当x0时，g（x）0，所以g（x）在R上是增函数；g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又因为f（3a1）6a2+2a6（a）20，f（3a+1）0，
3、故f（x）有一个零点，综上，f（x）只有一个零点26已知函数f（x）x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【答案】见解析【解析】（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）1+，设g（x）x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x
4、）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x21，则f（x1）f（x2）（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，则lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）2lnxx+，（0x1），其中h（1）0，求导得h（x）10，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立（2）另解：注意到f（）xalnxf（x），
5、即f（x）+f（）0，由韦达定理得x1x21，x1+x2a2，得0x11x2，x1，可得f（x2）+f（）0，即f（x1）+f（x2）0，要证a2，只要证a2，即证2alnx2ax2+0，（x21），构造函数h（x）2alnxax+，（x1），h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递减，h（x）h（1）0，2alnxax+0成立，即2alnx2ax2+0，（x21）成立即a2成立27已知函数f（x）ax33（a+1）x2+12x（1）当a0时，求f（x）的极小值；（）当a0时，讨论方程f（x）0实根的个数【答案】见解析【解析】f（x）3ax26（a+1）x+123（ax2）（x2）（1）当a0
6、时，令f（x）0，得x2或；当0a1时，有，列表如下：x（，2）2f（x）+00+f（x）极大值极小值故极小值为当a1时，有，则f（x）3（x2）20，故f（x）在R上单调递增，无极小值；当a1时，有，列表如下：x2（2，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值故极小值为f（2）124a（）解法一：当a0时，令f（x）3x2+12x3x（x4），得x0或x4，有两个根；当a0时，令f（x）0，得x2或，有，列表如下：x2（2，+）f（x）0+0f（x）极小值极大值故极大值为f（2）124a0，极小值，因此f（x）0有三个根解法二：当a0时，令f（x）3x2+12x3x（x4），得x0或x4，有
7、两个根；当a0时，f（x）xax23（a+1）x+12，对于二次函数yax23（a+1）x+12，x0不是该二次函数的零点，9（a+1）224a0，则该二次函数有两个不等的非零零点，此时，方程f（x）0有三个根28已知函数f（x）ex（exa）a2x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）0，求a的取值范围【答案】见解析【解析】（1）f（x）ex（exa）a2xe2xexaa2x，f（x）2e2xaexa2（2ex+a）（exa），当a0时，f（x）0恒成立，f（x）在R上单调递增，当a0时，2ex+a0，令f（x）0，解得xlna，当xlna时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当xln
8、a时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当a0时，exa0，令f（x）0，解得xln（），当xln（）时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当xln（）时，f（x）0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a0时，f（x）在R上单调递增，当a0时，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（，ln（）上单调递减，在（ln（），+）上单调递增，（2）当a0时，f（x）e2x0恒成立，当a0时，由（1）可得f（x）minf（lna）a2lna0，lna0，0a1，当a0时，由（1）可得：f（x）minf（ln（）a2ln（）0，ln（），2a0，综上所述a的取值
9、范围为2，129设函数f（x）（1x2）ex（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax+1，求a的取值范围【答案】见解析【解析】（1）因为f（x）（1x2）ex，xR，所以f（x）（12xx2）ex，令f（x）0可知x1，当x1或x1+时f（x）0，当1x1+时f（x）0，所以f（x）在（，1），（1+，+）上单调递减，在（1，1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）（1x）（1+x）ex下面对a的范围进行讨论：当a1时，设函数h（x）（1x）ex，则h（x）xex0（x0），因此h（x）在0，+）上单调递减，又因为h（0）1，所以h（x）1，所以f（x）（1+x）h（x）x+1
10、ax+1；当0a1时，设函数g（x）exx1，则g（x）ex10（x0），所以g（x）在0，+）上单调递增，又g（0）1010，所以exx+1因为当0x1时f（x）（1x）（1+x）2，所以（1x）（1+x）2ax1x（1axx2），取x0（0，1），则（1x0）（1+x0）2ax010，所以f（x0）ax0+1，矛盾；当a0时，取x0（0，1），则f（x0）（1x0）（1+x0）21ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是1，+）30已知函数f（x）excosxx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】（1
11、）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，可得曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为ke0（cos0sin0）10，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1；（2）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，令g（x）ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）ex（cosxsinxsinxcosx）2exsinx，当x0，可得g（x）2exsinx0，即有g（x）在0，递减，可得g（x）g（0）0，则f（x）在0，递减，即有函数f（x）在区间0，上的最大值为f（0
12、）e0cos001；最小值为f（）cos31已知函数f（x）ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【答案】见解析【解析】（1）解：因为f（x）ax2axxlnxx（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）axalnx0，求导可知h（x）a则当a0时h（x）0，即yh（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）0，矛盾，故a0因为当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）minh（），又因为h（1）aaln10，所以1，解得a1；另解：因为f（1）0，所以f（x）0等价于f（x）在x0时的
13、最小值为f（1），所以等价于f（x）在x1处是极小值，所以解得a1；（2）证明：由（1）可知f（x）x2xxlnx，f（x）2x2lnx，令f（x）0，可得2x2lnx0，记t（x）2x2lnx，则t（x）2，令t（x）0，解得：x，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）mint（）ln210，从而t（x）0有解，即f（x）0存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx00，所以f（x0）x0x0lnx0x0+2x02x0，由x0可知f（x0）（x0
14、）max+；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）2232已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）2【答案】见解析【解析】（1）解：因为f（x）lnx+ax2+（2a+1）x，求导f（x）+2ax+（2a+1），（x0），当a0时，f（x）+10恒成立，此时yf（x）在（0，+）上单调递增；当a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此时yf（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，解得
15、：x因为当x（0，）f（x）0、当x（，+）f（x）0，所以yf（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减综上可知：当a0时f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a0时f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减，所以当x时函数yf（x）取最大值f（x）maxf（）1ln2+ln（）从而要证f（x）2，即证f（）2，即证1ln2+ln（）2，即证（）+ln（）1+ln2令t，则t0，问题转化为证明：t+lnt1+ln2（*） 令g（t）t+lnt，则g（t）+，令g（t）0可知t2，则当0t2时g（
16、t）0，当t2时g（t）0，所以yg（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+）上单调递减，即g（t）g（2）2+ln21+ln2，即（*）式成立，所以当a0时，f（x）2成立33已知函数f（x）ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围【答案】见解析【解析】（1）由f（x）ae2x+（a2）exx，求导f（x）2ae2x+（a2）ex1，当a0时，f（x）2ex10，当xR，f（x）单调递减，当a0时，f（x）（2ex+1）（aex1）2a（ex+）（ex），令f（x）0，解得：xln，当f（x）0，解得：xln，当f（x）0，解得：xln，
17、x（，ln）时，f（x）单调递减，x（ln，+）单调递增；当a0时，f（x）2a（ex+）（ex）0，恒成立，当xR，f（x）单调递减，综上可知：当a0时，f（x）在R单调减函数，当a0时，f（x）在（，ln）是减函数，在（ln，+）是增函数；（2）若a0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a0时，f（x）ae2x+（a2）exx，当x时，e2x0，ex0，当x时，f（x）+，当x，e2x+，且远远大于ex和x，当x，f（x）+，函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（，ln）是减函数，在（ln，+）是增函数，f（x）minf（ln）a（）+（a2）ln0，1ln0，
18、即ln+10，设t，则g（t）lnt+t1，（t0），求导g（t）+1，由g（1）0，t1，解得：0a1，a的取值范围（0，1）方法二：（1）由f（x）ae2x+（a2）exx，求导f（x）2ae2x+（a2）ex1，当a0时，f（x）2ex10，当xR，f（x）单调递减，当a0时，f（x）（2ex+1）（aex1）2a（ex+）（ex），令f（x）0，解得：xlna，当f（x）0，解得：xlna，当f（x）0，解得：xlna，x（第13讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值【套路秘籍】一函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)
19、0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值三函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【套路修炼】考向一 单调区间【例1】求
20、下列函数的单调区间：（1）； （2）. （3）)f(x).【答案】见解析【解析】（1）由题意得.令，解得或.当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.令，解得.当时，函数为减函数.故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）函数的定义域为.令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)要使函数f(x)有意义，必须2xx20，即0x2.函数的定义域为0,2f(x)()(2xx2)(2xx2) .令f(x)0，则0.即0x1.函数的单调递增区间为(0,1)令f(x)0，则0，即1x2.函数的单调递减区间为(1,2)【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调
21、性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“”连接【举一反三】1函数y4x2的单调增区间为_【答案】【解析】由y4x2，得y8x(x0)，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.2函数f(x)xexex1的单调增区间是_【答案】(e1，)【解析】由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f(x)0
22、，解得xe1，所以函数f(x)的单调增区间是(e1，)3已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调减区间是_【答案】【解析】因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调增区间为和.考向二 极值【例2】求函数f(x)2的极值【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可以看出：当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大值，且
23、f(1)21.【套路总结】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值【举一反三】1求函数f(x)x33x29x5的极值【答案】见解析【解析】函数f(x)x33x29x5的定义域 为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下
24、表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.考向三 最值【例3】求下列各函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3(2)f(x)sin 2xx(x，)【答案】见解析【解析】(1)因f(x)x34x4，则f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)所以当x2时，f(x)x34x4有极小值，并且极小值为f(2).又由于f(0)4，f(3)1，因此，函
25、数f(x)x34x4在0,3上的最大值是4，最小值是.(2)f(x)2cos 2x1.令f(x)2cos 2x10，解得x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)由上表可知f(x)的最大值是，最小值是.【套路总结】一求函数f (x)在a，b上最值的方法（1）若函数f (x)在a，b上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f (x)在区间
26、(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.【举一反三】1求下列函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5【答案】见解析【解析】(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在区间3,1上的最大值为13，最小值为.(2)f
27、(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.考向四 利用导数判断图像【例4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是 【答案】B【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，故B符合.【举一反三】3.已知f(x)=14x2+sin2+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()【答案】A【解析】f(x)=14x2+sin2+x=14x2+co
28、s x,f(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f(x)=12-cos x,当-3x12,f(x)1时，y0；当x1时，y0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_(填序号)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】【解析】由题
29、图可知，当x0；当2x1时，f(x)0 当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 。【答案】(2,+)【解析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.6.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则 。A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0【答案】
30、A【解析】x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,f(1)=0,a+11=0,a=-1.f(x)=-1+1x=0x=1.当x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值-1.7.已知a为函数的极小值点，则a= 。【答案】2【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即.8已知函数，求函数在上的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】.当变化时，的变化情况如下表：1+00+递增极大值递减极小值递增因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，又，所以函数在上的最大值为2，最小值为.9已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值.
31、【答案】见解析【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.（2）由（1）知，.令，得.当时，故在上为增函数；当 时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时10.已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值【答案】a2，b9.【解析】f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)
32、为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值a2，b9.12.设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值【答案】见解析【解析】(1)因为f(x)aln xx1，所以f(x).因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，所以该切线斜率为0，即f(1)0，即a0，解得a1(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)
33、0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3. ，x24x44，若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为_18.已知函数f(x)2x，xR.(1)当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解？(2)若不等式f(x)2f(x)m0在R上恒成立，求m的取值范围.19.已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0，1)对称.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0，2上的值不小于6，求实数a的取值范围.籄籄的关系，得， 由，可得， 所以直线的方程为，所以直线恒过点， 所以，所以，即.所以，即.所以.经检验，符合题意，所以直线的方程为或.22（1）；（2）直线过定点.【解析】（1）由题意可知:， 解得：，故椭圆的标准方程为. （2）设当直线的斜率不存在时，轴,为等腰直角三角形，,又,又不与左、右顶点重合，解得，此时，直线
