1、专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求 提示：当p=3k1时，p10=3k11，p14=3(k5)，显然p14是合数，当p=3k2时，p10=3(k4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意例4 （1）因122004=2004（12004）=10022005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数 （2）因n是大于2的正整数，则17，1、1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故1与1中至多有一个数是质数 （3）设正整数a的所有正约数之和为b，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a由于中各分数分母的最小公倍数=a，故
2、S=，而a=360=，故b=（12）（13）（15）=1170=例5 由=，得xy=k（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tpy=2ty，得y=为整数又t与2t1互质，故2t1整除p，p为质数，所以2t1=1或2t1=p若2t1=，得t=1，x=y=p，与xy矛盾；若2t1=p，则=，2xy=p（xy）p是奇质数，则xy为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p令x=ap，ay=，2ay=apyy=，故a，2a1互质，2a1整除p，又p是质数，则2a1=p，a=，故x=，xy=。例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9
3、的绝对质数因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6故如下7个正整数： =L， =L， =L， 其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾A级11998 21 363 42000 5D 6A 7B8由r=pq可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为pq故p既是质数又是偶数，则p=29设十个连续合数为k2，k3，k4，k10，k11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，11的倍数即可10选甲提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，
4、3），（4，5），（6，7），（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数11设这块地面积为S，则S=（n124）=124 xy （x，y）=1（，）=1 （，）=1 得124124=31，=（xy）（xy），或，或（舍）此时n=900S=900=230400cm=2304m。B级119或252 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q3133 23 420015B 提示：唯有a=2，b=2089=20892048=41是质数，符合题意6A 提示：当a=3时，符合题意；当a3时，被3处余1，设=3n1，则78=2
5、1n15，87=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故a=37a，b，c，d都是偶数，即M=（abcd）是偶数因为=，所以=2（）是偶数，从而有abcd=M=2（）M，它 一定是偶数，但abcd2，于是abcd是个合数8取六个数aii(123456)1 (i1，2，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(52)123456，即3123456的一个因子，但从a221234561知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质9由pq1111且pq11是质数知，pq11必为正奇数，从而p2或q2 (1)若p
6、2，此时7pq及2q11均为质数设q3k1，则q143(k5)不是质数；设q3k2，则2q113(2k5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q3(2)若q2，此时7pq与2p11均为质数，设p3k1，则7p23(7k3)不是质数；设p3k2，则2p113(2k5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p3 综合(1)，(2)知p3，q2 或p2，q3，所以pq十qp 1710(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求 (2)不能办到 提示：若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，
