1、排列与组合一、选择题1某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A42 B30 C20 D12解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A A 12 种排法；若两个节目不相邻，则有 A 30 种排法由分类计数原理216 26共有 123042 种排法(或 A 42)27答案 A2 aN *，且 a20，则(27 a)(28 a)(34 a)等于( )AA BA CA DA827 a 27 a34 734 a 834 a解析 A (27 a)(28 a)(34 a)834 a答案 D
2、3从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有( )A252 个 B300 个C324 个 D228 个解析 (1)若仅仅含有数字 0，则选法是 C C ，可以组成四位数2314C C A 12672 个；23143(2)若仅仅含有数字 5，则选法是 C C ，可以组成四位数 C C A 1861081324 13243个；(3)若既含数字 0，又含数字 5，选法是 C C ，排法是若 0 在个位，有 A 6 种，1314 3若 5 在个位，有 2A 4 种，故可以组成四位数 C C (64)120
3、 个2 1314根据加法原理，共有 72108120300 个答案 B 42013 年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共 7 天某单位安排 7位员工值班，每人值班 1 天，每天安排 1 人若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )A1 440 种 B1 360 种C1 282 种 D1 128 种解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班” ，则安排方案有：A A 1 440 种，6 2如果“乙在正月初一值班” ，则安排方案有：C A A A 192 种，1 14 2 4若“甲在除夕值班” ，则“丙在初一值班” ，则
4、安排方案有：A 120 种5则不同的安排方案共有 1 4401921201 128(种)答案 D5某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有( )A16 种 B36 种 C42 种 D60 种解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 A 种方34法；若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两项共 C A 种方法，由分类计数原理知共 A C A 60 种方法2324 34 2324答案 D6某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学
5、从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A30 种 B35 种 C42 种 D48 种解析 法一 可分两种互斥情况： A 类选 1 门， B 类选 2 门或 A 类选 2 门， B 类选 1 门，共有 C C C C 181230(种)选法1324 2314法二 总共有 C 35(种)选法，减去只选 A 类的 C 1(种)，再减去只选 B 类37 3的 C 4(种)，共有 30 种选法34答案 A7有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A24 B48 C72 D96解
6、析 A 2A A A A A A 48.5 2232 223答案 B二、填空题85 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员排成1,2,3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种(以数字作答)解析 只有 1 名老队员的排法有 C C A 36 种12 23 3有 2 名老队员的排法有 C C C A 12 种；2 13 12 2所以共 48 种答案 489将 4 名新来的同学分配到 A、 B、 C 三个班级中，每个班级至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 A 班，那么不同的分配方案种数是_
7、解析 将 4 名新来的同学分配到 A、 B、 C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有 C A 种分配方案，其中甲同学分配到 A 班共有 C A C A 种方案因243 232 132此满足条件的不同方案共有 C A C A C A 24(种)243 232 132答案 2410从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有_种解析 分 1 名男医生 2 名女医生、2 名男医生 1 名女医生两种情况，或者用间接法直接法：C C C C 70.1524 2514间接法：C C C 70.39 35 34答案 7011有五名男同志去外地
8、出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有_种(用数字作答)解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是 C A 18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是133A 90，故不同的住宿安排共有 901872 种C15C24C2A2 3答案 7212某车队有 7 辆车，现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)解析 先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C 种选法，连同甲、乙共 4 辆车，25排列在一起，选从 4 个位置中选两
9、个位置安排甲、乙，甲在乙前共有 C 种，最24后，安排其他两辆车共有 A 种方法，不同的调度方法为 C C A 1202 25 24 2种答案 120三、解答题13有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？(1)分成三个组，各组人数分别为 1、2、3；(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为 1、2、3；(3)分成三个组，各组人数分别为 2、2、2；(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为 2、2、2；(5)分成四个组，各组人数分别为 1,1,2,2；(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为 1、1、2、2.解析 (1)即 C C C 60.
10、16253(2)即 C C C A 606360.162533(3)即 15.C26C24C2A3(4)即 C C C 90.26242(5)即 45.C16C15A2 C24C2A2(6)C C C C 180.161524214要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有 1 名女生入选；(2)至多有 2 名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选解析 (1)C C 771；512 57(2)C C C C C 546；57 1547 2537(3)C C 120；2310
11、(4)C C C 672；512 2310(5)C C 540.512 51015在 m(m2)个不同数的排列 p1p2pm中，若 1 i j m 时 pi pj(即前面某数大于后面某数)，则称 pi与 pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列( n1) n(n1)321 的逆序数为 an.如排列 21 的逆序数 a11，排列 321 的逆序数 a23，排列 4 321 的逆序数 a36.(1)求 a4、 a5，并写出 an的表达式；(2)令 bn ，证明 2n b1 b2 bn2 n3， n1,2，.anan 1 an 1an解析 (1)由已知条件 a4C 10， a5C 15，则 anC .25 26 2n 1n n 12(2)证明 bn 22anan 1 an 1an nn 2 n 2n (1n 1n 2) b1 b2 bn2 n2
