1、9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的理论背景，了解椭圆在描述幻想世界跟处置理论征询题中的感染.2.操纵椭圆的定义、几多何图形、标准方程及庞杂几多何性质.椭圆的定义、标准方程、几多何性质素日以小题方法调查，直线与椭圆的位置关系要紧出现在解答题中.题型要紧以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一征询.1.椭圆的不雅观点破体内与两个定点F1，F2的距离的跟等于常数(大年夜于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的中心，两中心间的距离叫做椭圆的焦距.聚拢PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)假设ac，那么
2、聚拢P为椭圆；(2)假设ac，那么聚拢P为线段；(3)假设ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2不雅观点方法微思索1.在椭圆的定义中，假设2a|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹怎么样？提示当2a|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.2.椭圆的离心率
3、的大小与椭圆的扁平程度有如何样的关系？提示由e知，当a波动时，e越大年夜，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大年夜，椭圆越圆.3.点跟椭圆的位置关系有几多种？怎么样揣摸.提示点P(x0，y0)跟椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.4.直线与椭圆的位置关系有几多种？怎么样揣摸？提示直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、订交.揣摸方法为联破直线与椭圆的方程，求联破后所得方程的判不式.(1)直线与椭圆相离0.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)椭圆上一点P与两中心F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()
4、(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(3)1(ab)表示中心在y轴上的椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相当.()题组二讲义改编2.椭圆1的焦距为4，那么m等于()A.4B.8C.4或8D.12答案C分析当中心在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当中心在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.3.过点A(3，2)且与椭圆1有一样中心的椭圆的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A分析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，那么1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4.已经清楚点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点
5、P及中心F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，那么点P的坐标为_.答案或分析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，因而c1，那么F1(1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，因而y1，把y1代入1，得x，又x0，因而x，因而P点坐标为或.题组三易错自纠5.假设方程1表示椭圆，那么m的取值范围是()A.(3,5)B.(5,3)C.(3,1)(1,5)D.(5,1)(1,3)答案C分析由方程表示椭圆知解得3mb0)的左、右中心分不为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，假设AF1B的周长为4，那么C的方程为()A.1B.y21C.1D.1答案A分析AF1B的
6、周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.应选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如以下列图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内肯定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，那么点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案A分析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为中心的椭圆.2.过椭圆4x2y21的一个中心F1的直线与椭圆交于A，B两点，那么A与B跟椭圆的另一个中心F2构成的ABF2的周长为()A.2B.4C.8D.2答案B分析椭圆方程变形为1，椭圆长
7、轴长2a2，ABF2的周长为4a4.3.椭圆y21的左、右中心分不为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，那么|PF2|等于()A.B.C.D.4答案A分析F1(，0)，PF1x轴，P，|PF1|，|PF2|4.4.(2018鞍山调研)设F1，F2分不是椭圆1的左、右中心，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，那么|PM|PF1|的最小值为_.答案5分析由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5,2a10
8、，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.思维升华椭圆定义的应用技艺(1)椭圆定义的应用要紧有：求椭圆的标准方程，求中心三角形的周长、面积及弦长、最值跟离心率等.(2)素日定义跟余弦定理结合应用，求解关于中心三角形的周长跟面积征询题.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)已经清楚A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，那么动点P的轨迹方程为()A.1B.1C.1D.1答案D分析由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为中心的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，应
9、选D.(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，那么顶点C的轨迹方程是()A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0)D.1(y0)答案A分析由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为中心的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为1(ab0)，那么a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0).命题点2待定系数法例2(1)已经清楚椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且通过两点，(，)，那么椭圆方程为_.答案1分析设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，中
10、心F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆方程为_.答案1分析椭圆的中心在原点，中心F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法跟待定系数法.(2)使用定义法求椭圆方程，要留心条件2a|F1F2|；使用待定系数法要先定形(中心肠位)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的方法.跟踪训练1(1)已经清楚椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，
11、且椭圆G上一点到两个中心的距离之跟为12，那么椭圆G的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A分析依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到两中心的距离之跟为12，2a12，a6，椭圆的离心率为，e，即，解得b29，椭圆G的方程为1，应选A.(2)过点(，)，且与椭圆1有一样中心的椭圆的标准方程为_.答案1分析所求椭圆与椭圆1的中心一样，其中心在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.题型三椭圆的几多何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)(20
12、18通辽模拟)设椭圆C：1(ab0)的左、右中心分不为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，那么C的离心率为()A.B.C.D.答案D分析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.方法二(特不值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.(2)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右中心，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，那么椭圆的离心率为()A.B.C.D.答
13、案D分析设P(x，y)，那么|OP|2x2y2，由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，那么|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，拾掇得x2y25c22a2，即5c22a2，拾掇得，椭圆的离心率e.(3)已经清楚椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右中心分不为F1，F2，假设以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，那么椭圆的离心率e的取值范围是_.答案
14、分析因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，因而|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，因而(ac)24(bc)2，因而ac2(bc)，因而ac2b，因而(ac)24(a2c2)，因而5c22ac3a20，因而5e22e30.又bc，因而b2c2，因而a2c2c2，因而2e21.联破，得e.命题点2求参数的值(或范围)例4(2017世界)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.假设C上存在点M称心AMB120，那么m的取值范围是()A.(0,19，)B.(0，9，)C.(0,14，)D.(0，4，)答案A分析方法一设椭圆中心在x轴上，那么0m3，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴
15、于点N，那么N(x,0).故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1，可得x23，那么.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.关于中心在y轴上的情况，同理亦可得m9.那么m的取值范围是(0,19，).应选A.方法二当0m3时，中心在x轴上，要使C上存在点M称心AMB120，那么tan60，即，解得03时，中心在y轴上，要使C上存在点M称心AMB120，那么tan60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，).应选A.思维升华求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形树破关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(
16、1)开门见山求出a，c，使用离心率公式e求解.(2)由a与b的关系求离心率，使用变形公式e求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.跟踪训练2(1)已经清楚椭圆1(0bb0)的右中心，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，那么该椭圆的离心率是_.答案分析由已经清楚条件易得B，C，F(c，0)，因而，由BFC90，可得0，因而20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，因而，那么e.(3)(2018阜新模拟)已经清楚F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个中心，假设椭圆上存在点P使得PF1PF2，那么
17、该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案B分析F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个中心，离心率0e1，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联破方程组拾掇得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.1.(2018赤峰模拟)曲线C1：1与曲线C2：1(k9)的()A.长轴长相当B.短轴长相当C.离心率相当D.焦距相当答案D分析因为c25916，c(25k)(9k)16，因而c1c2，因而两个曲线的焦距相当.2.设F1，F2分不是椭圆1的左、右中心，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|O
18、M|3，那么P点到椭圆左中心的距离为()A.4B.3C.2D.5答案A分析由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.3.(2016世界)直线l通过椭圆的一个顶点跟一个中心，假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的，那么该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B分析如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|2bb.在RtFOB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，解得a2c，故椭圆离心率e，应选B.4.设F1，F2分不为椭圆y21的左、右中心，点P在椭圆上，且|2，那么F1PF2等于()A.B.C.D.答案D分析因为2，O为坐标原点，|2，因而
19、|PO|，又|OF1|OF2|，因而P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，因而F1PF2.5.设F1，F2为椭圆y21的左、右中心，过椭圆中心任作不时线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大年夜时，的值等于()A.0B.2C.4D.2答案D分析按照题意可知，当P，Q分不在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大年夜.现在，F1(，0)，F2(，0)，P(0,1)，(，1)，(，1)，2.6.(2018营口调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程严峻专项指点小组审议通过，正式开始实施.如以下列图，假设“嫦娥四号卫星将沿地月转移轨
20、道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个中心的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个中心的椭圆轨道绕月飞行.假设用2c1跟2c2分不表示椭圆轨道跟的焦距，用2a1跟2a2分不表示椭圆轨道跟的长轴长，给出以下式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中精确式子的序号是()A.B.C.D.答案D分析不雅观看图形可知a1c1a2c2，即式不精确；a1c1a2c2|PF|，即式精确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式精确，式不精确.应选D.7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为_.答案1或1分析由题意知解得又b2a2c2，b2
21、9，当中心在x轴上时，椭圆方程为1，当中心在y轴上时，椭圆方程为1.8.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右中心，通过F1的直线交椭圆C于A，B两点，假设F2AB是面积为4的等边三角形，那么椭圆C的方程为_.答案1分析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F1F2A30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.9.已经清楚椭圆C1：1(ab0)与椭圆C2：1(ab0)订交于A，B，C，D四点，假设椭圆C1的一个中心F(，0)，且四边形ABCD的面积为，那么椭圆C1
22、的离心率e为_.答案分析联破两式相减得，又ab，因而x2y2，故四边形ABCD为正方形，(*)又由题意知a2b22，将其代入(*)式拾掇得3b42b280，因而b22，那么a24，因而椭圆C的离心率e.10.已经清楚A，B，F分不是椭圆x21(0b0，那么椭圆的离心率的取值范围为_.答案分析如以下列图，线段FA的垂直平分线为x，线段AB的中点为.因为kABb，因而线段AB的垂直平分线的歪率k，因而线段AB的垂直平分线方程为y.把xp代入上述方程可得yq.因为pq0，因而0，化为b.又0b1，解得b21，即1b2，因而01b2|F1F2|，因而点M的轨迹是以F1，F2为中心的椭圆，其中长轴长为4
23、，焦距为2，那么短半轴长为，因而点M的轨迹方程为1.12.已经清楚椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴跟短轴的长、中心坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长跟短轴长分不为2a2跟2b1，中心坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分不为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13.已经清楚F1，F2分不是椭圆的左、右中心，现以F2为圆心作一个圆偏偏通过椭圆中心同时交椭圆于点M，N，假设过F1的直线MF1是圆F2的切线，那么椭圆的离心率为()A.1B.2C.D.答案A分析过F1
24、的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率e1.14.已经清楚ABC的顶点A(3,0)跟顶点B(3,0)，顶点C在椭圆1上，那么_.答案3分析由椭圆方程1，得长轴长2a10，短轴长2b8，焦距2c6，那么顶点A，B为椭圆的两个中心.在ABC中，|AB|6，|BC|AC|10，由正弦定理可得，3.15.椭圆C1：1的离心率为e1，双曲线C2：1的离心率为e2，其中，ab0，直线l：xy30与椭圆C1相切，那么椭圆C1的方程为()A.y21B.1C.1D.1答案C分析椭圆C1：1的离心率e1，双曲线
25、C2：1的离心率e2，由，得，那么ab，由得3x212x182b20，由12243(182b2)0，解得b23，那么a26，椭圆C1的方程为1，应选C.16.已经清楚椭圆1(ab0)的左、右中心分不为F1(c,0)，F2(c,0)，假设椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围.解由得.又由正弦定理得，因而，即|PF1|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，因而|PF2|，|PF1|，因为PF2是PF1F2的一边，因而有2c0，因而e22e10(0eb0)的一个顶点A(0,1)，离心率e，圆C：x2y24，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)
26、求证：PMPN.(1)解由题意可知b1，即2a23c2，又a2b2c2，联破解得a23，b21.椭圆方程为y21.(2)证明方法一当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM歪率不存在，PN歪率为0，PMPN.当P点横坐标不为时，设P(x0，y0)，那么xy4，设kPMk，PM的方程为yy0k(xx0)，联破方程组消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30，依题意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0，化简得(3x)k22x0y0k1y0，又kPM，kPN为方程的两根，因此kPMkPN1.因此PMPN.综上知PMPN.方法二当P点横坐标为时，
27、纵坐标为1，PM歪率不存在，PN歪率为0，PMPN.当P点横坐标不为时，设P(2cos，2sin)，切线方程为y2sink(x2cos)，联破得(13k2)x212k(sinkcos)x12(sinkcos)230，令0，即144k2(sinkcos)24(13k2)12(sinkcos)230，化简得(34cos2)k24sin2k14sin20，kPMkPN1.因此PMPN.综上知PMPN.题型二探求性征询题例2在破体直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分不求C在点M跟N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使妥善k变更时，总有OPMO
28、PN？说明因由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0跟xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的歪率分不为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，那么直线PM的倾歪角与直线PN的倾歪角互补，故OPMOPN，
29、因此点P(0，a)符合题意.思维升华处置探求性征询题的本卷须知探求性征询题，先假设存在，推证称心条件的结论，假设结论精确那么存在，假设结论不精确那么不存在.(1)以后提跟结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成破，再推出条件；(3)以后提跟结论都不知，按常规方法解题特不难时，要开放思维，采用不的适合的方法.跟踪训练2(2018鞍山模拟)已经清楚椭圆E：1(ab0)过点Q，且离心率e，直线l与E订交于M，N两点，l与x轴、y轴分不订交于C，D两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；(2)揣摸是否存在直线l，称心2，2？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，请说
30、明因由.解(1)由题意得解得因此椭圆E的方程为y21.(2)存在直线l，称心2，2.因由如下：方法一由题意，直线l的歪率存在，设直线l的方程为ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么C，D(0，m).由方程组得(12k2)x24kmx2m220，因此16k28m280.(*)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.因为2，2，因此，因此C，D是线段MN的两个三中分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合.因此x1x20，解得k.由C，D是线段MN的两个三中分点，得|MN|3|CD|.因此|x1x2|3，即|x1x2|3，解得m.验证知(*)成破.因此存在直线l，称心2，2，现在直线l的方程为yx或yx.方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，由2，2，得解得M(2m，n)，N(m,2n).又M，N两点在椭圆上，因此即解得故所求直线l的方程为5x10y20或5x
