1、第八节欧拉方程变系数的线性微分方程，一般说来根本上不随便求解的.但是有些专门的变系数线性微分方程，那么可以通过变量交流化为常系数的线性微分方程，因此随便求出其解，欧拉方程的确是其中的一种.分布图示欧拉方程及其解法例1例2例3内容小结课堂练习习题78前去内容要点形如(8.1)的方程称为欧拉方程,其中为常数.欧拉方程的特征是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次一样.作变量交流或将上述变卦代入欧拉方程,那么将方程(8.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程,求出该方程的解后,把t换为lnx,即失落失落原方程的解.假设采用灯号D表现对自变量t求导的运算那么上述结果可以写为，一般地，
2、有.(8.2)例题选讲例1E01求欧拉方程的通解.解作变量交流或那么题设方程化为即两次积分，可求得其通解为代回原本变量，得原方程的通解例2E02求欧拉方程的通解.解作变量变卦或原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程的特色方程求得特色根故因此齐次方程的通解设特解代入原方程得即故所求欧拉方程的通解为例3设有方程求由此方程所判定的函数解将方程单方对求导，拾掇后得且有这是欧拉方程,令或将它化为常系数非齐次线性微分方程其通解为故原方程的通解为由初始条件可求得故由题设方程判定的函数为课堂练习求以下欧拉方程的通解:1.;2.;3.;4.欧拉Euler，17071783欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在
3、1707年4月15日降生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡死灭。欧拉降生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教诲。13岁时入读巴塞尔大年夜学，15岁大年夜学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他深造神学，但他最感兴趣是是数学。在上大年夜学时，他已受到约翰第一。伯努利的特不指导，二心研究数学，直到18岁，他残缺的坚持当牧师的办法而专攻数学，於19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金.1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究义务.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利,成为物理学教学.在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方
4、面均有出色的表现。不的，欧拉还应俄国政府的恳求，处置了非常多如地图学、造船业等的理论征询题。1735年，他因义务过度以致右眼失落明。在1741年，他受到普兽士腓特烈大年夜帝的邀请到德国科学院担当物理数学所所长一职。他在柏林斯间，大年夜大年夜的扩大年夜了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些义务与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几多何及其他数学范围均有开创性的觉察。1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场宿疾使他的左眼亦残缺失落明。但以其惊人的阅历力跟心算技艺接着从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及开门见山口授等办法
5、完成了大批的科学著作，直至生命的最后一刻。欧拉是18世记数学界最出色的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎全体物理的范围。不的，他是数学史上最多产的数学家，写了大批的力学、分析学、几多何学、变分法的课本，无穷小分析引论1748，微分学情理1755，以及积分学情理1768-1770都成为数学中的经典著作。欧拉最大年夜的功绩是扩大年夜了微积分的范围，为微分几多何及分析学的一些要紧分支如无穷级数、微分方程等的发作与展开奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算货色改动为一个要紧的研究科目。他打算出函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，同时可以伯努利数来表现。不的，他对谐跟级数亦有所研究
6、，并相当精确的打算出欧拉常数的值，其值近似为0.57721566490153286060651209在18世纪中叶，欧拉跟其他数学家在处置物理方面的征询题过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他残缺地处置了n阶常系数为线性齐次方程的征询题，对於非齐次方程，他提出了一种落低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的征询题，归结出一、二、三维坚定方程的解法。欧拉所写的方程的积分法研究更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。在微分几多何方面微分几多何是研究曲线、曲面逐点变卦性质的数学分支，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的分析表达办法。在1766年，他出
7、版了关于曲面上曲线的研究，这是欧拉对微分几多何最要紧的贡献，更是微分几多何展开史上一个里程碑。他将曲面表为并引入一系列标准标志以表现z对x,y跟偏导数，这些标志至今仍通用。不的，在该著作中，他亦失落失落了曲面在任意截面上截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜牧举，如他引入了G函数跟B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。在代数学方面，他觉察了每个实系数多项式必分析为一次或二次因子之积，即a+bi的办法。欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中要紧的欧拉函数，他研究数论的一系列后果奠定了数论成为数学中的一个独破分支。欧拉又用分析办法讨论数论征询题，觉察了函数所称心的函数方程，并引入欧拉乘积。同时还处置了著名的柯尼斯堡七桥征询题。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可常稀有到以他的名字命名的要紧常数、公式跟定理。
