1、第七节二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程的普通方式为(7.1)依照线性微分方程的解的构造定理可知，请求方程(7.1)的通解，只需求出它的一个特解跟其对应的齐次方程的通解，两个解相加就失掉了方程(7.1)的通解.上节咱们曾经处理了求其对应齐次方程的通解的办法，因而，本节要处理的咨询题是怎样求得方程(7.1)的一个特解.方程(7.1)的特解的方式与右真个自在项有关，假如要对的普通情况来求方程(7.1)的特解还是特不艰苦的，这里只就的两种罕见的情况进展探讨.1，此中是常数，是的一个次多项式：；2或，此中，是常数，是的一个次多项式.散布图示二阶常系数非齐次线性方程的求解咨询题型例1例
2、2例3例4例5例6或型例7例8例9例10例11内容小结讲堂训练习题77前往内容要点一、型事先，二阶常系数非齐次线性微分方程(7.1)具无形如(7.4)的特解，此中是与同次次的多项式，而按是不是特点方程的根、是特点方程的单根或是特点方程的重根顺次取0、1或2.上述论断可推行到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要留意(7.4)式中的k是特点方程的根的重数即假设不是特点方程的根，取0；假设是特点方程的重根，取为.二、或型即请求形如(7.5)(7.6)两种方程的特解.由欧拉公式明白，跟分不是的实部跟虚部.咱们先思索方程.(7.7)那个方程的特解的求法在上一段中曾经探讨过.假设曾经求出方程(7.7)的一个
3、特解，那么依照第五节的定理5明白，方程(7.7)的特解的实部确实是方程(7.5)的特解，而方程(7.7)的特解的虚部确实是方程(7.6)的特解.方程(7.7)的指数函数中的()是单数，特点方程是实系数的二次方程，因而只要两种能够的情况：或许不是特点根，或许是特点方程的单根.因而方程(7.7)具无形如(7.8)的特解，此中是与同次次的多项式，而按是不是特点方程的根或是特点方程的单根顺次取0或1.上述论断可推行到阶常系数非齐次线性微分方程，但要留意(7.8)式中的k是特点方程含根的反复次数.例题选讲型例1E01以下方程存在什么样方式的特解?(1)(2)(3)解(1)因不是特点方程的根,故方程存在特
4、解方式：(2)因是特点方程的单根,故方程存在特解方式:(3)因是特点方程的二重根，因而方程存在特解方式：例2E02求方程的一个特解.解题设方程右真个自在项为型，此中对应的齐次方程的特点方程为特点根为因为不是特点方程的根，因而就设特解为把它代入题设方程,得比拟系数得解得因而，所求特解为例3E03求方程的通解.解题设方程对应的齐次方程的特点方程为特点根为因而，该齐次方程的通解为因是特点方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比拟等式两头同次幂的系数,得因而，求得题没方程的一个特解从而，所求题设方程的通解为例4求微分方程的通解.解特点方程为特点根为故对应齐次方程的通解为不雅看可得,的一个特
5、解为的一个特解为为由非齐次线性微分方程的叠加道理知是原方程的一个特解，从而原方程的通解为例5求方程的特解.解其对应齐次方程的特点方程为解得特点根为由第六节定理4知,题设方程的特解是以下两个方程的特解的跟:(1)(2)因特点方程有重根因而设方程(1)的特解将其代入方程并消去收拾后得即因而得特解又因特点方程有重根因而设方程(2)的特解为求导后辈入方程，解出得特解因而题设方程的特解为：例6E04求方程的通解.解对应的齐次方程的特点方程为特点根所求齐次方程的通解因为不是特点方程的根，因而方程的特解方式可设为代入题设方程易解得故所求方程的通解为例7求方程的通解.解对应齐次方程的特点方程的特点根为故对应齐
6、次方程的通解作辅佐方程是单根,故设代入上式得取虚部得所求非齐次方程特解为从而题设方程的通解为或型例8E05求方程的通解.解对应齐次方程的特点方程的特点根为故对应齐次方程的通解作辅佐方程不是特点方程的根，故设代入辅佐方程得取实部失掉所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通解为例9设函数满意求.解将方程两头对求导，得微分方程即特点方程为特点根为对应齐次方程的通解为留意到方程的右端且不是特点根，依照非齐次方程解的叠加道理，可设特解代入方程定出从而原方程的通解为又在原方程的两头令得又在原方程的两头令得定出从而所求函数为例10E06求以(此中为恣意常数)为通解的线性微分方程.解法1(1)(2)由式(
7、1)知代入(2)式得所求方程为解法2来由解的构造知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解故有二重特点根因而特点方程为即对应齐次线性方程为令该方程为因为其解,故从而所求方程为例11曾经明白函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,试断定常数与及该方程的通解.解法1将代入原方程得比拟双方同类项系数，得方程组解此方程组,得因而原方程为其通解为解法2将曾经明白方程的特解改写为因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解,也能够是，因原方程的自在项是而或是原非齐次方程的解,故也是对应齐次方程的解(即也是特点方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特点方程为即因而得将代入方程得原方程的通解为讲堂训练1.写出微分方程的待定特解的方式.2.求微分方程的通解.3.求微分方程的通解.4.求微分方程的通解.
