黎曼关于几何基础中的假设原文.doc

1、 黎曼关于几何基础中的假设-学习笔记(1)研讨的方案方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)大 家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸 如空间的概念及其基本性质）彼此间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关 性。 张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记： 典型的数学思维方法：遇到问题，首先将问题中涉及的概念进行分类，那些概

2、念数学给了明确、严谨的定义，那些没有。那些没有给出明确严谨的定义的概念，往往是创新突破口。黎曼可能是发现“空间”概念“只有叙述性的定义”或是“仅给出它们名称上的定义”，还没有明确严谨的数学定义。这样，在当时的几何学“空间”中的一切建构就都不可靠了。由此，黎曼就从此点入手准备大动干戈了。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于多元延伸量（multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般量（

3、quantity） 的概念中建立多元延伸量的概念。我将指出，多元延伸量是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然 会发觉，几何学中的定理并不能由量的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。张海潮 李文肇译 (http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：1.首先明确前人“从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre）”都没有搞清楚此问题。2. 于是黎曼抛出自己的思想方法。重点在于，黎曼的思想方法是怎样产生的：这一段张、李

4、译的“多元延伸量”似乎比方、胥译的“多重广义尺度”好些。黎曼“多元延伸量”思想方法的产生猜测：a). 从纯数学的“数量”的角度关心涉及“空间的大小观念”的“度量”，可发现不同维空间的“度量”仅仅是“度量”的维数不同而已（黎曼称之为“量”的“多元”）。空间中的“度量”是一个纯数学内核，在数学上给出严谨定义容易。b). 如果不考虑欧氏空间坐标轴相互呈垂直状态，而是仅仅考虑“度量”的维数（黎曼称之为“多元”），则就抽象出了“多维度量”概念。而度量的垂直仅仅是其特例。c). 再进一步抽象，空间中的每一个点的度量维数由空间的维数可知是确定的。既然每一点的维数都是确定的，则从一点连续地（或离散地）到另一点

5、，点的维数就可以不依赖空间是否平直（欧氏空间是平直空间）。抽象出这种从一点滑向另一点（黎曼称之为“延伸”）过程中点的维数变化不依赖空间性质，就可将这一特性用于非欧空间。d). 再进一步抽象，既然每一点的维数都一样，那从一点连续地（或离散地）到另一点，就可看成是一个相同的点在“流动”，其点的形状（即维数）保持不变，即流动中形状不变。这样，就可看成是一个点、更准确地说是一个形状在流动，这样叫“流形”就更加直观、合理了。e). 上述抽象结果来源于欧氏空间，包含欧氏空间，与欧氏空间无矛盾。所以，“多元延伸量是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间（欧氏空间）也不过是三元延伸量的一种特例。”“而那些

6、通常空间的不同于”上述抽象结果“所能得到的性质只能来自经验。”这些没有严谨数学定义的“性质”恰好是我们数学要摈弃的。3. 黎曼的这种思想方法是典型的从数学角度处理客观事物的方法。数学就是这样从客观事物中产生的。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)因 而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题 看，最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的 是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相

7、当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/ ) 学习笔记：1。接下来就是寻找数学表达方式了。有许多，其中用欧氏体系表达当然应该可以，但用它不是必然的，用它“仅仅具有由经验上得到的确定性。”2。黎曼头脑很清醒。虽然他认为上述抽象工作能推广到欧氏体系以外，但推广应用时绝对不是放之四海而皆准，在那些范围内能用他不好确定。但他给出了一个简单的判断和推广方法：即首先要判断可靠性。“（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后再考虑是否能够延伸

8、到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。”I. n 度广义流形的概念方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)在尝试解决第一个问题 n 元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为在这种哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。过去所学，除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲学研究外，也少能派上用场。 张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：此文是 1854

9、年，生活清贫的黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格作的演讲，讲演时高斯就坐在旁边。可以说高斯十分看好黎曼，给了他许多帮助。但从文中可看出黎曼对高斯的工作作了恰如其分的评价，不卑不亢。我一直不明白，中国的学术界为何会流行一种通病：为讨好上司、权威，能像太监一样极尽谄媚之能事；对同事、对他人的学术成果，能像文革中的政工嘴脸一样，极尽诬蔑打击之能事，这些病毒是从哪里来传染来的？从黎曼的为人来看不像是从西方传染过来的。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)要了解量必须先有一个关于量的普遍观念和一些能体现它的特殊事例 (instance)。这些事例形成了所谓的流形：任两事例若可以连续地渐次转移成为彼

10、此，是连续流形，否则为离散流形。个别事例在前者中称为点(point)，在后者称为元素(element)。构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到只 要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了(在离散量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的东西都是同类的)。反过来说，连续流形的例子在日常生活中 很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：1. 明确提出“流形”概念。并将流形分为

11、连续和离散两种。连续流形中元素称之为“点”（point），离散流形中的元素称之为“元素”（element）。2. 从黎曼认为现实空间中离散普遍存在，而连续不多见来看，黎曼非常注意新生数学的应用性。我认为，不能应用的数学是游戏。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)利 用标记或圈围取出流形的某些部分，称为量。对量的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量迭 合；因此必须选出一个量，充当其它量的测量标准。否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈较多（more)、较 少（less）,而不知绝对的大小（how much）。以这种的方式进

12、行，形成了对 量研究的一个部门。其中量的观念独立于测距（measurement）,而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学 许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理 ），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔 （Abel）的著名定理及拉格朗吉（Lagrange）、发府（Phaff）和亚各比（Jacobi）等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥 的主要原因。从延伸量的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清 n 元延伸量的基本性质。第一点是关于多元延伸量这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题 。张海

13、潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：1. 利用标记或取出流形一个范围来进行分析讨论，离散情形可以用数数，连续时猜想：黎曼可能此时头脑中是在用极限概念，即：任意小范围。理由：只有极限概念的任意小范围才能避免空间弯曲等影响，使其满足“独立于测距（measurement）,而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。”2. 此段还表达了黎曼另一思想：需要一个“标准的量”。此思想来源猜测：我们大脑讨论人，就会想到一个脑袋和两只灵活上肢、两只行走的下肢组成的立式行走的动物；讨论狗，就会想到四肢爬行的动

14、物。总之，我们考虑任何事物，头脑中都会有一个该事物的粗犷的标准模式。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)在一个概念下的事例如果构成连续流形，则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是， 从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形，以致于旧流形 上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子便构成了一个二元延伸流形。以此类推，我们可以想象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形，不难看出如何继续这个

15、建构。如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的，而非固定的概念，则这种建构可以看成是融合 n 维和一维的变动度 (variability) 而得到 n+1 维的变动度。 张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：1. “从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。“表示当一 n 维流形沿着“以确定的方式移动“时，此 n 维流形与其移动轨迹上所有 n 维流形组成了一个多了一个可以“

16、两个方向可供连续移动”的维数。即组成了一个 n+1 维流形。同理，当这个 n+1 维流形按上述方法移动时，我们就可得到一个 n+2 维流形。方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)反之，我现在要说明怎样 将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。考虑流形上沿一个一维向度的分解，固定其中之一，使其分解上的点得以相互比较。沿这 个向度上的每一点都给定一个值，值随着点的不同而连续变化。换句话说，我们可以在这个给定的流形上定出一个连续的位置函数，使在流形上的任一区，函数的值 绝非常数。则当此函数的值固定时，共享此值的所有原流形上的点，便形成了一个较低维的连续流形。函数值改变时

17、，这些流形便分解而连续地从一个变为另一个； 我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换，而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到第二个子流形上的每一点。也有些例外的情形，它们 相当重要，在此略过。这样，流形上点的位置，便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。我们不难发现，原流形若是 n 维，则分解后所得到的子流形必有 n - 1 维，这个过程重复 n 次以后，一个 n 元流形上的位置关系便可化为 n 个数字；任一个流形若可依此法予以化简，则化简的结果必然是有限个数字。不过也有些较特殊的流形，其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。这流形的例子有：某一区域上的所有函数、

18、一个实体的所有形状等等。 张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)黎曼关于几何基础中的假设-学习笔记(3)II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)在建立了 n 元 流形的观念，并将其中位置决定问题转化成为数值决定问题的基本性质确立之后，我们接着要讨论第二个问题，亦即研究能适用于流形的度量关系，及决定这些关系 的条件。这些度量关系只能以抽象方式表示，而它们之间的关连只能藉公式表达。然而在某些假设之下，我们可以把它们化

19、成能独立地以几何方式表现的关系，也因 而可以将数量运算的结果以几何表示。因此，虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名 论文中。 张海潮 李文肇译(http:/episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_14_3_01/)学习笔记：1. n 维流形可以用 n 个点的数组表示，其中数组中每一个点都分别归属于一个维度、且仅仅归属于它所对应的一个维度。2. 我们下面讨论流形上的度量关系和确定度量关系的充分条件。这只能通过一些抽象的尺度观点来讨论，并且还需要用一些公式。“虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但

20、其结果可用几何方式表出。”方为民 胥鸣伟译(数学珍宝_历史文献精选)测量，需要先让量独立于位置而存在；有很多方法可以办到这一点。这正是我在此所要提出的假说，亦即线的长度与其形状无关，每条线都能以另一条线测距。位置化简为数量，则 n 元流形中的点的位置可用 x 1, x2, x3 直到 x n 等 n 个变量表示；如此，则只要 X（X= x1, x2 xn）能表为参数 t 的函数，便能定出直线。所以我们的主题是，为线的长度定出一个数学式；为此，所有的 X 要有共同的单位。我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。首先我要规定我所讨论的线，其 dx i（x i 的微变化量）间的比值呈连续变化。如此，我们可以把线分割成许多小段的线元素（line element），使得线元素上 dx（即 dx 1, dx2, dx3,. ,dxn 间）的比为定值，我们的问题则是，如何为每一点找出一个 ds 的一般式，其中 ds 必须以 x 和 dx 表示。再则，我要假设，当线元素上每一点都产生相同的微量移动时，线元素的长度 ds 一阶不变；也就是说，如果所有的 dx 都以同一比例放大，则线元素亦以该比例放大。