1、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 绝密 启用前2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1） 是虚数单位，i13i(A) (B) 1 (C) (D) ii（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为yx,120yxyxz5(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5（3）设函数 ，则 是Rxf,si
2、nxf(A) 最小正周期为 的奇函数 (B) 最小正周期为 的偶函数(C) 最小正周期为 的奇函数 (D) 最小正周期为 的偶函数22（4）设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是ba, ba(A) (B) /, /,(C) (D) /（5）设椭圆 上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为12myx1，则 P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C) (D) 72（6）设集合 ，则 的取值范围是RTSaxTxS U,8|,3| a(A) (B) 13a13(C) 或 (D) 或 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （7）设函数 的反函数为 ，则101xxf
3、 xf1(A) 在其定义域上是增函数且最大值为 1 f(B) 在其定义域上是减函数且最小值为 0 x1(C) 在其定义域上是减函数且最大值为 1f(D) 在其定义域上是增函数且最小值为 0 x1（8）已知函数 ，则不等式 的解集是01xf 1xfx(A) (B) 2|x1|(C) (D) | 12| xx（9）已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上是增函数.令xf ,0，则75tan,75cos,72sinffbfa(A) (B) (C) (D) cbcba（10）有 8 张卡片分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2列，要求 3 行中仅有中
4、间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有(A) 1344 种 (B) 1248 种 (C) 1056 种 (D) 960 种第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共 12 小题，共 100 分。二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）（11） 的二项展开式中 的系数是 （用数字作答）.52x2x（12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 ，则该正方体的34表面积为 .（13）已知圆 C 的圆心与抛物线 的焦点关于直线 对称，直线 中国校长网中国校长网资源频道 http:/
5、与圆 C 相交于 两点，且 ,则圆 C 的方程为 .0234yxBA,6（14）如图，在平行四边形 中， ，D2,3,21BD则 .AD（15）已知数列 中， ，则 .na*31,1Nnan nalim（16）设 ，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 ，都有 满足方程1x2, ,2y，这时， 的取值的集合为 .cyxaalogl a三、解答题（本题共 6 道大题，满分 76 分）（17） （本小题满分 12 分）已知 .4,2,104cosxx（）求 的值；in（）求 的值.32sx（18） （本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 2
6、 次21p均未命中的概率为 .16（）求乙投球的命中率 ；p（）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望.（19） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形.ABCDP已知 .o60,2,2,3PAB（）证明 平面 ；（）求异面直线 与 所成的角的大小；（）求二面角 的大小 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ （20） （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 .0xbaxf Rba,（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；fy2,fP13xyxf（）讨论函数 的单调性；xf（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，
7、求 的取值范围.2,1a10xf,4b（21） （本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 .0,31F025yx（）求双曲线 C 的方程；（）若以 为斜率的直线 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN0kl的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围.281k（22） （本小题满分 14 分）在数列 与 中， ，数列 的前 项和 满足nab4,1bananS, 为 与 的等比中项， .031nS2nn*N（）求 的值；2,（II）求数列a n与b n的通项公式；（III）设 Tn=(-1) b1+(-1) b2+(-
8、1) bn ，n 证明|T n|2n2, 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 参考答案一、选择题：(1) A （2） D (3) B (4) C (5) B(6) A (7) D (8) C (9) A (10) B二、填空题：(11) 40 (12) 24 (13) x2+(y-1)2=10(14) 3 (15) (16) 267三、解答题：（17）解：（）解法一：因为 ，所以 ，于是43,2x2,4x107cos14sinx5421027 4sincosini xx解法二：由题设得 ，即102sincox51sincox又 sin2x+cos2x=1，从而 25sin2x-5si
9、nx-12=0，解得 sinx= 或 sinx=43因为 ，所以43,x54sinx（）解：因为 ，故,2 5341sin1cos22x57,54cosin2si 2xxx所以 0343sinco3s2i3i （18）解：（）设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 16122pBP解得 或 （舍去） ，所以乙投球的命中率为43543（）由题设和（）知 41,21, BPAP可能的取值为 0，1，2，3，故3214BPA32714241APC93BPA32151012P的分布列为0 1 2 3P32759的数学期望 23
10、10E（19）解：（）证明：在 中，由题设 ，AD=2 可得PAD,PDA，于是 。在矩形 中， .又 ，22PABCABAPI所以 平面 .B（）解：由题设， ，所以 （或其补角）ADC/P是异面直线 与 所成的角.P在 中，由余弦定理得A由（）知 平面 ， 平面 ，DABPAB所以 ，因而 ，于是 是直角三角PACC7cos22 B 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 形，故 27tanBCP所以异面直线 与 所成的角的大小为 .AD27arctn（）解：过点 P 做 于 H，过点 H 做 于 E，连结 PEBD因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 ，BPPAAI因而 平面 ，故 H
11、E 为 PE 在平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，HC，从而 是二面角 的平面角。EBD由题设可得， 134,13,260cos60sin2 BHAEADBPo于是在 中，PRt49tanEPH所以二面角 的大小为 ABD3rctan（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力满分 12 分（）解： ，由导数的几何意义得 ，于是 2()1afx(2)3f8a由切点 在直线 上可得 ，解得 2,P31yx7b9所以函数 的解析式为 ()fx8()9f（）解： 21a当 时，显然 （ ） 这时 在 ， 内是增函
12、数0a()0fx()fx,0)(,)当 时，令 ，解得 a当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,a(,0)(,)a(),a()fx 0 0 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ()fx 极大值 极小值 所以 在 ， 内是增函数，在 ，(0, )内是减函数,)a(),(,0)a（）解：由（）知， 在 上的最大值为 与 中的较大者，对于任意()fx1,41()4ff的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即1,2a0()f, 10()f，对任意的 成立394ba1,2a从而得 ，所以满足条件的 的取值范围是 74b(7,4（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线
13、方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分（）解：设双曲线 的方程为 （ ） 由题设得C21xyab0,ab，解得 ，所以双曲线 C 的方程为 295ab245b2145xy（）解：设直线 的方程为 （ ） 点 ， 的坐标满足lykxm01(,)M2(,)Nxy方程组 2145将式代入式，得 ，整理得 22()xkm22(54)840kxm此方程有两个不等实根，于是 ，且 250422()k整理得 2k由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足MN0(,) 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ ， 12024
14、5xkm0254mykxk从而线段 的垂直平分线的方程为 MN221()x此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 由题设可得xy9(,)5k90,5k整理得 ， 221981|54kmk224|m将上式代入式得 ，整理得 ，2(54)0|k22(5)4|5)0kk0k解得 或 |2|4k所以 的取值范围是 k55,)(,0)(,)(,)24(UU（22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 项和公式、等比数列的概念、等n比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 14 分（）解：由题设有 ， ，解得 由题设又有 ，12140a1a23124
15、ba，解得 14b29（）解法一：由题设 ， ， ，及 ， ，进一1(3)nnS114b229步可得 ， ， ， ，猜想 ， ，36a3b40a425b()na(1)n*nN先证 ， (1)2*nN当 时， ，等式成立当 时用数学归纳法证明如下：1a2n（1）当 时， ，等式成立2(1)（2）假设 时等式成立，即 ， nk()2kak由题设， 1(3)kkS12S 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 的两边分别减去的两边，整理得 ，从而1(2)kka12()()2kkka这就是说，当 时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式 对任何n (1)2na的 成立综上所述，等式 对任何的 都成立()na*nN再用数学归纳法证明 ， 21b（1）当 时， ，等式成立1()（2
