1、专题19 圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源二】【2018年高考全国卷理数】设椭圆的右焦点为，过的直线与
2、交于两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1由已知可得，点A的坐标为或，所以AM的方程为或（2）当l与x轴重合时，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，直线MA，MB的斜率之和为由得将代入得所以，则从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以综上，【母题来源三】已知椭圆C：，四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2
3、B的斜率的和为1，证明：l过定点【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此，解得，故C的方程为（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）则，得，不符合题设，从而可设l：（）将代入得，由题设可知设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=而由题设，故，即，解得，当且仅当时，于是l：，即，所以l过定点（2，）【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进
4、行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解圆锥曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在
5、性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条
6、件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.（二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.（三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点
7、之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1【河北省保定市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线：，直线：.（1）若直线与抛物线相切，求直线的方程；（2）设，直线与抛物线交于不同的两点，若
8、存在点，使得四边形为平行四边形（为原点），且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，由及，得.所求的切线方程为.（2）由得，且， 四边形OACB为平行四边形，即C，又，即，当且仅当取等号，此时，.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，根与系数关系的应用，也考查平行四边形的性质、数量积和不等式的运算，属于中档题.（1）由得，由题意得，解出即可.（2）由四边形OACB为平行四边形，得，利用根与系数的关系得点，又由，通过数量积和不等式的运算，求出的范围即可.2【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求
9、椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）由题意知，.又因为，所以解得. 所以椭圆方程为. （2）存在常数，使恒成立. 理由如下：由得，且.设，则，又因为，所以.因为线段的中点为，所以，所以. 所以存在常数，使恒成立.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的方程以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程与椭圆的简单性质即可，属于常考题型.（1）根据题意得到，求出，进而可求出椭圆方程；（2）先由题意判断出结果，再证明，联立直线与椭圆方程，设，根据根与系数的关系，以及向量数量积运算，得到，进而可得出结果.3【山西省晋城市
10、2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知的周长为6，关于原点对称，且，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若，直线：与交于，两点，若，成等差数列，求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）依题意，故，则，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故的方程为.（2）依题意，故.联立，整理得.设，则，.故，则.【名师点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力.（1）由椭圆定义得轨迹方程即可；（2）依题意得，得，联立消去y，整理结合根与系数关系得的值即可.4【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学试题】已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的
11、坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，又，则.椭圆方程为，将代入方程得，故椭圆的方程为.（2）不妨设直线的方程为，联立消去得.设，则有，又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，由，得，将，代入上式得，将代入上式求得或（舍），则直线恒过点.，设，则在上单调递增，当时，取得最大值.【名师点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交的弦长公式，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积最大值的求法，运算量较大，属于中档题.（1）将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率列方程，解方程
12、求得的值，由此求得椭圆方程.（2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，写出根与系数关系，根据列方程，解方程求得的值.由此判断出直线过定点，由求得三角形面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的单调性，求得三角形面积的最大值.5【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知离心率为的椭圆过点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上且不与四个顶点重合（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于，直线与轴交于，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）是定值，定值为.【解析】（1）由题意得：，解得：，椭圆的标
13、准方程为：.（2）点不与四个顶点重合，直线的斜率存在且不为，设，且，直线的方程为：，则.直线的方程为：，则.，在椭圆上，.，为定值.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题的求解.解决定值类问题的关键是将所求量利用变量进行表示，通过变量间的关系进行化简、消元，从而整理出所求的定值.（1）根据离心率、点在椭圆上和建立方程组，解方程求得结果，从而得到椭圆方程；（2）设，从而可得方程，求得的坐标，从而可得，根据点在椭圆上得到，代入整理可得定值.6【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】如图，椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，直线n：x4与
14、x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BMx轴（1）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）证明：直线AM经过线段EF的中点【答案】（1）直线AM的方程为yx或yx；（2）见解析.【解析】（1）由c1，得F(1，0)，直线l与x轴垂直，x1，由，解得：，当点坐标为，则点坐标为，此时直线AM的斜率为，直线AM的方程为，即yx；当点坐标为，则点坐标为，此时直线AM的斜率为，直线AM的方程为，即yx.故直线AM的方程为yx或yx.（2）当直线方程为时，直线BM与x轴重合，不满足题意；故可设直线l的方程为xmy1， 由，得3(my1)24y212，即(3m24)y26my90，设A(x1，y1)
15、，B(x2，y2)，由根与系数关系可得，y1y2，y1y2，EF的中点N ，点M(4，y2)， ，y2y1my1y2(y1y2)0.，故A，N，M三点共线，所以直线AM经过线段EF的中点.【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助根与系数的关系，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题.（1）由直线l与x轴垂直，可得直线l的方程，从而求解出点的坐标，由BMx轴可得点坐标，从而得出直线AM的方程；（2）要证直线AM经过线段EF的中点，即证A，N，M三点共线，即证，设出两点，联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，从而得证.7【湖南省株洲市2019届高三第
16、二次教学质量检测（二模）数学试题】已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.（1）求抛物线的方程及准线方程；（2）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.【答案】（1）；准线方程为；（2）.【解析】（1）抛物线过点，解得，抛物线的方程为，准线方程为（2）方法一：不妨设在的左边，从而可设直线的方程为，即，由消去整理得设，则，故，点又由条件得与的倾斜角互补，以代替点坐标中的，可得点，且中点的横坐标为，以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，解得，直线的方程为，即方法二：设，因为直线关于对称，所以与的倾斜角互补，所以，所以，所以设直线的
17、方程为，由消去整理得，所以，所以，且中点D的横坐标为 因为以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即【名师点睛】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及计算能力，属于中档题（1）将点坐标代入曲线方程求出，于是可得曲线方程（2）方法一：由题意设出直线的方程，与抛物线方程联立消元后，根据根与系数的关系求出点的坐标，同理得到点的坐标，然后根据以线段为直径的圆与抛物线的准线相切可求得点中的参数，进而可得所求方程方法二：由题意得与的
18、倾斜角互补，由此可得，于是可设直线的方程为，与曲线方程联立消元后，再根据题意求得参数，进而得到直线方程8【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学试题】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.（1）求抛物线的标准方程；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为，抛物线的焦点为，抛物线的标准方程为.（2）当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，.当动弦所在直线的斜率存在时，易知的斜率不为0.设所在直线方程为，且，.联立方程：，得， .所在的直线方程为，联立方程，得点，综上所述：的最小值为2.【名师点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围19
