1、 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面解析几何（三）教学目的教学内容第五节 椭圆（一）高考目标考纲解读1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用3理解数形结合的思想考向预测1椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点2各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题（二）课前自主预习知识梳理1椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫 这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，
2、c0，且a，c为常数：(1)若 ，则集合P为椭圆；(2)若 ，则集合P为线段；(3)若 ，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点轴长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|离心率ea，b，c的关系c2（三）基础自测1(2010广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B. C. D.答案B解析本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(两边都除以a2)e或e1(
3、舍)，故选B.2(2009江西理)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算把xc代入椭圆方程可得yc，|PF1|PF2|，故|PF1|PF2|2a，即3b22a2又a2b2c2，3(a2c2)2a2，()2，即e.3设00，故选C.4椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|()A. B. C. D4答案C解析设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的方程可得F1(，0)即垂线的方程为x，由得y，|PF1|，由
4、椭圆的定义知|PF1|PF2|4，所以|PF2|，故选C.5过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析如图，过点B作BCAO，右焦点为F1(1,0)，AB的方程为y2(x1)2x2，必过短轴的一个端点，4x254(x1)220，解得x0或x.SOAB|OA|BC|2.6(教材改编题)若椭圆1的离心率为，则实数m_.答案或解析e21，则1或1，解得m或m.7求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0,5)，且截直线y3x2所成弦的中点的横坐标为的椭圆方程解析根据题意设所求椭圆的方程为1(ab0)c5，a2b250.由，消去y得10(b25)x212b
5、2xb2(b246)0.设直线与椭圆相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则x1，x2是上述方程的根，且有0.即40b62184b49200b20恒成立x1x2，b225，a275.所求椭圆方程为1.（四）典型例题1.命题方向：椭圆的定义例1求过点A(2,0)且与圆x24xy2320内切的圆的圆心的轨迹方程分析两圆内切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件解析将圆的方程化为标准形式(x2)2y262，这时，已知圆的圆心坐标为B(2,0)，半径为6，作图知：设动圆圆心M的坐标为(x，y), 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半
6、径之差等于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|BM|CM|6，又|CM|AM|，|BM|AM|6，根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点、线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b2a2c25.所求圆心的轨迹方程为1.点评(1)本题利用平面几何知识，挖掘动点运动的几何意义，这类求轨迹方程的方法叫定义法(2)平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a|PF1|PF2|2，a.
7、在方程1中，令xc，得|y|.依题意知，b2.即椭圆的方程为1或1.方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|，|PF2|.由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|PF2|知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，于是b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为 1或1.点评根据条件求椭圆的标准方程的思想是“选标准、定参数”，关键在于焦点的位置是否确定若不能确定应设方程为1，或1.当方程有两种形式时，应分别求解跟踪练习2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点
8、A(2，6)；解析(1)设椭圆的标准方程为1，或1.由已知a2b，且椭圆过点(2，6)，从而有1或1，由得a2148，b237或a252，b213.故所求的方程为1或1. (2)经过点P(2，1)，Q(，2)两点解析(1)设椭圆的标准方程为1，或1.由已知a2b，且椭圆过点(2，6)，从而有1或1，由得a2148，b237或a252，b213.故所求的方程为1或1.(2)设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入上述方程得，解得，所求椭圆的方程为1.3.命题方向：椭圆的几何性质例3如右图，从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点
9、F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线ABOM.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是右焦点，F1是左焦点，求F1QF2的取值范围；(3)设Q是椭圆上一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程分析从OMAB入手，寻求a、c间的关系，可以求得离心率e.解析(1)MF1x轴，xMc，代入椭圆方程得yM，kOM.又kAB且OMAB，故bc，从而e.(2)设|QF1|r1，|QF2|r2，F1QF2.r1r22a，|F1F2|2c，cos110.当且仅当r1r2时，上式等号成立，0cos1，故0，(3)bc，ac，设椭圆方程为1.直
10、线PQ的方程y(xc)|PQ|.又点F1到PQ的距离dc.SF1PQd|PQ|ccc2，由c220得c225，故2c250.所求椭圆方程为1.点评解焦点三角形问题时，使用三角形边角关系定理，通过变形使之出现|PF1|PF2|，便于运用椭圆定义，得a、c的关系跟踪练习3(2010新课标理)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解析联立椭圆方程与直线方程，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2
11、.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1|，得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.4.命题方向：直线与椭圆的位置关系例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析(1)设椭圆的方程为1(ab0)，由已知得：ac3，ac1，a2，
12、c1，b2a2c23.椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0即34k2m20x1x2，x1x2，又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kADkBD1，即1.y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216mk4k20.解得m12k，m2，且均满足34k2m20.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m2时，l的方程为yk，直线过定点.所以，直线l过定点，定点坐标为.跟
13、踪练习4(2010辽宁理)设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆C的方程分析本小题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质、弦长公式、向量运算，也考查运算能力与推理能力解题思路是(1)利用代数法求直线与椭圆的交点坐标，结合向量条件求出离心率(2)利用弦长公式，确定参数a、b的关系，再利用(1)的结果，确定a、b的值，写出椭圆方程解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c.联立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为
14、2，所以y12y2.即2.得离心率e.(2)因为|AB|y2y1|，所以.由得ba.所以a，得a3，b.椭圆C的方程为1.（五）思想方法点拨：1椭圆的标准方程(1)椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2By21，其中A、B是不等的正常数AB0时，焦点y轴上；BA0时，焦点在x轴上(2)椭圆的标准方程的求法定义法：根据定义，直接求出a2，b2，写出椭圆方程待定系数法步骤：.定型：是指确定类型，确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式.计算：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程2直线与椭圆的位置关系把椭圆方程1(ab0)与直线方程ykx
15、b联立取消去y，整理成形如Ax2BxC0的形式，对此一元二次方程有：(1)0，直线与椭圆有两个公共点P、Q，此时弦长求法：求P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式；由根与系数关系得到弦长公式|PQ|.(2)0，直线与椭圆有一个公共点(3)1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则该椭圆的离心率为()A2B. C. D.答案B解析由椭圆定义知2a314，故a2.m2a24，b2m213.c2a2b21，即c1.e.2已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析由选项知e与m无关，令m6，则a23，b22，c21，e.一般解法：2x23
16、y2m(m0)化为1，c2.e2.故选B.3(2008江西)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B(0， C(0，) D，1)答案C解析依题意得，cb，即c2b2，c2a2c2,2c2a2，故离心率e，又0e1，0eb0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.1答案D解析连接AF1，由圆的性质知，F1AF290，又F2AB是等边三角形，AF2F130，AF1c，AF2c，e1.故选D.5已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的
17、一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线答案A解析|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|，|PF1|PF2|PF1|PQ|2a.即|F1Q|2a.动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆6已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A3 B2 C. D.答案C解析依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x122y124，x222y224，x12x222(y12y22)，此弦斜率k，此弦所在直线方程y1(x1)，即yx代入x22y24，整理得3x26x10，x1x2，x1x22.|AB
18、|.7(2010四川理改编)椭圆1(ab0，c2a2b2)的右焦点为F，直线x与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C1,1) D.答案D解析由题意得|PF|AF|c，ac|PF|ac，accac，eb0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A.B. C. D.答案D解析0，PF1PF2，又tanPF1F2，令PF2PF1x，则，e.故选D.(理)设M为椭圆1上一点，F1、F2为椭圆的焦点，如果MF1F275，MF2F115，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理得，e.二、填空题9
19、若直线ykx1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则t的取值范围是_答案1,5)解析用数形结合法，ykx1恒过定点(0,1)，只要使(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，就能满足题设条件，1tb0)，且可知左焦点为f (2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4可得4，从而t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在解法2：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有：解得b212
20、或b23(舍去)从而a216.所以椭圆C的方程为1.(2)同解法1：点评求圆锥曲线的标准方程可以用定义法，也可以用待定系数法，两种方法比较定义法计算简单，但又不易想到，待定系数法计算较多但方法易于掌握，是常规方法对于探究性问题，我们的方法都是假设存在若真的存在，则一定能确定参数的值若不存在，则一定能推出矛盾，所以可以大胆假设13(2010北京文)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标解析本题考查了圆和椭圆的标准方程(1)且c，a，b1.椭圆
21、C的方程为y21.(2)由题意知点P(0，t)(1t0，得k，或k.又0AOB00.x1x2y1y20.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44.0.即k24.2k2.故由得2k或k2动点N的轨迹是以点C(1,0)A(1,0)为焦点的椭圆，且2a2，2c2a，c1，b21，E的方程为y21(2)由已知条件设直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得(k2)x22kx10直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220解得k，k的范围为(，)(，)(3)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)则(x1x2，y1y2)由方程得x1x2又y1y2
22、k(x1x2)2而D(，0)、B(0,1)(，1)与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式得k.由(2)知k故没有符合题意的常数k.第六节 双曲线（一）高考目标考纲解读1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想考向预测1双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点2主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目（二）课前自主预习知识梳理1双曲线的概念我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的 等于常数(大于零且小于 )的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲
23、线的 ，两焦点间的距离叫 集合PM|FM1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当 时，P点的轨迹是 ；(2)当 时，P点的轨迹是；(3)当时，P点2双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质焦点F1 ，F2 F1 ，F2 焦距|F1F2| c2 范围|x|a，yR|y|a，xR对称性关于 和 对称顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴实轴长 ，虚轴长 离心率e (e1)3.基础三角形如图，AOB中，|OA|a，|AB| ，|OB|c，tanAOB，OF2D中，|F2D| .（三）基础自测1(2010新课标文
24、)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A.B. C. D.答案D解析本题考查了双曲线的渐近线方程，离心率的计算，在解题时应首先考虑根据题意求得参数a，b的关系，然后利用c2a2b2求得离心率，题目定位于简单题设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e，故选D.2设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于()A1或5 B6 C7 D9答案C解析由渐近线方程yx，且b3，得a2，由双
25、曲线的定义，得|PF2|PF1|4，又|PF1|3，|PF2|7.3(2009江西文)设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A. B2 C. D3答案B解析考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法由题意可得cb，即c2b2，又b2c2a2，c2(c2a2)，解得e2.4设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在该双曲线上，且0，则P点的纵坐标为（)A. B C D答案B解析数学高考命题重视知识的相互渗透，往往在知识点的交汇处设计试题平面向量作为代数和几何的纽带，素有“与解析几何交汇，与立体几何联姻，与
26、代数牵手”之美称，它与解析几何一脉相承，都涉及到数和形，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、相交、三点共线、三线共点等)和数量关系(如距离、面积、角等)，都可以通过向量的运算而得到解决设P(x0，y0)，由题意可知F1(，0)，F2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0)，x02y021090，y02，y0.5(2010天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_答案1解析本题考查了双曲线的标准方程与几何性质由抛物线y216x的焦点坐标为(4,0)，得c4.又由双曲线的渐近线方程为yx得ba，又c2a2b2，解得
27、a2，b2.6双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_答案或解析双曲线的渐近线方程为yx，或.当时，e；当时，e.7如图，已知圆A的方程为(x3)2y24，定点C(3,0)，求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程解析依题意得|PA|PC|2.又|PA|PC|，且|AC|62.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为x21(x1)（四）典型例题1.命题方向：双曲线的定义及标准方程例1已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程分析设动圆M的半径为r，则|MC1|rr1，|MC2|rr2，则|M
28、C1|MC2|r1r2定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程解析如图，设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r.|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，21，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解析直线l的方程为1，即bxayab0，由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d1，同理得到点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250，解得e25.由于e1，所
29、以e的取值范围是e.3.命题方向：直线与双曲线例3已知曲线Cx2y21及直线lykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解析(1)由消去y，得(1k2)x22kx20.由得k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1x2.又l过点D(0，1)，SOABSOADSOBD|x1|x2|x1x2|.(x1x2)2(2)2，即()28.k0或k.跟踪练习3已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线lykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2，b1.故所求双曲
