1、减少解几试题计算量的十种方法 1 / 16 减少解几试题计算量的十种方法 在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是： （1 1）设而不求设而不求. . 【题 1】 （湖北黄冈，元月考，10 题） 已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点，椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点，若BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是 ( ) A.6x5y28=0 B.6x+5y28=0 C.5x+6y28=0 D.5x6y28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN 的重心，容易求出边
2、MN 的中点 坐标，那么求直线 l 的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是： 【解析】由2222458012016xyxy.椭圆上顶点 B（0，4）,右焦点 F（2,0）.为BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C（3，-2）. 设直线 l 的斜率为 k.，点1122,M x yN xy在椭圆上，2211222245804580 xyxy 121212121212121244664505545yyxxxxxxyyyykxxyy 所求直线方程为623652805yxxy，选
3、A. 【评注】我们用参数设置了 M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求设而不求. （2）使用特值使用特值 【题 2】 （湖北重点中学 4 月联考，理科 8 题）在离心率为65的双曲线222210 xyabab中，F 为右焦点，过 F 点倾斜角为 60的直线与双曲线右支相交于 A,B 两点，且点 A 在第一象限，若,AFmFB 则m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 xyOB 0 4( , )MNF 2 0( , )C 32( ,- )图 1 减少解几试题计算量的十种方法 2 / 16 【分析
4、】按常规求 m 值，必先求向量AFFB 与之长.由于双曲线的 方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的. 注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果. 所以我们可以通过取特值，让方程具体化. 【解析】65cea.不妨设2225,6,11accab =+b，双曲线 方程为：2212511xy,其右焦点6,0F，设6, 3Att，代入双曲线方程： 2211 625 325 11tt2641321210tt 16114110.tt于是11221111,4416tttmt ，故选 C. （3）平几平几给力
5、给力 【题 3】 （2011.武汉四月调考.15 题）过圆 C：22200(,)xyRM xy内一定点作一动直线交圆 C 于两点 P、 R， 过坐标原点 O 作直线 ONPM 于点 N， 过点 P 的切线交直线 ON 于点 Q，则OM OQ = 。 【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段. 【解析】如图 4,连 OP,则 OPPQ.但是 OQPR 于 N,根据 直角三角形的射影性质有：22OQONOPR 2cosOM OQOQ OMOQONR 即2OM OQR . （4）减少减少参数
6、参数 【题 4】 （北京西城元月考.13 题）双曲线22:1C xy的渐近线方程为 若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于,P Q两点，且2PAAQ ，则直线l的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问. yABFOA1B1x图 3 xyOPRQN图 2 减少解几试题计算量的十种方法 3 / 16 xyOA 1 0(,)PQ 按常规，为求直线l的斜率，必先确定 P 或 Q 的坐标.但由现有 条件却确定不了， 因此退而求 P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐标有 4 个未知量， 计算太过繁杂.故考虑减少未知量， 使运算量减半. 【解析】设1122,P x yQ xy.
7、当2PAAQ 时， 1220yy.设直线:1PQ yk x.令 x=y,得 11 ,1kyk yyk令 x=-y,得21 ,1kykyyk 于是：21200,01111kkkkkkk 1 210kk 【别解】 （巧用中点公式）如图设 P（a,a）,则 P 关于 A（1,0）的对称点为 R（2-a,-a）, AR 的中点 3,22aaQ符合所设条件且在直线 y=-x 上，3033 32,33222 212PQaaPk得 （5）回归定义回归定义 【题 5】 （山西师大附中，元月考，8 题）设12FF，是双曲线222210,0 xyabab的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使220.OP
8、OFF P （O 为坐标原点） ，且123PFPF ，则双曲线的离心率是（ ） 3231. 32. 3122ABCD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OPOFOQ 2OQF P 2OQF P 且必过的中点.可知12PFF为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距 c=1,.令 21= ,3 ,231PFrPFrar 则，1290 ,FPF但是 222221212,341.PFPFFFrrr 即，得 于是312,31231caea，选 D 得 k=3. 图 4 图 5 xyPOF1F2QM减少解几试题计算量的十种方法 4 / 16 （6）正难则反
9、正难则反 【题题 6】 （】 （北京海淀北京海淀， 5 月考月考， 7 题题） 若椭圆1C：1212212byax（011 ba） 和椭圆2C：1222222byax（022 ba）的焦点相同且12aa.给出如下四个结论：椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点； 1122abab； 22212221bbaa； 1212aabb.其中，所有正确结论的序号是（ ） A B. C D. 【分析】各选项都需鉴别 3 个命题，太繁了. 此外，正面论证哪 3 个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：其中不正确结论的序号是： A. B. C. D. 此外，4 个选项中，最容易用特值否定的是，故有 【解析】构造椭
10、圆22221212:1:1.251610 xyxCCyCC及显然与焦点相同 111122225102,4.210abababab但是这里，故结论不成立，选 B. 【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理. 首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的. 以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他 3 个结论的正确性. 既是两椭圆焦点相同，那么22222222221211221212ccababaabb.结论正确； 结论：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的
11、方程组无解. 222222221122222121222222222212121212222211111001xyabaabbxyxyaabba ab bxyab 既然结论正确，且已知12aa，2222222121222212120,=0.xyaabba ab b故必 最后的方程无解， ，这就证明了结论是正确的. 要考察结论是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法. xyFOB1B2减少解几试题计算量的十种方法 5 / 16 图 8-1 既然结论正确，即两椭圆没有公共点.已知12aa，所以椭圆 1 在 椭圆 2 的外面. 如图 6，设两椭圆公共右焦点为 F，上顶点分别为 12121
12、212,-,B BFB BFBFBB B，中，故必1212aabb 这就是说，结论也是正确的.既然结论正确，故选 B. 请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？ （7）数形结合数形结合 【题题 7 7】 （】 （北京西城北京西城.5.5 月考月考， 5 5 题题） 双曲线22221xyab的渐近线与圆22(2)1xy相切，则双曲线离心率为（ ） （A）2 （B）3 （C）2 （D）3 【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆 C 的圆心为 C（0,2）,且半径 r=1. 双曲线的渐近线:bl yxa切圆 C 于点
13、A,则AOC 是含 30角的 直角三角形，60 ,tan603,bAOxa 于是 22232caea，选 C. （8）三角代换三角代换 【题题 8 8】 （2007.2007.重庆卷重庆卷，2222 题题）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点321,PPP， 使133221FPPFPPFPP，证明 |1|1|1321FPFPFP为定值，并求此定值. 【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的
14、 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的. 图 7 xy OC02(,)byxa= A 图 6 xyOFP1P2P3l减少解几试题计算量的十种方法 6 / 16 图 8-2 正确的解题途径是： （1）利用椭圆的第二定义； （2）题中有 3 个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识. 【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12 2222212,12 336,27aabacc . 故椭圆方程为：2213627xy，其离心率12e . 如图 8-2 设111222333,P x yP xyP xy为椭圆上符合条件的三点， 令112233,FPr FPrFPr.
15、作 P1H1l于 H1，令111PHd， 设 P1Fx= 则 P2Fx= +120 P3Fx= 120 - . 于 是111122redx， 而1111193cos ,29cos2cosxrrrr. 同理：2399,2cos(120)2cos(120)rr.于是 12311112cos2cos(120)2cos(120)|9FPFPFP 126cos2cos120 cos93，故为定值. 【评注评注】如果读者有极坐标的有关知识如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁则本题的解法将更为简洁 （9）命题转换命题转换 【题 10】 （湖北重点学校 4 月考，19 题）椭圆的两焦点坐标分别为
16、123,0 ,3,0FF,且椭圆过点13,2.（1）求椭圆的方程； （2）过点6,05l作直线交该椭圆于 M,N 两点（直线l不与 x 轴重合） ，A 为椭圆的左顶点，求证;2MAN. 【分析】 （1）问，简单； （2）问，点6,05的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数. 【解析】 （1）由条件知椭圆半焦距3c ，13,2P点在椭圆上， xyOFlPxy111(,)Pxy222(,)Pxy333(,)120H1减少解几试题计算量的十种方法 7 / 16 22221211111 712 30222222 22aPFPF 221,14xby
17、于是所求椭圆方程为 （2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大 5 倍，根据相似原理，原命题等价于：过6,0Q 点作直线l交椭圆22110025xy于 M,N 两点（直线l不与 x 轴重合） ，A 为椭圆的左顶点，求证;2MAN. 设所求直线：6yk x，代入224100 xy： 22222224123610014481441000 xkxxkxk xk 于是2212122248144100,1414kkxxxxkk . 221212121266636y ykxxkxxxx 112212121210,10,10100AM ANxyxyxxxxy y 2221212110610036kxxkxxk 22
18、22222114410048106100361414kkkkkkk 4242242114444100288480100436144014kkkkkkk 这就证明了：2MAN. （10）先猜后证先猜后证 【题题 11】 （】 （湖北华师一附中湖北华师一附中.2010 .5 月考月考.19 题题） 以12(0, 1),(0,1)FF为焦点的椭圆C过点P(22，1)()求椭圆C的方程； ()过点S(13，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以A B为直径的圆恒过点T? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】本题难点在第()问.
19、考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明. xyOA10 0(-, )Q6 0(- , )M xy(,)11N xy(,)22图 9 减少解几试题计算量的十种方法 8 / 16 () 解法一（定义法定义法） ：设椭圆方程为22221yxab(0)ab，由已知1c 。 又2222222202 222a 所以2222,1abac， 椭圆 C的方程是2x+ 22y=1 解法二（方程法方程法） ：设椭圆方程为22221yxab(0)ab，由已知1c ，即221ab，得222211yxbbP(22，1)代入：2224222111213121012bbb
20、bbbb 220,1bb椭圆 C 的方程是2x+ 22y=1 ()（先用特殊值探求先用特殊值探求，再证明探求的结果再证明探求的结果）在椭圆方程中， 令1,3x 得43y .如图即有：1143STSASB.这说明 以弦 A1B1为直径的圆过点 T（1,0）.以下我们证明：椭圆中过点 S 的其他弦为直径的圆也过定点 T（1,0）只需证明0TA TB . 设直线 AB：13yk x.代入椭圆方程,整理得：22222182039kkkxx. 点 S 在椭圆内,此方程必有二实根12,x x,且22121222218,3292kkxxxxkk .于是 11221212111,1,1133TA TBxyxy
21、xxk xk x 22212121113939kx xkxxk 222222211182392092kkkkkkk 可知TATB,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点 T（1,0）. 练习题练习题 1.（北京东城二模，6 题）已知双曲线22221(0,0)xyabab，过其右焦点且垂直于实轴的直线与xyST(1,0)ABA1B1O图 10 减少解几试题计算量的十种方法 9 / 16 双曲线交于,M N两点，O为坐标原点.若OMON，则双曲线的离心率为 （A）132 （B）132 （C）152 （D）152 2.（2011.湖北重点学校 4 月考.文科.9 题）.已知抛物线220ypx p，RtA
22、BC 的 3 个顶点都在抛物线上，且斜边 ABy 轴，则斜边上的高为 （ ） A.2p B.4p C.p D.P/2 3.（湖北武昌，元月考，6 题）直线2yk x与抛物线28yx交于 A,B 两点.若 AB 中点的横坐标为3，则弦 AB 的长为（ ） A.6 B.10 C. 2 5 D.16 4.4.（2010.北京宣武 5 月考.8 题.）如图抛物线1C： pxy22和圆2C: 42222pypx，其中0p，直线l经过1C的焦点，依次交1C，2C于, ,A B C D四点，则CDAB的值为（ ） 2222.432pppABCD p 5 5（2010.北京.崇文.5 月考.8 题）已知圆的方
23、程2225xy，过( 4,3)M 作直线,MA MB与圆交于点,A B，且,MA MB关于直线3y 对称，则直线AB的斜率等于 （ ） （A）43 （B）34 （C）54 （D）45 6 （2011.元月.海淀.7 题）已知椭圆22:14xyEm，对于任意实数k，下列直线被椭圆 E 截得的弦长与:1lykx被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是（ ） A0kxyk B10kxy C0kxyk D20kxy 7 7. （2011.元月.北京西城.14 题）在平面直角坐标系中，定义1212( ,)d P Qxxyy为两点11( ,)P x y,22(,)Q xy之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直
24、线22 50 xy上一点的“折线距离”的最小值是_； 圆221xy上一点与直线22 50 xy上一点的“折线距离”的最小值是_. 8（2011.元月.湖北武昌.9 题）.如图，已知点 P 是圆22:2 21C xy的一个动点，点 Q 是直线:0l xy上的一个动点，O 为坐标原点，则向量OP 在向量OQ方向投影的最大值是（ ） 减少解几试题计算量的十种方法 10 / 16 A.3 B. 222 C. 3 2 D.1 9. （湖北黄冈， 元月.13 题） 如果点 P 在平面区域02012022yxyxyx上， 点 Q 在曲线22(2)2xy上，那么QP 的最小值为_ 10. （同上，14 题）过
25、双曲线22221xyab(a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线22221xyba上，则双曲线的离心率为 _. 11.（海南 12 校第一次联考，6 题）设双曲线 M:2221,0,1xyCa点，若直线 22212xttyt 为参数交双曲线的两渐近线于 A,B，且2BCAC ，则双曲线的离心率为 B 510. 5. 1023ABCD 12.（河北唐山一模.16 题）双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为12,F F,P 为双曲线右支上一点，2PF222xyb与圆切于点 G,且 G 为2PF的中点，则该双曲线的离心率 e= 13.（重庆 7 区 2 月考，8
26、题）设 F1，F2分别为双曲线 （a0,b0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足212PFFF,且点 P 的横坐标为54c（c 为半焦距） ，则该双曲线的离心率为 14. （2010.北京西城 5 月考.8 题）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，且 AB=2AD，设)2, 0(,DAB，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为1e，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为2e，则（ ） A随着角度的增大，1e增大，21ee为定值 减少解几试题计算量的十种方法 11 / 16 B随着角度的增大，1e减小，21ee为定值 C随着角度的增大，1e增大，21ee也增大
27、 C随着角度的增大，1e减小，21ee也减小 15.15.（2010.2010.武汉二月调考武汉二月调考.10.10 题题）. . 过定点过定点 P P（3,13,1）的直线的直线l交交 x x 轴正半轴于轴正半轴于 A,A, 交交 y y 轴正半轴于轴正半轴于 B,OB,O为坐标原点为坐标原点，则则OABOAB 周长的最小值为周长的最小值为（ ） A.8 B.10 C.12 D.A.8 B.10 C.12 D.4 5 参考答案参考答案 1. （平几给力）MON 是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦距.Rt12212,2MFFMFc FFc中，. 25 ,MFc125151.2251ace则于是
28、离心率 2.（设而不求）如图设111122,A x yB xyC xy，则斜边上的高12hxx.由CACB 12121212,0 xxyyxxyy222212121212020 xxyyxxp xx 1212120,=2 .2xxxxxxphp约去得：即，故选 A. 3. （平几给力）如图，抛物线的焦点为 F（2,0）准线方程为:2l x .若 M 为 AB 中点，由 A,M,B 分别向准线:2l x 引垂线，垂足依次为.111,A M B那么1MM是梯形11AAB BD 中位线，且15MM .故111210ABAABBMM,选 B. 4.（取特殊直线）如图：圆2C的圆心为抛物线的焦点,02p
29、F令直线 AD 与 x 轴垂直，那么xyAB23-2OA1B1MM11 题解图 xyOMNF1F2xyOABCD2 题解图 3 题解图 减少解几试题计算量的十种方法 12 / 16 ,2pFAFDp FCFB.2pABCDAB 与CD 同向，24pAB CD ，故选 A. 5.（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如 5 题解图 显然点( 4,3)M 在圆2225xy上. 点 M 关于 y 轴的对称点 N（4,3）也在圆2225xy上.连 ON.MN 平分AMB,N 为AB的中点. 必 ONAB.34,43ONABkk 6. （特值法省力） 不妨设 k=1,则 4 条直线依次为： A.y=-x-
30、1; B.y=x-1; C.y=-x+1; D.y=-x+2. 显然，A 与 B 关于 y 轴对称，B 与 C 关于 x 轴对称，这 3 条直线与直线 y=x+1 被椭圆22:14xyEm所截得的弦长都相等.故选 D. 7.（数形结合）直线22 50 xy交 x 轴于5,0 ,0,2 5 .AB 显然坐标原点 O 与该直线上一点的“折线距离”的最小值等于 5OA . 设点 P 为圆221xy上一点，为求其到该直线上一点 “折线距离”的最小值，显然点 P 只能在第一象限的圆弧上. 作 PQx 轴，交该直线于 Q，对于固定的 P，我们证明点 P,Q 的折线距离（也就是线段 PQ 之长）最小. 若点
31、 C 在 BQ 上，作 CFPQ 于 F，由于BQP=BAO45， , ( ,)CFQF d P CPFCFPQ； 若点 D 在 AQ 上，仅 P,D 横坐标差点绝对值已大于 PQ 之长. xyOPQABCDExyOABF p 2 0( / , )CDy2px =24 题解图 xyM(-4,3)OAB(5,0)y=3c(5,6)5 题解图 yx 1=- -yx 1=- +yx 2=- +y x 1= -Oxyy x 1= +6 题解图 7 题解图 减少解几试题计算量的十种方法 13 / 16 现在设2 5sincos,sin,sin0,22PQ.那么 15,5sincos5sin22d P Q
32、.当且仅当sin=1 时，所求最小值为52. 8. 解法 1.（数形结合）设圆 C 垂直于直线:0l xy的切线为 x=-y+m，代入 圆的方程：2222y2 21224 270myymym 令2220416 2328704 260mmmmm . 解得：2,3 2m . 取3 2,m 直线方程为3 2,xy令 x=y,得332,2 ,22Q 则所求投影的最大值为99322OQ ，选 A. 解法 2.（平面几何给力）过圆心0,2 2C作直线 :0l xy的平行线，设与圆的上交点为 P，PMl于 M， 又作 ON直线 CP 于 N, 21,sin452 22,2CPCNOC 故所求投影的最大值为3
33、OMNP 9.（数形结合数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线 x-2y+1=0 的切线，设其方程为2y0.xm则圆心 M（0，-2） 到此直线的距离42,4105mdm .取410m ， 则切线方程为2y4100.x 所求QP 的最小值为4101525 10.设双曲线右焦点为 F（c,0） ，取渐近线:bl yxa，FMl于 M,直线 FM 的方程为： xyOPQC:0l xy-=xyOQC: l xy-PMNxyOA 0 2( , )B1 0(- , )C 1 1( , )M 02( ,- )x 2y 1 0-+ =x 2y m 0-+=8 题解图 1 8 题解图 2 9
34、题解图 减少解几试题计算量的十种方法 14 / 16 ayxcb 由0byxbaaxxcaabyxcb 22,cacaxxabbc，从而2b aabyacc,得 2,aabMcc.代入椭圆方程： 42222224422222aa baba babbababcc.则双曲线的离心率为2 11.（减少参数）双曲线的渐近线为xya ，直线的一般方程为1yx 由11,;1Byxxaxxxaaya 由11,yxxxxaya ,1Aaxa 由条件知 A 为 BC 中点，2.11aaaa 0,12 103aaaa .于是 1010,3ce离心率.选 B. 【评注】只求 x，不求 y，省力的典范. 12.（回归
35、定义）当2PF222xyb与圆切于点 G 时，有22,c,.OGbOFGFa但于是 12222 .2aPFPFbaba知290 ,OGF222222255.cOGGFOFacea xyOF c 0( , )MxyOC 0 1( , )BxyPOF1F2bcaaG11 题解图 12 题解图 xyF4 01(- , )OF4 02( , )PQ 5 0( , )13 题解图 ABCDOxy14 题解图 减少解几试题计算量的十种方法 15 / 16 O A B P(2,1) x y M N 1 1 2 2 13. （取特值， 回归定义） 不妨令 c=4， 则点的横坐标为 5.如图有122124,0
36、,4,0 .8.FFPFFF则 作 PQx 轴于 Q,有 Q(5,0).且2222816363912.PQPF， 21111282,222caPFPFea离心率 14.（回归定义，三角法）连 AC,BD. 不妨设1,AD 则2,22cosABCD . 由余弦定理： 54cosACBD. 对于双曲线, 11154cos1 ,22aDBDA1121,54cos1ce . 0,2,当增大时，1e减小. 对于椭圆,21154cos122aDACA,222 1 cos11 cos ,.254cos1cCDe , 122 1 cos4 1 cos214 1 cos54cos154cos1e e,故为定值.
37、 15.解法 1（三角代换）如 15 题截图 1，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N，则 ON=2,ON=1. 设OAB=NPB=，则 NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec. 于是OAB 的周长 2cot12tancsc2secL 22222 1 sin1 cos3sincos2 cossin2cos22232sincoscossin2222 2 cossin2 cossin2sin222223cot3cot22cossincossin2222 4sin425cot6cot122cossincot1222 15 题解图1减少解几试题计算量的十种方法 16 / 16 x
38、 y O P(2,1) A B M N Q(a,a) H 15 题解图 20,0,.cot10,2242 于是62 410L ，故选 B. 【说明】进一步研究：当且仅当4cot12cot12 ，即2cot14cot322时等式成立.此时3tan4.于是4103510025252,12,3342946OAOBAB ，满足 OA+AB+OB=10. 解法 2.（平几给力）首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径. 如图，设直角OAB 斜边上旁切圆的圆心为 Q（a,a） 作 QHAB 于 H, QMx 轴于 M，QNy 轴于 N 那么 QM=QN=QH=a. 由QAMQAP 知 QM=QH,且 AM=AH.同理 QN=QH 且 BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a. 连 PQ,则PQQHa.令,PQa即22221650.aaaaa 1a（舍） ，或5a .于是所求OAB 的最小值为 L=2a=10.
