《高等数学》下册期末总复习第七版2022级.pdf

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1、第 1 页共 17 页 1 高等数学A1(下册)期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数 1、点( , , )M x y z向量( , , )OMx y zxiyjzk=+； 2、点111222( ,), (,)A x y zB xy z向量212121(,)ABxx yy zz=； 3、设(,),( ,)xyzxyzaa a abb b b=，则 222|xyzaaaa=+；cos,cos,cos|yxzaaaaaa=； (,)xxyyzzabab ab ab=；(,)xyzaaaa=（为数）； | |cos( , )xxyyzza baba ba ba ba b

2、=+； xyzxyzijka baaabbb=，(| |sin( , ),)a ba ba b a bb a ba=； yxzxyzbbbabaaa=（对应坐标成比例）； 0aba b =； cos( , )|a ba ba b=； |cos( , )Prjabba b= （二）曲面、空间曲线及其方程 1、曲面及其方程:( , , )0F x y z=或( , )zf x y= （1）旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】：yOz面上的曲线( , )00f y zCx=：绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为22:(, )0fxyz+=; （2）柱面【柱

3、面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】：二元方程( , )0F x y =为母线平行于 z 轴的柱面，其准线为( , )00F x yz=；第 2 页共 17 页 2 （3）二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】：椭球面2222221xyzabc+=、单叶双曲面2222221xyzabc+=、双叶双曲面2222221xyzabc=、椭圆锥面222222zxycab=+、椭圆抛物面2222zxycab=+、双曲抛物面2222zxycab=等；（4）要熟悉常见的曲面及其方程并会作图【球面2222000()()()xxyyzzR+=，圆锥面22zxy=+，圆柱面221

4、xy+=，旋转抛物面22zxy=+等】 2、空间曲线及其方程：(1)一般方程（面交式）( , , )0( , , )0F x y zG x y z=：;(2)参数方程( )( )( )xx tyy tzz t=：. 3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：（投谁便消去谁）. 如要投 xOy 面，( , , )0( , , )0F x y zG x y z=：消去 z 得( , )0:( , )0:0H x yH x yCz=. 注意：往往要作图才能要正确得到投影注意：往往要作图才能要正确得到投影. 4、会作简单立体图形:由曲面定交线，而交线由几个关键点描点画之！（三）平面方程与直

5、线方程： 1、平面方程平面方程： 1）一般方程：0AxByCzD+=，其中( , ,)nA B C=为其一法向量 2）点法式方程：法向量( , ,)nA B C=，点000(,)M xy z，则000: ()()()0A xxB yyC zz+= 3）截距式方程：1xyzabc+= 4）平面束方程：过直线1111222200A xB yC zDA xB yC zD+=+=的平面束方程为 11112222()()0AxB yC zDA xB yC zD+= 第 3 页共 17 页 3 2、直线方程：直线方程： 1）对称式方程（点向式方程）：方向向量( , , )sm n p=，点

6、0000(,)Mxy zL，则000 xxyyzzmnp= 2）参数式方程：000 xxmtyyntzzpt=+=+=+； 3）一般式方程：1111222200A xB yC zDA xB yC zD+=+= 3、面面、线线、线面关系：面面、线线、线面关系： 1)面面：121212121222222212111222|cos|cos( ,)|n nA AB BCCn nnnABCABC+=+； 121212121200n nAABBCC =+=； 1111212222ABCnnABC=（或重合） 2)线线：121212121222222212111222|cos|cos( ,)|s smmn

8、，,A B 为二直线上分别任意取定的一点 5、面积：、面积：（1）三角形面积1|2Aab=；（2）平行四边形面积|Aa b=. 6、平行六面体体积、平行六面体体积| |()|Va b ca bc=. 第 4 页共 17 页 4 二、多元函数的微分学及其应用（一）极限极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）： 002200( , )(,)lim( , )0,0,( -)()( , )-x yxyf x yAx xyyf x yA= +当0 时,有| （二）连续性连续性：0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf x y= 2200000,0,( -)(

9、)( , )-(,)x xyyf x yf x y +当时,有| （三）偏导数：偏导数： 1、显函数显函数：( , )zf x y= 1）定义定义：0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx +=， 0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy += 2）直接直接求导法求导法：对x求偏导，暂时视y为常量；对y求偏导，暂时视x为常量. 【对某个自变量求偏导时，把其余自变量看成常数！】【对某个自变量求偏导时，把其余自变量看成常数！】 3）复合函数的求导法则（链式法则）复合函数的求导法则（链式法则）：若( , )zf u v=具有

10、连续偏导数，而( , )ug x y=与( , )vh x y=都具有偏导数，则复合函数 ( , ), ( , )zf g x y h x y=的偏导数为：12uxvxxxzzuzvfufvfgfhxuxvx=+=+=+； 12uyvyyyzzuzvfufvfgfhyuyvy=+=+=+ 特别的，设 ( ), ( )zf h x g x=，则12( )( )dzfh xfg xdx=+ 例如，设(,23 )zf xyxy=+，其中f具有二阶连续偏导数：令,23uxy vxy=+，则121222zfyfyffx=+=+，123zxffy=+. 212111122

11、1221111222()2()(3)2(3)(32 )6zyfffy fxffxffxyfyx ffx yyy=+=+ + +=+ .注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法2）高阶混合偏导数在连续的条件下相等； 3）其中1123( , )(,23 )(,23 )uu xyvxyf u vffxyxyf xyxyu=+=+【即】与原函数具有相同的复合结构. 第 5 页共 17 页 5 2、隐函数：隐函数： 1）一个方程的情形：一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：( )( )0( , )0 xyxyy y xxyy xxF dxF dyFdydxFF x y=+= = ：公

12、式法：隐函数求导法：方程两边对求导，注意为的函数微分法方程两边取微分，三元方程可确定一个二元隐函数：()( , )( , )0,( ,)0 xyzxyz z x yxyyxz z x yzzF dx F dy F dzdzFFzzdxFdyFF x yz=+= = = =：方程两边对或求偏导,注意为、的函数公式法：隐函数求导法微分法：方程两边取微分， 2）方程组的情形：（隐函数求导法）方程组的情形：（隐函数求导法）三元方程组确定两个一元隐函数：( )( )( , , )0,( , , )0y y xz z xxF x y zdy dzG x y zdx dx=对求导四元

13、方程组可确定两个二元隐函数：( , , , ) 0( , , , ) 0F x y u vG x y u v=( , )( , )u u x yv v x y=()()xyyx对或求偏导，视或为常量,得,uvxx（或,uvyy）（四）全微分全微分：可微函数( , )zf x y=的全微分为：xydzz dxz dy=+. 定义为：0000(,)(,)( )zf xx yyf xyA xB yo =+= + +，其中22()()xy=+ . 关系图多元函数在某点：连续偏导数存在可微分偏导数连续（五）应用应用： 1、几何应用：几何应用： 1）空间曲线的切线与法平面：空间曲线的切线与法

14、平面： a、若曲线的方程为参数方程：( )( )( )xx tyy tzz t=，点0000(,)M xy ztt =，则切向量为000( ( ),( ), ( )Tx ty tz t=，切线方程为000000( )( )( )xxyyzzx ty tz t=；法平面方程为000000( ) ()( ) ()( ) ()0 x txxy tyyz tzz+= 第 6 页共 17 页 6 b、若曲线的方程为：( )( )yf xzg x=，点000(,)M xy z，则切向量为00(1,(), ()Ty xz x=，从而可得切线方程与法平面方程 c、若曲线的方程为一般方程：(

15、, , )0( , , )0F x y zG x y z=，点000(,)M xy z，则切向量为00(1,(), ()Ty xz x=（利用隐函数求导法，方程两边对x求导，可得,dy dzdx dx），从而可得切线方程与法平面方程【另解：1(,)|xyzMnF F F=，2(,)|xyzMnG G G=，可取切向量为12Tnn=】附录附录平面曲线的情形平面曲线的情形（1）若平面曲线( ):( )xx tCyy t=，00ttMC=，则切向量00( ( ),( )Tx ty t=，法向量00( ( ),( )ny tx t=；（2）若:( )C yf x=，000(,)Mx

16、 yC，则0(1,()Tfx=，0(), 1)nfx=；（3）若:( , )0C F x y =，000(,)Mx yC，则00(1,)(1,)|xMx xyFdyTdxF=，0(,)|xyMnF F=. 2）曲面的切平面与法线：曲面的切平面与法线： a、若曲面的方程为( , , )0F x y z =，点000(,)M x y z，则法向量为：000000000(,),(,),(,)xyznF xy zF xy zF xy z=，切平面方程为：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzF xy zxxF xy zyyF xy zzz+=；法线方程为：000

17、000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz= b、若曲面的方程为( , )zf x y=，点000(,)M x y z，则法向量为：0000(,),(,), 1)xynfxyfxy=，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz+=；法线方程为：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy= 第 7 页共 17 页 7 2、极值：极值：1)无条件无条件：设( , )zf x y=【f具有一、二阶连续偏导数】，则由( , )0( , )0 xyfx yfx y=解得驻点00(,)x y，

18、令000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy=，然后利用, ,A B C判定极值与否： 20ACB有极值，0A极小，0A极大； 20ACB无极值； 20ACB=用此法无法判定注意：最后必须求出极值 2）条件极值条件极值：法 I【拉格朗日乘数法】 ( , )zf x y=在条件( , )0 x y=下的极值：令( , )( , )( , )L x yf x yx y=+，联立方程( , )0( , )0( , )0 xyL x yLx yx y=，其解00(,)x y为可能的极值点至于它是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定法 II【化为无条件极值】由方程

19、( , )0 x y=解出( )yy x=【要求好解！】，然后转化为一元函数 , ( )zf x y x=的无条件极值问题 3、方向导数与梯度：方向导数与梯度：（以二元函数为例） 1 ）、方向导数方向导数：设( , )zf x y=可微分，(cos ,cos)le=，则000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl=+ 2）梯度：梯度：( , )( , ),( , )gradxyf x yfx yfx y=，方向导数的最大值为梯度的模，取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向；且梯度为等值线( , )f

20、 x yC=上的一个法向量第 8 页共 17 页 8 三、积分 (一) 求法求法 1、重积分重积分 I、二重积分二重积分( , )DIf x y d= a、直角坐标直角坐标：( , )DIf x y dxdy=2121( ):( )( )( )12( ):( )( )( )12( , ),( , ),byxa x bDXyxy yxayxdxyc y dDYxyx xycxydxf x y dydyf x y dx =若上下若：左右若 D 既不是 X型也不是 Y型，则适当分割之注意：通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型 b、极坐标极坐标： cossin(c

21、os ,sin )xydd dDIfd d = 2121:( )( )( )( )( cos ,sin )Ddfd II、三重积分三重积分( , , )If x y z dv= a、直角坐标直角坐标( , , )If x y z dxdydz=： 1）投影法投影法： i）先一后二公式： 2121( , )( , , )|( , )( , ),( , )( , )( , , )xyxyzx yx y z zx yz zx yx yDzx yDIdxdyf x y z dz= ii) 三次积分公式：12221211:( )( )( )( , )( , )( , )( )( , )( , ,

22、)a x byxy yxbyxzx yzx yz zx yayxzx yIdxdyf x y z dz 2）截面法截面法：（先二后一公式）( , , )|,( , )( , , )zzdx y z c z dx yDcDIdzf x y z dxdy= b、柱面坐标柱面坐标：cossinxyz zdvd d dzI =(cos ,sin , )fzd d dz 1212:( )( )( , )( , )zz z 2211( )( , )( )( , )( cos ,sin , )zzddfz dz 第 9 页共 17 页 9 c、球面坐标球面坐标：2sincossinsincossin

23、x ry rz rdv rdrd dI =2( sincos , sinsin , cos )sinf rrrrdrd d 1212:( )( )( , )( , )rr r 2211( )( , )2( )( , )sin( sincos , sinsin , cos )rrddf rrrr dr 2、曲线积分曲线积分 I、第一类（对弧长）第一类（对弧长）： a、平面曲线：平面曲线：( , )Lf x y ds( ):( )x x tLy y tt= 22 ( ), ( )( )( )()f x ty txtyt dt+ b、空间曲线空间曲线：( , , )f x y z ds( ):

24、( )( )x x ty y tz z tt= 222 ( ),( ), ( )( )( )( )()f x ty tz txtytztdt+ II、第二类（对坐标）第二类（对坐标） a、平面曲线平面曲线： ( , )( , )LIP x y dxQ x y dy=+ i)参数法：( ):( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )x x tLy y ttIP x ty t x tQ x ty ty tdt=+由变到 ii)与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续定理定理设函数( , ),( , )P x y Q x y在单连通区域D内处处具有连续

25、的偏导数，则下列命题相互等价：（1）( , )( , )LP x y dxQ x y dy+在D内与路径无关；（2）沿D内任意一条闭曲线C，( , )( , )CP x y dxQ x y dy+0=；（3）在D内恒有：PQyx=；（4）( , )( , )P x y dxQ x y dy+在D内为某函数( , )u x y的全微分，即存在函数( , )u x y，使得 ( , )( , )( , )P x y dxQ x y dydu x y+= 这里( , )u x y可由下列三种方法求得：曲线积分法：00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x

26、y dxQ x y dyC=+；凑全微分法：利用微分的运算法则，将( , )( , )P x y dxQ x y dy+凑成()d，则( , )u x y()C+；偏积分法：由duPdxQdy=+，得( , )xuP x y=；第 10 页共 17 页 10 两边对x求偏积分可得( , )( , )( , )( )u x yP x y dxf x yC y=+ 两边对y求偏导可得( , )( )yyufx yC y=+，再由( , )yuQ x y=，可解得( )C y，从而得( , )u x y iii）Green 公式：( , )( , )()LDQPP x y dxQ x y

27、dydxdyxy+=，注意条件：偏导数处处连续，L 为 D 的正向边界、L 为封闭曲线；若若 L 不是封闭曲线则补之不是封闭曲线则补之 iv）化为第一类：( , )( , ) ( , )cos( , )cos LLP x y dxQ x y dyP x yQ x yds+=+ b、空间曲线空间曲线：( , , )( , , )( , , )IP x y z dxQ x y z dyR x y z dz=+ i) 参数法：( ):( )( ) ( ),( ), ( )( ) ( ),( ), ( )( ) ( ),( ), ( ) ( )x x ty y tz z tP x ty tz tx t

28、Q x ty tz ty tR x ty tz tz ttIdt=+由变到 ii) *与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续 iii) Stokes 公式： coscoscosdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzdSxyzxyzPQRPQR+=或；不闭则补之注意方向：的方向与的侧符合右手规则 iv) 化为第一类：( coscoscos )PdxQdyRdzPQRds+=+ 3、曲面积分曲面积分 I、第一类（对面积）：第一类（对面积）： 222222 , , ( , )1:( , )( , , ) , ( , ), )1:( , ) ( , ), , 1

29、:( , )xyzxyzxyDxzDyzDf x y z x yzz dxdyzz x yIf x y z dSf x y z x zyy dzdxyy z xf x y zy zxx dydzxx y z+=+=+= II、第二类（对坐标）第二类（对坐标）：( , , )( , , )( , , )IP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy=+ 1） Gauss 公式：()PQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyz+=+ 若不闭则补之注意条件：偏导数处处连续及方向性：为的整个边界曲面的外侧 2）投影法：注意垂直性若不垂直，则 ( , , ):(

30、 , ) ( , ), , yzDP x y z dydzxx y zP x y zy z dydz=【前正后负】第 11 页共 17 页 11 ( , , ):( , ) , ( , ), zxDQ x y z dzdxyy z xQ x y z x z dzdx=【右正左负】 ( , , ):( , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyzz x yR x y z x y dxdy=【上正下负】 3）化为第一类：(coscoscos )PdydzQdzdxRdxdyPQRdS+=+ 4）化为单一型：coscos()coscosPdydzQdzdxRdxdyPQR dx

31、dy+=+ (二) 应用应用 1、面积：面积：平面DAdxdy=；曲面AdS=，221xyxyDAzzdxdy=+（221yzyzDxx dydz+或221zxxzDyy dzdx+） 2、体积：体积： Vdv=；( , )DVf x y d=【曲顶柱体】 3、物理应用：物理应用：质量、功、转动惯量、质心、引力、流量（通量）、环流量等等【自学之】设( ( , , ),( , , ), ( , , )AP x y z Q x y z R x y z=，则散度divPQRAxyz=+，旋度rotijkAxyzPQR= （三）奇偶对称性奇偶对称性：设f连续 1、定积分定积分的奇偶

32、对称性奇偶对称性：00,( )( )2( ),( )aaaf xf x dxf x dxf x=若为奇函数；若为偶函数. 2、二重积分二重积分的奇偶对称性奇偶对称性：设设D关于关于x轴对称轴对称，则，则 10,( , )( ,)( , )( , )2( , ),( , )( ,)( , )DDf x yf xyf x yf x y df x y df x yyf xyf x yy= = 若关于数:数；偶若:,为奇函关于为函其中其中1D为为D在在x轴上方的部分轴上方的部分同理，若D关于 y 轴对称，则还需视还需视( , )f x y关于x的奇偶性第 12 页共 17 页 12 3、

33、三重积分三重积分的奇偶对称性奇偶对称性：设设关于关于xOy面对称面对称，则，则 10,( , , )( , ,)( , , )( , , )2( , , ),( , , )( , ,)( , , )f x y zf x yzf x y zf x y z dvf x y z dvf x y zf x yzzf x y zz= =关于为奇函数关于:为偶函若:；,数若其中其中1为为在在xOy面上方的部分面上方的部分同理，若关于yOz面对称，则还需视还需视( , , )f x y z关于x的奇偶性；而若关于zOx面对称，则还需视还需视( , , )f x y z关于y的奇偶性 4、对面积的曲面

34、积分对面积的曲面积分的奇偶对称性奇偶对称性：设函数( , , )f x y z在光滑（或分片光滑）曲面上连续若若关于关于xOy面对称，则面对称，则 10,( , , )( , , )2( , , )( , , )f x y zzf x y z dSf x y z dSf x y zz=若关于为奇函数；，若关于为偶函数. 其中其中1为为在在0z 的部分的部分同理，若关于yOz（或zOx）面对称，则视( , , )f x y z关于x（或y）的奇偶性特别注意：本对称性对特别注意：本对称性对于于第二类曲面积分（即对坐标的曲面积分）不适用！第二类曲面积分（即对坐标的曲面积分）不适用！ 5、

35、对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的奇偶对称性奇偶对称性：设函数( , )f x y在光滑（或分段光滑）曲线L上连续若若L关于关于x轴对称，则轴对称，则 10,( , )( , )2( , ),( , )LLf x yyf x y dsf x y dsf x yy=若关于为奇函数；若关于为偶函数. 其中其中1L为为L在在0y 的部分的部分同理，若L关于y轴对称，则视( , )f x y关于x的奇偶性特别注意：本对称性对特别注意：本对称性对于于第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）不适用！第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）不适用！第 13 页共 17 页 13 四、级数（一）常

36、数项级数及其收敛性常数项级数及其收敛性 1、定义定义： 1nnu=收敛（发散）limnns存在（不存在）【部分和12nnsuuu=+】 2、基本性质基本性质：1）1(0)nnku k=与1nnu=具有相同的收敛性； 2）1nnu=与1nnv=都收敛1()nnnuv=收敛【口诀：收加收为收，收加发为发，发加发未必发】 3）改变有限项的值不影响级数的收敛性 4）收敛的级数可以任意加括号 5）若1nnu=收敛，则lim0nnu=；反之未必 6）若lim0nnu，则1nnu=发散 3、特殊级数的收敛性特殊级数的收敛性【必须牢记之】：调和级数11nn=发散； p级数11pnn=（常数0p ）：当

37、1p 时收敛，当1p 时发散；等比级数（几何级数）0nnaq=，当| 1q 时发散，当| 1q 时收敛，且 0(| 1)1nnaaqqq= 4、正项正项级数级数1nnu=，其中0(1,2,)nun=： I、1nnu=收敛 ns有界 II、比较：1）0()nnuv nN某一自然数【一般项大的级数收，小的也收；小的发，大的也发】； 2）lim(0)nnnullv= +【同敛散】第 14 页共 17 页 14 III、比值（根值）：1lim(lim)nnnnnnuuu+=，当1时收敛；当1()= +时发散；而当1=时用此法不能判定其收敛性 IV、极限：lim(0)pnnn ull= +，当

38、1p 时收敛；当1p 时发散 5、交错级数交错级数1( 1)(0,1,2,)nnnnu un=：nu单调减少趋于零 6、一般项级数一般项级数1nnu=（nu为任意常数）：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）（二）幂级数幂级数0nnna x=或00()nnnaxx=： 1、Abel 定理定理：若幂级数0nnna x=在当00(0)xx x=时收敛，则0nnna x=当0| |xx时必绝对收敛；若0nnna x=当0 xx=时发散，则0nnna x=当0| |xx时必发散. 2、收敛半径收敛半径：1）若0na 【不缺项】：1lim(lim |)nnnnnnaaa+=，,0,1/,0,0,;R

39、+= += + 2）若缺项：1( )( )lim1( )nnnuxxux+=，解得收敛区间 3、收敛域收敛域：先求收敛半径R，可得收敛区间(,)R R，再讨论端点xR=处的收敛性可得所求的收敛域 4、幂级数和函数的求法幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数 5、函数展开成幂级数函数展开成幂级数00( )()nnnf xa xx=()xI： 1）直接展开法直接展开法：【利用 Taylor 展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的

40、展开式 2）间接展开法间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式注：以下注：以下 7 7 个常用的展开式必须牢记：个常用的展开式必须牢记： 0(|)!nxnxexn= +; ; 210sin( 1)(|)(21)!nnnxxxn+= + 第 15 页共 17 页 15 20cos( 1)(|)(2 )!nnnxxxn= +; ; 01(| 1)1nnxxx= 01( 1)(| 1)1nnnxxx=+; ; 10ln(1)( 1)( 11)1nnnxxxn+=+= + (1)(1)(1)21(|1)

41、2!(1)nnxxxxnx +=【为为非零非零常数，常数， 1,10( 1,110( 1,1)1I= 】（三）傅里傅里叶级数叶级数：只复习2T=情形，一般周期2Tl=类似 1、系数系数：1( )cos(0,1,2,)1( )sin(1,2,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn=， 2、收敛性收敛性：条件为条件为在一个周期上 1）处处连续或只有有限个第一类间断点；2）至多只有有限个极值点 3、和和： 001(cossin)2nnnx xaanxbnx=+00000(),( )()(),( )2f xxf xf xf xxf x+=+若为的连续点;若为的间断点 4、傅里叶级数展开式傅

42、里叶级数展开式：01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx=+，()xC 其中()() |( )2f xf xCx f x+= 5、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数： 1）若( )f x为2T=的周期函数，则对( )f x验证收敛定理的条件，求出( )f x的间断点，利用收敛定理，写出( )f x的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性 2）若( )f x只在, 上有定义，则必须对( )f x进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数( )F x的傅氏级数展开式限制

43、在, 上讨论 3）若( )f x只在0, 上有定义，对( )f x进行奇（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！第 16 页共 17 页 16 五、微分方程（一）一阶微分方程一阶微分方程：( , ,)0F x y y =，( , )yf x y =或( . )( , )0M x y dxN x y dy+= 1、可分离变量可分离变量：( )( )f x dxg y dy=，积分之可得通解 2、齐次齐次： ( )dyydxx=，令yux=，可将原方程化为关于, x u的可分离变量 3、线性线性：( )( )dyP x yQ xdx+

44、=，通解为( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC=+；或利用常数变易法或利用积分因之法：( )( )P x dxxe= 4、伯努利伯努利：( )( )(0,1)ndyP x yQ x yndx+=，令1 nzy=，可将原方程化为关于, x z的线性 5、全微分方程全微分方程：( , )( , )0()QPP x y dxQ x y dyDxy+=判定：在单连通区域内，连偏 1）曲线积分法：通解为( , )u x yC=，其中00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy=+； 2）凑微分法：利用微分的运算

45、法则，设法将原方程凑成 0d =，则可得通解为C= （二）可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程： I、( )( )nyf x=【右端只含 x】：连续积分之； II、( ,)yf x y=【不显含 y】：令,yp =则dpydx =，可将原方程化为关于, x p的一阶 III、( ,)yf y y=【不显含 x】：令yp =，则dpypdy=，可将原方程化为关于, y p的一阶（三）常系数线性微分方程常系数线性微分方程： 1、齐次齐次：0ypyqy+=，其中, p q都为常数 1）特征方程20rprq+=12,?r r= 2）通解：12112121212121,2()(coss

46、in).rxr xr xxCeC erryCC x erreCxCxri+=+=+=，相异实根：；，相等实根：；，共轭复根： 2、非齐非齐次次：( )ypyqyf x+=，其中, p q都为常数 1）先求出对应的齐次方程0ypyqy+=的通解：( )YY x=； 2）后求原非齐次方程的特解 A、( )( )xmf xe P x=型：令*( )kxmyx e Qx=，其中k是特征方程含根的重数第 17 页共 17 页 17 B、( ) ( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx=+型：令*( )cos( )sinkxmmyx eQxxRxx=+，其中max , ml n

47、=，k是特征方程含根i+的重数. 3)所求的通解为: ( )*( )yY xyx=+= （四）概念与理论概念与理论 1. 概念概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线 2. 线性微分方程的解线性微分方程的解的结构的结构： 1）齐次齐次：( )( )0yP x yQ x y+=，通解通解：1122( )( )yC y xC y x=+，其中12( ),( )y x y x为该方程线性无关的两个解 2）非齐次非齐次：( )( )( )yP x yQ x yf x+= 通解：( )*( )yY xyx=+，其中( )Y x为对应的齐次方程的通解，*( )yx为原方程的一个特解 3）设12*( ),*( )yx yx分别为 1( )( )( )yP x yQ x yf x+=与2( )( )( )yP x yQ x yfx+=的特解，则 12*( )*( )yyxyx=+ 为12( )( )( )( )yP x yQ x yf xfx+=的特解

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