1、1科学研究的结果和数据处理主讲：林建联系电话：15105178268Email：2第1节 试验数据的误差分析 试验的目的是获得规律，规律的表现形式在于数据 误差存在的客观性 误差范围的可控性和数据的可靠性本章的主要内容：1. 误差来源2. 误差表示3. 误差估计4. 误差传递31.1 真值与平均值 真值客观值或实际值。真值一般是未知的;但从相对的意义上来说，真值又是已知的: 理论真值约定真值相对真值 平均值真值的近似值或估计值 。4（1）算术平均值 适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试验条件相同的试验。设有n个试验值：x1，x2，xn，则它
2、们的算术平均值为：5（2）加权平均值 设有n个试验值：x1，x2，xn，w1, w2,，wn代表单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为： 适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。6权数或权值的确定： 当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频率ni / n作为权数。 如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1） 根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。 例1-2 权数的计算： x1的绝对误差为0.1； x2的绝对误差为0.02，则： x1的权数为 w1=1/0.12=100 x2的权数为 w2=1/0
3、.022=2500一般有三种方法7（3）对数平均值 设有两个数值x1、x2，都为正数，则它们的对数平均值为： 注意： 如果0.5x1/x2 2时，可用 代替 ，误差4.4 适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。 8（4）几何平均值（5）调和平均值 设有n个正试验值：x1，x2，xn，它们的调和平均值为： 适用场合：试验值的倒数服从正态分布 。 适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时 。 设有n个正试验值：x1，x2，xn，则它们的几何平均值为：91.2 误差的基本概念 1.绝对误差绝对误差=试验值真值 x =xxt 最大绝对误差的估算：用仪器的精度等级估算；用仪器最小刻度估算 真值一
4、般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：102. 相对误差 由于真值一般为未知，所以相对误差也不能准确求出，通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围： 在实际计算中，常常将绝对误差与试验值或平均值之比作为相对误差，即： 或113. 算术平均误差 设试验值xi与算术平均值之间的偏差为di，则算术平均误差定义式为：（1-23) 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程度。124. 标准误差 标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或
5、较小的误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。 它常用来表示试验值的精密度：标准差越小，试验数据精密度越好。 当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为： 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差，其定义为： 131.3 试验数据误差的来源及分类 1.随机误差指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。特点：在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差的算术平均值趋于零。随机误差的来源：偶然因素随机误差具有一定的统计规律：(1) 有界性；(2) 正误差和负误差出现的频数大致相等；(3)
6、绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。(4) 当测量次数n，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。14 2. 系统误差系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。特点：系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试验条件改变时按照某一确定的规律变化。当试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小。系统误差的来源：仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）；操作不当；个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）；试验方法本身的不完善。15 3. 过失误差 粗差、人为误差：是一种显然与事
7、实不符的误差。特点：没有一定的规律。过失误差的来源： 由于实验人员粗心大意造成的， 如读数错误、记录错误或操作失误等。 在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从测得的数据中剔除。161.4 试验数据的精准度 精准度包含三个概念：精密度、正确度、准确度。1.精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。2.正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。3.准确度：又称精确度，简称精度，含有精密、正确两重含义，用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随机误差合成的大小程度。171.5 试验数据误差的估计与检验 1随机误差的估计对试验值精密
8、度高低的判断：(1)极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。Rxmax-xmin(2)标准差：总体标准差、样本或子样标准差s反映试验数据的分散程度： 或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。(3)方差：方差即为标准差的平方方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。182 系统误差的检验秩和检验法：检验两组数据之间是否存在显著性差异；证明新试验方法的可靠性。例1-5设甲、乙两组测定值为：1. 数据按从小到大排序，确定个数据的秩；2. 将其中一组的秩相加，称为秩和。记为R1或R2 ；甲组数据的个数n1=6乙组数据的个数n2=9甲组数据的秩和R1=7
9、911.511.51415681.由秩和临界值表（见附录1）可查得R1的上下限T2和T1，如果R1T2或R1T2，所以两组数据有显著差异）193 过失误差的检验 试验数据中:随机误应要进行估计系统误差要设法消除不能含有过失误差如何判断数据中有“坏值”判别过失误差的界限涂改数据是假数据；不科学地剔除数据也是假数据。可疑数据取舍的一般原则：(1) 试验中发现异常数据，应停止试验，分析原因并纠正。(2) 试验后发现异常数据，应先找原因，再进行取舍。(3) 在分析数据时，如原因不确切，应对数据进行统计处理；(4) 对舍去的数据，在报告中应注明原因或所选用的方法。20（1） 拉依达（Pauta）准则三倍
10、标准差准则方法：1) 计算包括可疑值在内的平均值及标准偏差； 2) 计算偏差值、偏差值绝对值、3s值或2s值；3) 比较偏差绝对值与3s值的大小，如果：则应将xp从该组试验值中剔除。序号测定值 偏差值及其检验xi10.128-0.012-0.02220.129-0.011-0.02330.131-0.009-0.02540.133-0.007-0.02750.135-0.005-0.02960.138-0.002-0.03270.1410.001-0.03280.1420.002-0.03190.1450.005-0.028100.1480.008-0.025110.1670.027-0.00
11、60.140s0.01123s0.033521（1） 拉依达（Pauta）准则三倍标准差准则（续）显著性水平，表示检验出错的几率。3s或2s的选择与显著性水平有关：3s相当于显著水平= 0.012s相当于显著水平= 0.05适用场合:测定次数n 20测定次数n f (，n)，则应该剔除x1或xn。 注意事项： 1)可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。 2)剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。 3)根据测定次数n，确定判别过失误差的准则：n20时，用3s准则241.6 有效数字和试验结果的表示 1有效数字-能够代表一定物理量的数字(1)有效数字的位数可反映
12、试验的精度或表示所用试验仪表的精度，所以不能随便多写或少写。1.5687g，精度为0.0001g，相对误差为1/156871.5g,精度为0.1g，相对误差为1/15 (2)小数点不影响有效数字的位数。第一个非0数前的数字不是有效数字，而第一个非0数后的数字是有效数字。50，0.050，5.0，29 2位有效数字29.00，5.000，12.47 4位有效数字(3)在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。9.99 4位有效数字 8.210 5位有效数字252 有效数字的运算规则(1)加、减结果的位数应与其中小数点后位数最少的相同。先计算,后对齐 11.96 10.2+
13、 0.003 22.163先对齐,后计算 12.0 10.2+ 0.0 22.2(2)乘积、商的有效数位数，应以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。例如：12.69.810.050中0.050的有效数字位数最少，只有两位，所以有12.69.810.050 = 6.2。 (3)乘方、开方后的有效数字位数应与其底数的相同。例如： 2.42=5.8 26(4)对数的有效数字位数与其真数的相同。 例如ln6.84=1.92；lg0.000044。(5)在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。 例如(22.6+22.8+22.5+22.3+22.5)/5=22.54 原来只有3位有效数字
14、，而计算结果增加了一位。(6)取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据的位数如有限制，则应服从原始数据。 (7)常数的有效数字位数，根据需要取 。 (8)一般的工程计算中，取23位有效数字。273 有效数字的修约规则 四舍六入尾留双 例如，将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159 3.142 1.36653 1.366 2.33050 2.330 2.77719 2.777 2.7777 2.778 2.4566 2.4574和4以下的数字舍去，6和6以上的数字进位；若是5，要看它前面的一个数：奇数就入，偶数就舍281 误差传递基本公式 1.7 误差的传递 设间接测量值y
15、与直接测量值xi之间存在函数关系： yf(x1，x2，xn) 通过对上式进行全微分，用差分代替微分，可导出绝对误差的传递公式： 相对误差的传递公式：误差传递系数 标准误差的传递公式：29 常用函数的误差传递公式 30例1-11配制溶液 溶液浓度的计算公式为c=W/V c为浓度(mg/ml)，W为试样质量（mg)，V为体积(ml)。 V=1000mlV0.01mlc=0.5mg/ml 要求：c/c 0.1问W ?3 误差传递的应用 解：由绝对误差的传递公式：相对误差的传递公式为：将V、V、 c、c/c 代入，得：根据c = W/V ，算得：W=500 mg则W= 5000.1%=0.5 mg 需要用万分之一的分析天平称量
