1、专题讲座高中数学“算法与框图” 一、整体把握“算法与框图”的教学内容 （一）算法 1什么是算法 算法（ algorithm ）一词源于算术 (algorism) ，算术方法的原义是一个由已知推求未知的运算过程后来，人们把它推广到一般，指算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则，甚至把把进行某一工作的方法和步骤也称为算法 例如，人们在计算过程中，先乘除，后加减，从内到外去括号等规则，都是按部就班必须遵守的算法人类最早关于算法的记录存在于在两河流域发现的公元前两三千年的泥板书上，其中的一个典型例子就是计算利息何时能够够等于本金算法早期发展中值得一提的另一个成果应归功于古希腊的欧几里
2、得，他提出的计算最大公约数的方法辗转相除法（又称欧几里得算法）至今仍在使用 我国古代数学发展的主导思想，就是构造“算法”，解决问题可以说：我国古代数学中蕴含着丰富的算法思想，其中最具代表性的就是九章算术 九章算术是战国、秦、汉时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著其内容按类分章，以数学问题的形式出现，包括分数四则运算、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心，与古希腊数
3、学完全不同的独立体系 我们现在学习的算法，不同于求解某一个具体问题的方法，它应具有如下特点： 2算法的特点 通用性：能解决一类问题能重复使用 程序性： step by step 算法过程要一步一步执行 确定性：算法的每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清 可行性：算法中的每一个步骤必须是能实现的例如，在算法中，不允许出现分母为零的情况；在实数范围内不能求一个负数的平方根等 有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行 3为什么要学习算法？ 算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括
4、性和精确性对于一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败算法是思维的条理化、逻辑化算法所体现出来的逻辑化特点被有些学者看成是逻辑学继形式逻辑和数理逻辑之后发展的第三个阶段因此，培养逻辑思维能力，不仅可以通过几何论证、代数运算等手段来进行，还可以通过算法设计的学习来达到 4整体把握“算法”教学内容 课程标准中算法的内容以两种形式呈现：一是在本模块中，相对集中地介绍算法的基本思想、基本结构、基本语句等；另外，标准还要求把算法思想渗透在其他相关内容之中中学数学中的算法内容和其他内容是密切联系在一起的，比如线性方程组的求解、数列的求和等具体来说，需要通过模仿、操
5、作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程，体会算法的基本思想和含义，理解算法的基本结构和基本算法语句，并了解中国古代数学中的算法 （二）框图 框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具 框图分为流程图和结构图两种流程图用来描述动态过程，可用来刻画数学问题或其他问题的解决过程，结构图用来刻画系统结构或组成流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系 框图有直观、明确的特点用框图表达数学问题解决的过
6、程或事物之间的关系，有助于提高抽象概括能力和逻辑思维能力，提高清晰表达和交流思想的能力 （三）重点、难点分析 课标要求： 1. 算法初步（约 12 课时） （ 1 ）算法的含义、程序框图 通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环 （ 2 ）基本算法语句 经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步
7、体会算法的基本思想 （ 3 ）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献 2. 框图（约 6 课时） ( 文科 ) （ 1 ）流程图 通过具体实例，进一步认识程序框图 通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例 4 、例 5 ） 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用 （ 2 ）结构图 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息 结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用 结合课标要求和前面的分析，可以看到：算法中，算法思想即程序化处理问题的思想是教学的重点，而算法的基本结构、基本语句无疑
8、也是算法学习的重点难点则集中体现循环结构的学习中程序框图，作为描述算法的一种简洁清晰地语言，是算法也是框图的重点 另外，算法与框图除作为各自单元学习的内容之外，其思想方法也应渗透在高中教学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构让程序化思想成为我们思考问题的习惯 二、“算法与框图”教与学的策略 （一）注重算法基本思想的理解 算法与框图作为新名词，在以前的数学教材中没有出现，但是算法与框图本身，学生并不陌生，解方程的算法、解不等式的算法、每章的知识结构图，都是同学们熟知的内容只是算法的基本思想、特点，学习算法的必要性等问题没有专门的涉及 算法与框图首先培养学
9、生的是一种思维习惯，为了让学生体会这种思想，这种思维方法的好处， 一开始的时候，我们不应该让算理成为算法学习的难点应选用大量具体的、学生熟悉的实例，在剖析具体实例的过程中，体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性 例 1 让学生整理用加减消元法解二元一次方程组 的步骤，并将步骤用语言描述；（该步骤即为算法） 在这个过程中，体会算法就是有条理地解决问题的步骤；体会算法的特性：通用性、程序性、确定性、可行性、精确性等 给人看的算法与给机器用的算法 例 2 红色的瓶装着红墨水，蓝色的瓶装着蓝墨水，请设计算法，将两瓶里的墨水互换 S1 ：找一个空瓶 S2 ：将红墨水倒在空瓶里，于是红瓶空了 S3 ：
10、将蓝墨水倒在红色的瓶里，于是蓝瓶空了 S4 ：将空瓶里的红墨水倒在蓝瓶里 例 3 判断 1997 是否质数？ 算理：用小于 1997 的所有数去除 1997 ，看余数是否为 0 S1 ：用 2 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，执行下一步 S2 ：用 3 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，执行下一步 S1995 ：若 1996 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出“不是质数”，结束；若余数不为 0 ，输出“质数” （二）案例教学是算法与框图教学的基本
11、方法 在 算法与框图的 教学中，案例应该贯穿始终 从某种意义上来看，程序框图、程序语言其实都是一种描述算法的语言那么，语言应该如何学习呢？适合在具体的语境中通过模仿、使用来学习 比如算法的三种基本逻辑结构及其框图表示，可用下面的方法来教学 （三）赋值语句与循环结构的教学 在算法中有两个难点： 一个是赋值 语句 ，一个是循环结构 教学中，教师要注意分散这些难点比如说：我们可以在讲完算法的概念之后，就安排一节课，专门讲“变量与赋值”，学生有了一定的了解之后，再讲算法的三种逻辑结构，并在这两种结构中有意识地运用“变量与赋值”，以求达到让学生逐步熟悉的目的，这样，循环结构中再用到变量与赋值的时候，就比
12、较自然，学生可以将主要精力放在循环结构的其它部分，达到了分散难点的目的 【案例 1 】变量与赋值 我们已经注意到，设计算法的过程中，解决问题的基本思想常常很简单，很清楚，但是表述却很麻烦，（比如说：判断 1997 是不是质数）为了解决这个问题，需要引入变量与赋值，在初中我们就了解变量的含义：在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为变量 变量和函数是中学数学最重要和最基本的概念，在算法和程序设计中，它们仍然发挥着重要和基本的作用，它们会使算法的表述变得非常简洁、清楚 这节课来介绍如何设置变量和给变量赋值 例 1 设计一个算法，从 5 个数中找出最大数 剖析算理：解决这个问题的思想很简单，先选两个
13、数进行比较，去掉小的，留下大的；再取第三个数与留下的数进行比较，去掉小的，留下大的；继续进行，直到每个数都被比较，最后留下的数就是最大数 设计算法： 记这 5 个不同的数分别为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ，算法步骤如下： 1 比较 a 1 与 a 2 ，将较大的数记作 b 在这一步中， b 表示的是前两个数中的最大数 2 再将 b 与 a 3 进行比较，将较大的数记作 b 执行完这一步后， b 的值就是前 3 个数中的最大数 3 再将 b 与 a 4 进行比较，将较大的数记作 b 执行完这一步后， b 表示的是什么？ 4 再将 b 与 a 5 进行比较，将较大的数
14、记作 b 执行完这一步后， b 表示的是什么？ 5 输出 b ， b 的值即为所求的最大数 上述算法的四个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数 b 进行比较，得出新的最大数，也记作 b ， b 可以取不同的值，通常把 b 称作变量 比如第 1 步中，如果 a 1 a 2 ，则把 a 1 的值赋予 b ，否则就把 a 2 的值赋予 b 这个过程称为赋值把将 a 1 的值赋予 b 记作： b = a 1 （ b a 1 或 b ： = a 1 ） 其中 “ ” 为赋值符号 第一步用赋值语句，可以表示为： 如果 a 1 a 2 ，则 b a 1 ，否则， b a 2 回到例，在这个问题中，可以将
15、a 1 作为初始值赋予变量 b 这样可以把算法步骤改写如下： 1 b a 1 ； 2 比较 b 与 a 2 ，如果 b a 2 ，则 b a 2 ； 3 比较 b 与 a 3 ，如果 b a 3 ，则 b = a 3 ； 4 比较 b 与 a 4 ，如果 b a 4 ，则 b a 4 ； 5 比较 b 与 a 5 ，如果 b a 5 ，则 b = a 5 ； 6 输出 b , b 就是这 5 个数中的最大数 本题中只有一个变量 b . 变量和赋值的概念在算法中十分重要可以把变量想象成一个盒子，赋值就相当于往盒子里放东西这个盒子可以装不同的数值，但是一次只能装一个当赋予它新值的时候，原来的值将被
16、新值取代当变量参与运算和操作时，它表示的是想象中盒子里装的值 有的老师用“ 喜新厌旧 ”来比喻 赋值语句，只要给他一个新的数值，旧的数值马上不见踪影；形象有趣；还有 “ 见异思迁 ” 的条件语句； “ 不撞南墙不落泪 ” 的循环结构 例 2 现有一瓶红墨水，一瓶蓝墨水，红墨水装在了红瓶子中，蓝墨水装在了蓝瓶子中，设计一个算法，将两瓶墨水对调瓶子 问题的实质就是：现有两个变量 a , b , 设计算法，交换两个变量的值于是，需增设一个变量 c . c = a , a = b , b =c. 例 3 设计算法，判断一个大于 2 的正整数 n 是否质数？ 剖析算理：先从具体的例子看起：如何判断 19
17、97 是不是质数？ 用小于 1997 的所有数去除 1997 ，看余数是否为 0 这个问题中有 1 个变量（除数），若有必要，余数也可设成变量 S0 ： i =2 S1 ：用 i 去除 1997 ，看余数是否为 0 ，若余数为 0 ，输出 “ 不是质数 ” ；若余数不为 0 ，执行下一步 S2 ： i = i +1 S3 ：若 i 1997 ，返回 S1 ；否则，输出 “ 质数 ” 算法教学要注意循序渐进，先具体再抽象，先了解算理，再描述算法通常，我们说一个算法越是抽象，有一般意义，应用就越广泛，越能体现算法本身的应用价值可是，作为教学意义上的算法则不同，一定要从具体问题出发分析算法的算理、步
18、骤，然后抽 象概括出一般意义的算法，画出算法流程图， 并在这个过程中，学习使用变量，学习更好的表示算法，以便在计算机上操作执行 【案例 2 】循环结构 循环结构之所以是教学的难点，主要的原因是由于它的高度抽象循环结构的主要组成部分是循环体，而循环体中往往涉及两个变量计数变量和累加变量，变量的选择、变量的初值、循环的终止条件，这些都是学生容易犯错误的地方 如何突破这个难点？除了把变量和赋值先期处理，分散难点之外，更重要的是让学生明确循环体各部分的作用 可以选择从顺序结构中生成循环结构，一方面可培养学生的抽象概括能力，另一方面，也便于学生迅速把握循环的主体，采用中心突破，前后补充的方法来生成循环结
19、构 可以从下面的问题引入： 画出计算的程序框图 多数同学们都可以用顺序结构来实现这时可以提问： 问题 1 ：如果画出的程序框图，我们还能够用顺序结构有效的实现该题的算法吗？如果累加到一百万分之一呢？ 这就需要我们找到一个新的方法解决这个问题 至此，学生已经体会到了循环结构的必要性 在此基础上，抽丝剥茧，形成概念 问题 2 ： 观察这个结构里的这 5 个步骤有什么规律呢？ 学生通过独立思考发现了两个规律： (1) 变量S每次都重复加上一个形如 形式的数重新赋值给S； (2) 每次加上的数 与步骤数 i有关，这几步是在重复地进行将 i+1赋值给 i这一过程 至此，循环的主体已经形成 从算法的有穷性
20、出发，学生很自然地得到了循环终止条件，顺势抽象出 循环结构的概念： 根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构 最后通过变式探究，来突破难点 对循环体各部分作用的辨析，可以帮助学生在理解算法多样性的同时养成严谨细致的好习惯 易错扫描： 不同的程序语言，对于程序框图的设计有细微的要求，比如 Basic 语言，要求弄清楚“当型循环”和“直到型循环”，这是为了后面程序语言的学习作准备；而 Scilab 语言的两种循环结构“ While 循环”、“ for 循环”，则没有这种要求总的来说，最本质的是要搞清楚：条件框的位置、内容起决定作用 （四）学会检验 所编写的程序框图是否正确？
21、输出地结果应该是什么？框图实现的是什么功能？初值应该如何填写？ 这些问题都可以通过检验来得以解决应该帮助学生学会通过 对循环变量的追踪分析来检验框图的正确性 检验步骤应该如何写？ 例 1 检验： 检验的过程，也是循环过程的再现，不仅可以使学生加深对循环结构的理解，也是培养学生严肃认真的科学态度好时机 例 2 求满足 1 2 +3 2 +5 2 + n 2 1000 的最大整数解的程序框图 处应为 n 4 . （五）算法设计要注重算理 高中数学中学习算法，与计算机教学中学习算法有何区别？ 本模块的主要目的是使学生体会算法的思想、提高逻辑思维能力，不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计
22、数学内容中学习算法，不同于计算机程序设计，更重要的是明确算理、优化算理 循环结构的算法设计尤为困难，而明确算理，最关键的是在于从特殊中提炼一般，从具体中归纳抽象变量的确定在其中起着至关重要的作用 例 1写出求 （该式子中共有 6 个 2 ）的值的一个算法， 并画出流程图分析：如何从具体中抽象出算理？例 2设： ，以下是计算分数 中分子 m 和分母 n 的程序流程，试填入流程框图中所缺部分； （ 1 ） _；（ 2 ） _. 分析： 1 ）确定变量及其作用 分子 m ，分母 n ，循环变量 k ，变量 t 2 ）研究算理： 从具体的开始： 抽象出算理： m = k m + n ， n = t 3
23、 ）根据检验的步骤往下写： m =7 ， n =1 ， k =6 ，否， t =7 ， m =6*7 +1 ， n =7 ， k =5 否， t =7 ， m =5*43+ ？ ， n = t ， k =5 例 3 S=1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+ +50) 分析：变量的设置优化循环结构 要帮助学生掌握解决算法问题的基本步骤： 第一、清晰地描述问题 第二、明确算理 第三、用自然语言描述解决问题的步骤 第四、确定问题中的常量与变量 第五、用框图描述解决问题的过程 第六、选择特殊情况进行检验 （六）程序语言的教学 本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表
24、示算法，为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言在条件允许的学校，应该尽量为学生提供上机的机会，使其将设计的算法能在计算机上实现，一方面有助于学生养成重视细节的习惯，另一方面，计算机上实现算法，实际上是对于算法学习成果的检验，是算法学习中的一个重要环节 关于语言的选择，可选择教材或学生熟悉的语言一般在学习算法的时候，通过上计算机课，学生已经有了一定的计算机基础，要充分发挥学生的主动性和积极性，选出一部分程序语言较好的同学，采取小组互助学习的方式进行 （七）框图（文科）的教学建议 框图是学生在必修三学习算
25、法之后，为了强化文科同学的条理性和逻辑性而设置的板块框图的内容学生并不陌生，算法中的流程图、各章节的知识结构图，都是学生熟悉的内容 框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性也可以围绕学生感兴趣的话题展开，比如有的学生会选择画出红楼梦的人物关系图等 流程图，可以用来描述具有时间特征的动态过程，关于流程图的教学，除了围绕算法展开，也可将解题（或干某件工作）的步骤条理化，形成操作程序如，可让学生用流程图整
26、理解解析几何题的常规步骤 结构图则是用来刻画系统结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系如知识结构图、组织结构图等要注意流程图与结构图的区别 例 1右图是集合的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（ ） A “集合的概念”的下位 B “集合的表示”的下位 C “基本关系”的下位 D “基本运算”的下位 三、学生学习目标检测分析 （一） 课程标准与高考对“算法与框图”的要求 依据课标要求和考试说明的要求，将算法与框图学习的主要检测内容与标准整理如下： 总体而言，高考中，程序框图是考察的重点，算法语句的考察需要结合各地所使用的教材 另外，课标一再提到：算法与框图除作为各自
27、单元学习的内容之外，其思想方法也应渗透在高中教学课程其他有关内容中因此，不要只用高考的模式学算法，平时教学中，也不要只用高考的方式考算法应鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构通过这些来考察学生对于程序化思想的掌握程度，并培养学生的逻辑思维能力 下面我们选择一些例题加以说明： （二）典型题目的检测分析 例 1阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于 （ A ） 2 （ B ） 3 （ C ） 4 （ D ） 5 【选题目的】考查认识程序框图的基本能力选 B 的学生是忽略了 s = s + a 与 i = i +1 的顺序，但明确算理 可要求学生将此程序框图写成
28、算法语言考察对于算法语言的使用 高考中对算法的考察，一般用程序框图考察循环结构，并且考察对象一般是循环体中的关键赋值语句、控制条件、变量初始值或者输出结果解答问题的关键在于通过检验的步骤明确算理 对输出结果的考察属于其中最简单的层次，只需按照程序框图依序执行即可 例 2阅读下边的程序框图，若输出 s 的值为 7 ，则判断框内可填写 （ A ） i 3? （ B ） i 4? （ C ） i 5? （ D ） i 6? 答案： D 解析：涉及循环语句的问题，通常可以采用依次执行循环体的方式解决 第一次执行循环时 s =1 ， i =3; 第二次执行循环时 s = 2 ， i =5 ； 第三次执行
29、循环时 s = 7 ， i =7 ， 所以判断框内可填写 “ i 6?” ， 选 D. 可要求学生将此程序框图转化为程序语言，因为循环次数已知，可用 while 循环，也可用 for 循环 例 3 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园， 20:00 停止入园在右边的框图中， S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， 表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 _ 【选题目的】仍然考查学生认识程序框图的基本能力但填写条件框和执行框属于其中较高层次的能力考察例 2 考察学生是否会根据检验步骤填写条件；例 3 则考察学生是否学会通过阅读明确算理 （ 3 ）国庆
30、期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： （ i ）若不超过 200 元，则不予优惠； （ ii ）若超过 200 圆，但不超过 500 元，则按标价价格给予 9 折优惠； （ iii ）如果超过 500 元， 500 元的部分按照第（ ii ）条优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优惠，设计一个收款的算法，画出程序框图 【选题目的】编制程序框图是综合运用所学知识解决问题属于高层次能力考察在算法教学中要有这样的测试 例 5（ 1 ）画出算法一章的知识结构图 （ 2 ）用流程图表示解析几何中求轨迹方程的一般步骤 【选题目的】将算法与框图的知识运用到日常教学中，渗透到其它内容
31、的学习中，将算法与框图的考察结合到整个高中数学内容中 学习算法，能指导对问题的统筹操作，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，运用框图表达知识结构 把算法作为认识其他数学知识的工具，用算法思想突出逻辑思维能力的培养， 增强学生对该部分知识的理解，增强学生的“算法意识”和“应用意识”，让学生体会学习的乐趣互动对话【参与人员】 梁丽平：人民大学附属中学 侯立伟：人民大学附属中学 李 岩：人民大学附属中学【互动话题】 1算法与框图教学的趣味性原则 慧眼识金：通过从 9 个银元中挑出略轻的一个银元步骤，来引导学生学会如何按照程序，分步解决问题. 漂洋过海：通过生活中人，狼，羊过河的实例，让学生体会“图
32、形语言，自然语言，程序语言的”相互转换的过程. 跳出重围：通过设计互动游戏“跳青蛙”，来让学生参与课堂，体会运用算法思想解决问题过程中所包含的逻辑思想. 大象装冰箱统共分几步：从生活中场景出发，浅谈顺序结构、条件结构、循环结构的设计和循环结构应用实例. 2算法语句教学的实践性原则” 感知现代信息技术的作用和威力：在计算机软件的帮助下，计算调和级数的过程。 实践是检验真理的唯一标准：浅谈学生自主编写程序语言解决实际问题和生活中的问题的过程. 3与算法教学相关的探索学习 “青出于蓝而胜于蓝”，学生教学生，更能发挥学生主动性 . “师不必贤于弟子，弟子不必不如师”，浅谈学生范浩强数值积分到算法的科研
33、之路. 案例评析【案例信息】 课题算法的三种基本逻辑结构和框图表示（三）循环结构授课教师：李岩（人民大学附属中学）评析教师：梁丽平（人民大学附属中学）【课堂实录】 【案例评析】如何上好新课程理念下的数学课，如何将新课程新增加的教学内容有效的纳入到整个高中数学知识的逻辑体系中去，这是摆在每个正在经历新课程洗礼的数学教师面前的一个严峻的课题. 中国人民大学附属中学的青年教师李岩老师所上的算法的三种基本逻辑结构和框图表示（三）循环结构为我们提供了一节很好的范例，对我们进一步理解新的课程改革的实质，进一步推进课程改革在课堂教学中的实践与研究，都提供了很好的启示. 以下，我就这节课做一简要点评： 一、本
34、节课充分体现了新课程的理念，把握住了课改的精神. 新的课程标准和过去的教学大纲的一个不同点，就是十分关注学生的学习过程，而不仅仅是“规定教学内容的范围和要求”. 这一不同点体现出在教学理念上的重大变化. 我们所上的每一节课是否符合新的课程标准，是否在变革“灌输式”的教学方式，其关键是看教师是否在关注学生. 教师是否确确实实地在教学中关注学生的学习状态和学习效果，从内心里去尊重学生的主体地位；我们的课堂教学是否确确实实地在由学科知识本位走向学生发展本位，由侧重认知层面走向关注整体素质; 我们的教学过程是否确确实实地有利于学生自主学习. 从这个意义上说, 李岩老师这节课在这一点上, 给我们许多有益
35、的启示: 如课题的引入，非常自然，不漏痕迹. 从学生熟悉的学校社团活动的实例：模拟联合国宣传展板到一道作业题的分析，让学生们 看到在框图中存在了这样的一部分，就是要重复一系列的步骤若干次，每次重复的步骤完全相同，从而引发学生进入到积极的思维状态； 在随后的教学活动中，始终是教师在引导学生不断地进行理性的思考和交流： 如在“寻求规律，逐步形成循环结构概念和框图”阶段： 李老师不是简单地给出循环结构的概念，而是引导学生从已经解决过的问题出发去寻求规律，根据学生的发现认知过程初步形成循环框图，引出循环结构的概念； 在“归纳模式，深入情境理解循环框图”阶段： 李老师也是根据学生认知规律，引导学生归纳出
36、循环结构的重要组成部分终止条件、累加变量和计数变量； 在“剖析算理，探究循环体各部分的作用”阶段： 李老师又能精心设计问题，通过“用多种方法实现题目的程序框图”来引导学生体会计数变量不只是用于记录循环的次数，还参与了累加的过程，而且还可以作为判断循环终止的条件. 这样的一系列的具有探索性的学习活动，促使学生思考、探究和互动，反复触碰本节课的思维核心“循环结构”，不断深化对学习内容的理解，使得 45 分钟的课堂教学，牢牢的把握住了学生的思维进程. 学生通过这样的学习，充分享受到了思维带给他们的快乐！ 课堂上引导学生探究问题是培养学生学习兴趣的最常用的方法. 李岩老师这节课对我们的启发是：作为教师
37、，一定要老老实实地把自己放在一个和学生平等的位置上，要注意倾听学生的想法，要努力创设一个师生之间、同学之间多向交流的平台，要把体验成功的快乐让给学生. 二、对新课程的新增内容的教学意义做了准确的认识和挖掘，并在教学过程中做出了较为深刻的揭示. “循环结构”的教学如果仅仅是简单的图解式的介绍，仅仅是把它看成是一种程序框图知识性的介绍的话，这样的教学效果就要打个大大的折扣，这样的教学的意义也就荡然无存了. 因为算法教学不是计算机课，我们的教学目的也不仅仅在于教给学生如何编制程序框图. 通过这节课的教学设计与实践，我们看到李老师对“循环结构”教学的定位非常准确，即：算法教学仍然是数学教学的继续和延伸
38、，是培养学生掌握数学的思维方法和研究数学问题的生动的素材. 正是基于这样的认识，这节课的教学处处体现了数学的思维特点，处处渗透了理性的观点，展现给学生的是数学逻辑的魅力！使学生对新知识的认识没有陌生感，能很快地纳入到他们的知识结构和思维体系中. 听完这节课的老师一个共同的感受是：这还是一节原汁原味的数学课. 正是由于李老师对教材内容深刻的认识和把握，使得新增知识的合理性得到了最恰当的解释，使其完全符合数学知识的内在逻辑性，为优化学生的数学思维结构起到了非常重要的作用. 因此，这节课的一个最大的亮点，就是能够始终用数学的观点和方法理解和认识“循环结构”的教学内容，整节课充满了数学的辨证思维的光辉
39、. 思考与活动【思考与活动】1. 数学中算法教学的重点是什么？算法的基本思想是什么？ 2. 设计一份算法与框图的检测试题。 在形成性评价和终结性评价上你还有哪些思考和困惑？介绍一个你在某一方面的测试方案并谈谈命题思考。 3. 将下面的问题的解决过程用流程图表示： 1 ）点到直线的距离公式。 2 ）已知两边及一边对角判断三角形解的个数。 选一个专题做出教学设计，并交流算法思想如何渗透到高中数学各章节中。 参考资料【相关资源】1. 古代算法思想（PDF）2. 品味算法的交汇性-续（PDF）3. 秦九韶算法的教学价值（PDF）4. 有效利用例题教学算法循环结构（PDF）课程简介高中数学“算法与框图”
40、教学研究【课程简介】算法是科学计算的重要基础，算法思想已逐渐成为每个现代人应具有的数学素养 算法思想，即程序化解决问题的方法渗透在高中数学课程的各个章节中， 函数中的变量，数列中的递推均为算法的学习打下了基础，而算法也为我们后续学习统计、概率提供了有力工具。 学生在高中阶段学习算法与框图，不同于计算机中“算法”教学的特点是什么？重点应该强调的是什么？为什么在文科学生的课程中设置“框图”？ 本课程从以下三个方面对“算法与框图”进行了阐述： 一、整体把握高中“算法与框图”教学内容； 二、“算法与框图”教与学的策略； 三、“算法与框图”学生学习目标检测分析。 本课程主要面向一线教师和教研员，部分优秀
41、学生也可参照学习。课程第一部分从算法的特点和意义谈起，分析数学学习中算法教学的重难点；第二部分则从教学的难点和重点出发，针对教学中容易出现的问题，针对学生学习中容易出现的错误，从教学设计到教学实施的各个环节，有针对性地给出建议；第三部分通过举例说明，目的在于帮助学员学会根据检测目标，有针对性的设计评价和检测方案。【学习要求】通过本课程的学习，达到以下目标： 1. 明确“算法与框图”教学的重点和难点，并能设计相应的教学方案把握重点、突破难点。 2. 学习程序化思想在高中数学其它章节中的应用，能画出各章的知识结构图。 3. 能根据课标要求有针对性的设计一套“算法与框图”的检测试题。教师团队【主讲教
42、师】梁丽平： 北京市数学特级教师，市级学科带头人， 校数学教研组组长， 海淀区名师工作站导师。 多年从事一线教学工作，多年担任 海淀区兼职教研员， 所教学生成绩突出：有高考状元、数学满分、 IMO 金牌。本人曾在国家级刊物上发表过十余篇论文，编写新课标教材初等数论（北师大版）；与他人合著北京市补充教材概率统计；曾多次参与北京市高中毕业会考命题；参与北京市新课程数学教学指导意见的编写。【互动教师】 侯立伟： 中学高级教师，海淀区学科带头人，海淀区兼职教研员，从事高中教学十余年，有多年高三教学经验，在信息技术和课程整合方面有比较深入的研究，在 2010 年骨干教师国家级培训中上担任信息技术主讲教师。李岩： 男，毕业于南开大学数学所，应用数学专业博士，研究方向为组合数学与应用图论，已经在被 SCI 索引的国际数学杂志上发表多篇学术论文。多次获得人民奖学金及教师技能奖学金。海淀区“青年先进教育工作者”。24 / 24
