1、专题讲座高中数学“空间向量与立体几何” 一、“空间向量与立体几何”教学内容的整体把握（一）从不同的角度把握“空间向量与立体几何”的内容1.学习空间向量的必要性（1）必修课程中学习了平面向量知识，学习了用平面向量解决平面几何等相关问题的方法. 在立体几何的学习中理应运用空间向量解决更深入的问题.（2）“立体几何初步”尚有判定定理等没有证明，距离、角只介绍了有关概念及很简单的求解问题，用推理论证方法解决立体几何解决问题对于部分学生仍较困难.2. 知识结构空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法
2、在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题.3.对“空间向量与立体几何”的研究方法的把握向量作为一种几何的研究工具具有与传统综合几何方法完全不同的特征，运用向量方法的过程是将几何问题转化为向量问题，通过向量计算（无论是一般的向量运算还是向量的坐标运算）得到向量结论，再将向量结论转化为几何结论的过程.那么运用向量方法研究立体几何问题过程是否就是纯粹向量计算的过程，空间想象与推理论证是否就不需要呢？回答是否定的.我们知道高中立体几何课程是小学、初中与大学课程的过渡内容，这个特点决定了其研究方法既具有几何直观与思辨的特征又具有一定代数化的特征.事实上，我们不难发现，
3、在研究用空间向量表示几何元素、确定基向量、建立坐标系以及确定点的坐标或空间向量的坐标的过程中不仅有向量计算，还有空间想象和逻辑推理. 因此在“空间向量与立体几何”的教学中，我们不能只关注向量计算，而是应将研究方法定位在综合运用空间想象、逻辑推理和向量计算.4.灵活选择解决立体几何问题的方法课标指出“在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题”（1）充分认识综合法与向量法各自的优势与不足如何理解这个“灵活选择”？首先要使学生充分认识综合法与向量法各自的优势与不足，利用向量法，使立体几何问题转化为向量之间的代数运算，这种解决问题的方法与综合法相比有较强的规律可
4、循，并减少构造辅助线的困扰，但向量方法并不总是简洁的，有时会加大运算量，而且可能产生计算错误，难以体现综合法对培养学生几何直观能力、空间想象能力和逻辑思维能力应有的价值，降低学生的兴趣（2）向量更多、更重要的是提供了一种认识空间和图形的新的方法新课程背景下立体几何的教学，是否可以让“综合法”和“向量(坐标法)”两种方法体系齐头并进呢？显然是不切合实际的，实践中只会加重学生负担，反而降低新课程背景下立体几何的教育价值然而，综合立体几何的基础公理、概念和定理在引入了空间向量的立体几何方法体系中却又仍然是不可缺失的基础，这似乎是个矛盾（3）“综合法”和“向量(坐标)法”的互相支持从课程发展的整体观点
5、看，过分强调综合法和向量法谁比谁好，就把它们局限在解题方法的层面上了如果从解决立体几何问题的过程看，建立坐标系、确定相关点的坐标，其思维过程就是几何直观与综合逻辑推理的过程(当然学习的难度有所降低，学习更符合学生的认知规律)，平行线传递公理结合自由向量的“相等平移”来学习，建系、定点要言之有据，就离不开线面平行、垂直的判定、性质等定理，并且在很大程度上这些定理、结论必须成为问题解决过程中“直觉上的显然”，成为更深刻的“默会知识”，信手拈来，得用就用在综合法中，这就是目的，可在向量(坐标)法中这只是步骤总之，灵活选择运用向量方法与综合方法是一种思想它应成为新课程背景下立体几何教学中的另一条重要原
6、则其涵义是：利用“综合法”和“向量(坐标)法”教学的关键是使前者涉及的基本知识、基本技能成为学生的“默会知识”，来支持后者，使其在代表立体几何课程改革的正确方向，降低学习难度的同时不失几何学的严谨性（二）“空间向量与立体几何”教学的重点、难点以及研究方法1.重点：空间向量的概念及其运算、空间向量基本定理；理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三部曲”）.2.难点：空间向量基本定理；建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.3.研究方法：类比方法，向量方法.二、“空间向量与立体几何”部分的教学研究与建议（一）“空间向量及其运算”的教学研究与建议1整体把握空间向
7、量及其运算的内容课标指出：空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学过程中应注意维数增加所带来的影响.（1）通过类比加强对空间向量的理解有了前面平面向量和立体几何初步的基础知识，我们很容易将平面向量及其运算推广到空间向量.由于学生已经有了直线和平面平行、平面与平面平行的概念，将向量运算从平面推广到空间对一般学生已无困难，但平面推广到空间不仅是让学生注意向量形式的变化（例如坐标由2维变成3维），更要让学生理解维度增加带来的变化的真正含义，这种理解仍需要一个过程，例如，如何理解空间向量？我们可以设计问题：空间两条直线的位置关系是：平行、相交、异面，空间两个
8、向量的关系？（共面）空间两条平行直线确定一个平面，空间中两个平行向量确定一个平面？（否）空间两条相交直线确定一个平面，空间中两个不平行向量确定一个平面？（否）因此，要让学生一步步地验证空间中向量的运算法则. 这样做，一方面通过复习平面向量学习空间向量，另一方面进一步培养学生的空间想象能力.（2）通过类比理解提升对向量运算的整体认识平面向量中的两个向量的共线关系可以表示为：对于空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使.这个结论我们可以理解为：在一维空间，以向量（）作为基底，则对于任何向量都存在实数，使.从联系的观点出发，这个结论推广到平面（二维空间）就是平面向量基本定理.平面向量基本定理，是
9、同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任何向量，有且仅有一对实数，使.平面向量基本定理表明，任意一个平面向量可以用与它同一平面内的两个不共线的向量线性表示，而且这种表示是唯一的.平面向量基本定理是向量共线关系的推广，可以看成（在一定范围内）“向量分解唯一性”定理由一维向二维的推广.由此，可以这个关系在空间呢？空间向量基本定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任意向量，存在一个惟一的有序实数组，使.（平行六面体）从以上三个向量基本定理可以看出，基向量的个数与向量空间的维度相对应，只有这样，才有可能用将任何一个向量用基向量线性表示.再例如向量的夹角公式无论在平面向量还是空间向量，两个向量的
10、夹角公式都是由向量的数量积关系获得的，因此，平面向量的夹角公式推广到空间向量的夹角公式时，其用一般向量表示的形式是不变的，即平面向量的夹角公式，空间向量的夹角公式均为.只有当用向量坐标的形式表示夹角公式时，才由二维坐标变为三维坐标.平面向量的夹角公式空间向量的夹角公式上面例子说明随着维数的增加，向量基本定理的形式（基向量个数）也随之变化，但当向量运算只涉及一个向量自身（如求向量的模）或两个向量之间的运算时（如求向量的夹角等）有些运算的一般表示形式并没有变化（仅在用坐标表示时形式要变化）.这些关系说明了事物发展变化是由自身的本质属性所决定的.2空间向量及运算的应用途径(1)共线向量、共面向量定理
11、可用于证明空间线、面平行；(2)空间向量基本定理可用于引进向量的坐标表示，表示空间向量等；(3)空间向量的数量积可用于研究距离、角的计算；(4)直线的方向向量与平面的法向量可用于研究线、面所成的角.（二）“立体几何中的向量方法”的教学研究与建议1整体把握立体几何中的向量方法知识结构（1）利用空间向量解决立体几何问题的必然性我们知道，首先平面向量及其运算为利用平面向量解决平面几何问题提供了理论基础，其次，平面向量的方法使得很多依靠传统几何方法很难解决的几何问题变得比较的轻松，事实上，如果我们联想平面解析几何不难发现，利用向量方法（有代数运算特征）解决几何问题使得几何的研究范围和深度发生很大的变化
12、.前面我们看到将向量及运算由平面推广到空间的过程，因此，向量及运算由平面推广到空间，已经为利用空间向量解决立体几何问题做好了理论上的准备，利用空间向量解决立体几何问题是利用平面向量解决平面几何问题的发展，也必将给几何研究带来新的动力.（2）梳理空间向量应用的结论例如，关于直线的方向向量和平面的法向量利用向量表示空间直线与平面设点是直线上一定点，是上任意一点，是的一个方向向量，则的向量表示形式为，其中为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.利用向量表示
13、空间直线与平面的位置关系设直线，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，则：线线平行 ；线面平行 ；面面平行 .线线垂直 ；线面垂直 ；面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（），；线面夹角 ，的夹角为（），；面面夹角 ，的夹角为（），.注意：（）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（3）进一步培养空间想象能力，推理论证能力利用空间向量刻画 空间点、线、面及其位置关系的过程是运用向量方法、综合几何方法解决问题的过程
14、，这个过程中对于空间想象能力，推理论证能力都有相应的要求，建议应不失时机地进行相应练习，例如，在推导点到平面的距离公式的过程中建议进一步巩固综合结合方法和运用图形的能力.例 设平面的法向量为，是平面内任意一点，点到平面的距离为，则空间点到这个平面的距离：.证明：因为对上式进行变形，则.（4） “三部曲”解决问题的基本思想方法用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问
15、题；进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）；根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？分析：如图，由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以A为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示.根据题设，不妨设这三个向量的模都等于1.为了求出对角线的长，可以将用于棱相关的向量表示出来.解：如图，设，.化为向量问题根据向量的加法法则，.进行向量运算=.所以.回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍.2关于立体几何中的向量方法的几个问题
16、（1）建系中的问题向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系.在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直”，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直”，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个例子：选
17、择适合位置建系例 如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小（）证明：依条件知. 以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，因为面，故设，则，.因为，故，.所以为异面直线与的公垂线.（）非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的选择适合位置建系.先证明后建系例 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小.证明：（I） 设与交与点.因为，且，.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面，A
18、F平面，所以平面.（）因为正方形和四边形所在的平面相互垂直，且，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，.所以，.所以，.所以，.所以平面.（）由（）知，是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，.即所以，且.令，则.所以.从而.因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.问题的条件并没有直接给出建立坐标系所需要的从一点出发的两两垂直的三条直线，因此在建系之前应通过综合几何方法证明要建立坐标系的直线满足两两垂直的建系条件.在运用向量方法解决立体几何的问题中，很多命题者在向量方法中融入了综合考查空间想象和推理论证的内容，这使得一道立体几何问题全面考查了学生解决立体几何问题的方法.例 如图，梯
19、形ABCD中，DCAB，AD=DC=CB=AB=1，E是AB的中点，将ADE沿DE折起，设点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120，F是DE的中点.（）若点M是PB的中点，证明：PD平面MEC；（）证明：DEPC；（）求二面角F-PB-C大小的余弦值.解法1：（综合几何方法略）分析：本题的难点是图形不够规正，那么要建立坐标系就应该对几何图形进行一定的说明，下面的说明主要是点P在底面的射影为什么在AF上.解法2：由（2）知四边形ADCE是菱形，F为DE中点，ACDE.由于PDE是由ADE折起得到的，且PD =PE，故点P在平面ADCE上的射影O落在AC上.故以O为原点，建立如图所示
20、的空间直角坐标系.由(2)知PFC是二面角P-DE-C的平面角.所以PFC =120.所以二面角F-PB-C大小的余弦值为.如果按照图中的方法建系，则必修说明点P在平面ADCE上的射影O落在AC上.这个过程完全是综合几何方法，因此建立坐标系的向量方法不是绝对的计算问题.（2）求点的坐标问题在建立适当的坐标系后，求向量的坐标是运用向量方法的第二个环节，如果几何体比较规整，则向量的坐标一般比较好求，但有时向量坐标的求解也要与其他方法相结合.例 如图1，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上，PDA=60.（）求DP与C1C所成角的大小；（）求DP与平面A1ADD1所成角的大小.解：
21、如图2，以点D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz，则=，=.连结BD，B1D1，在平面BB1D1D内，延长DP，交B1D1于点H，设=( m 0 )， 由条件知 = 60.由=|cos 可得2m =.解得m =.所以=.（）因为cos=，所以=，即与所成的角的大小是.（）因为平面的一个法向量是，又cos=，所以=. 即DP与平面A1ADD1所成角的大小为.注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且PDA=60，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法.
22、 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.当向量的坐标不易直接求得，而利用向量只是求夹角等（不涉及向量长度），则可以将此向量转化为与其同方向、容易求出坐标的向量参与运算.（3）含参数问题的处理例 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 解析：（）在如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标.依题意，得， ，.所以，.因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.（）假设在线段上存在点，使得平面.设，又，所以.因为，
23、由平面，得即解得，此时，.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.第二问中题目要求探索线段上是否存在点，使得平面？这样的设计使得利用向量计算之前必须从几何图形出发，找到表示满足条件的点的相关向量关系，命题者通过这样的方式考查了学生的空间想象能力和推理论证能力.例：在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，.（）求证：平面； （）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为.（）证明：取的中点，连结，因为为中点，所以，且.在梯形中，所以，.四边形为平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.（）证法1：提示：由条件易证明，及直角梯形中易证明.证法2：平面底面，所以平面.
24、所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系.则，.因为，所以，.又由平面，可得.所以平面.（）解法1：提示：过作，易证平面.过作，连结，则.因为面面，作，则为所求二面角的平面角，且面.所以.所以.即为等腰直角三角形.所以.由得.则由相似比容易求出，.所以.解得.（）解法2：因为，且，所以.显然为平面的一个法向量.设平面的法向量为，又，由，得所以.所以.注意到，得.与上题同理，题目要求学生必须从图形出发，利用条件设出向量关系，用含有字母的关系表示了点的坐标.（4）基向量方法的运用用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合几何方法求解的难点在于作出合适
25、的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量方法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了.例：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，为公共边.点，分别在对角线，上，且|=|，|=|.证明：平面.分析：此题的证明方法很多，在向量方法中，非坐标向量法不仅简单，而且能够反映问题的本质.要证明线面平行，只要用平面内2个不共线的向量线性表示向量即可.证明：如图，依题意有=+=+=(+)+=+.即可用、线性表示.所以平面.注意：本题解法中，将证明平面的问题转化为如何利用平
26、面的基向量线性表示的问题，解题过程思路清晰简捷，计算量较小，体现了向量方法的优越性.再看一例：例（2009四川卷）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .解法1：取中点，连结，则面.所以是在面上的射影.由平面几何知识容易证明.由三垂线定理得.故异面直线和所成的角的大小是90.解法2：不妨设棱长为2，选择基向量，则，.所以=0.所以异面直线和所成的角的大小是90.注意：基向量的选择应力求已知它们的长度与夹角.例：在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点.（）求证：；（）求与平面所成的角.分析：本题不存在明显的过同一点的三条两两垂直的直线，并且几何体
27、棱的长度不固定. 这种情况下，使用基向量法显得更实用，特别是对第（）的解决.（）略（）解法1：如图，因为，故以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系.设（因为几何体不固定，所以建系后坐标中要有变量），则，.，设向量与平面垂直，则，即，因为，所以，即.因为，且直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以.即直线与平面所成的角是（）解法2：把，作为一组基底.由题意易得=，.设平面的法向量为，则.由得，可得；由得，得.取，则.结合图形可知，直线与平面所成的角是45.例：已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 （ ）A B C
28、 D解法1：如图，设为O为的中心，连结AO，过作面，垂足为H.分别连结OH，AH，BH，则.故为与平面所成的角.因为O为等边的中心，所以.设，所以.所以. 所以.因为，所以在中，.所以=-=.又，所以.所以. 故选B.解法2：如图，设为O为在底面内的射影，显然与底面所成的角的正弦值等于与所成的角的余弦值.设，为基向量.因为=+=+，令=1，容易计算|=，|=.又= 0，= 0，=|cos30=，所以= (+)(+) = 3，即| =.因为= (+)=，所以cos=.故选B.3“立体几何中的向量方法”的案例片段课例片段二、典型例题例1 如图，在正方体中，是的中点，是底面的中心，点在上，设直线与所
29、成的角大小为.（）若是的中点，求的大小；（）若是上的任意点，求的大小.师：我们先采取哪种方法试一试？预计大部分学生答：建系，用向量坐标法.解法1：如图，建立空间直角坐标系，点为原点（）（略）（）依题意得，.因为，所以.所以，即.问题：从图形结构来看，在上移动时，为什么总是有？（与y无关）（等待学生的反应，预计有部分学生能想到或者在教师的启发下想到是因为线面垂）下面让我们换个思路，考虑用综合法来解决这个问题.教师启发：在上移动时，形成了什么图形？解法2：过作直线交，于，连，易证四边形为平行四边形，易证，则平面，因为平面，故总是有.即=90.小结：原来是因为线面垂直，所以总有线线垂直.推广：点可以
30、移动到，上，乃至平面内不是点的任意一点，总是有.向量坐标法直接可以算出结果，但是运算过程不能很好地反映图形本身的结构特征，而综合法就能弥补这个缺陷.向量是工具，认识本质是目的.设计意图：在解决两直线夹角问题中，经历两种方法解题的对比，感受到向量法解题带来的方便及综合法解题反映出的图形本身的结构特征.例2 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， 垂直于和，侧棱底面，是的中点，且，.（）求证：平面；（）在侧面内找一点，使平面；教师：我们可以尝试用向量坐标法和综合法分别去考虑.解：（）向量法：如图，点为原点，建立空间直角坐标系，依题意，.则，.因为，所以.易证是平面的法向量，而平面，故平面.综合法：取的
31、中点，连，因为的中位线，所以四边形是平行四边形，所以.而平面，平面，故平面.（）向量法：依题意，设，则，.因为平面，所以，所以.同理，所以.所以.（）（综合法）思路分析：因为E为SD的中点，且BS=BD，SA=AD，易证明SD平面ABME.所以平面SBD平面ABME.在平面ABME内做MNBE，MN交AE于N.所以MN平面SBD.由四边形ABME是矩形且MNBE，容易计算点N为AE的中点.小结：在一个复杂图形中，如果建系方便，采取向量坐标法会很方便.（课例片段完）对选择解法及解答过程的感受：这是一节立体几何的复习课，通过师生对例1和例2（)的解法选择与解法过程的思考与交流，使学生感受到在处理复
32、杂的立体几何问题时综合法、向量法各自的优势. 在教学过程中，教师不仅要求学生较好地掌握用向量方法解决立体几何问题的基本方法，而且在学生力所能及的范围内，引导学生而用综合法分析图形、发现问题的本质（例如，教师没有当堂要求学生用综合方法解答例2（)，而只是在向量方法之后从几何直观的角度进行了简单的思路分析），体现了灵活运用综合几何方法与向量方法的解决立体几何问题的课程理念.三、学生学习目标检测分析（一）课程标准对“空间向量与立体几何”的要求（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握
33、空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）.说明与建议 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.5空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学过程中应注意维数增加所带来的影响.6在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几
34、何问题.（二）考试大纲对“空间向量与立体几何”的要求（1）空间向量及其运算 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.（二）典型题目的检测
35、分析例：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（）设是的中点，证明：平面；（）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（）方法1：如图，连结，因为为等腰三角形，为中点，所以.又平面平面，所以平面.又是以为斜边的等腰直角三角形，所以.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则，.由题意得.因为，可求出平面的法向量为.因为，所以.又直线不在平面内，所以平面.方法2：连接，设与交于点，连接，因为，分别为，的中点，所以点为的重心. 所以.又，所以.又平面，平面，所以平面.注意：比较两种方法，显然综合法要简捷一些；另外学生利用向量方法计算时的准确率
36、是至关重要的，要注意运算技能的指导与训练.（）设点的坐标为，则.因为平面，所以有.因此有，即点的坐标为.在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组经检验，点的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面.由点的坐标可知点到，的距离为4，. 注意：本题（）解法是利用向量坐标方法解决存在性问题的例子，要引导学生关注这列问题的基本方法；将立体几何与线性规划方法（检验点的位置尽管简单）综合是考查立体几何的新视角，学生至此往往不易想到如何检验点M在的内部，要注意综合运用知识的训练.例：如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，都与平面垂直，.（）求二面角的大小；（）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.解：（）（
37、综合法）连接，交于菱形的中心，过作，为垂足.连接，由，得平面.故.于是平面.所以，.所以为二面角的平面角.由，得，.由，得.所以二面角的大小为.（）（向量法）如图，以为坐标原点，有向线段，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设平面的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面的法向量.因为，所以平面与平面垂直.所以二面角的大小等于.注意：对于（）显然利用综合法找二面角的平面角比利用向量方法要困难许多，因此要根据问题的特点选择简捷的方法；空间坐标系的原点还可以有多种位置，建系的原则是有利于后面的点、向量的求解与运算.（）连结，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥的公共部分为四棱锥
38、.过作平面，为垂足，因为平面，平面，所以平面平面.从而，.由，得.又因为，故四棱锥的体积.注意：（II）并没有给出所求的公共部分，由考生根据条件（特别是图形）探索推测出公共部分是四棱锥H-ABCD，对几何概念和把握图形能力提出较高的要求. 试想，若（II）用向量方法，则在确定两个四棱锥的公共部分的过程中仍然要借助图形分析与推理，因此根据问题提交灵活选择方法是解决立体几何问题的关键.整体把握立体几何主线的几个维度老师们，前面我们分别回顾了“立体几何初步”和“空间向量与立体几何”的相关内容，下面我们从整体把握几何主线的维度再做一个简单的说明.我们知道，不同阶段的立体几何课程是有较大区别的，但是它们
39、并不是完全割裂的，从哪些方面来理解贯穿于立体几何的主线的整体特征呢？我们认为可以从如下四个维度来理解：1.从立体到平面再到立体（侧重认识方法）在义务教育的小学阶段，学生首先是从立体实物观察开始学习几何课程的. 比如先从直观上认识一些长方体、正方体、圆柱和球等物体，然后从这些实物中剥离出一些具体的长方形、正方形和圆等平面图形，最后在小学阶段达到认识长方体等立体图形的一些特征，如体积和表面积等.随着学生进入初中阶段的学习，学生进入到抽象平面图形学习为主要内容的阶段，在这个阶段，图形特征的几何符号语言、运动变换视角下和坐标形态下的认识成为主要学习内容.高中学习正是在学生建立大量丰富的直观辨认、动手操
40、作和初步几何符号语言的学习基础上，进入到又一个认识立体图形的学习阶段，在这个阶段既有对初中几何符号语言的发展，如直线与直线、直线与平面和平面与平面的位置关系，又有初中坐标几何学习的进一步发展，如向量几何的学习.前一个立体和后一个立体的内涵是不一样的，前一个立体是直观和描述性的，后一个立体具有某种特征.2.从整体到局部再到整体（侧重对几何体认识的深度）学生认识一个图形（不论是立体的还是平面的，不论是直的还是曲的），首先获得的是一个整体印象，通过对实物的观察，进而用自己的语言描述（这种描述起初往往是不确定的，不准确的，甚至有时是说不出来的，学生能够区分不同的图形），建立图形的整体表象. 比如，儿童
41、看到一个水杯，不需要描述它的细节和局部就知道它是一个杯子（这个杯子可能是一个圆柱形的，可能有把或无把），这个阶段一般是在低年级学段，是学生首次认识一个（一类）新的图形时具有的过程.随着学习的推进，学生认识图形进入到图形的边和顶点、角的认识，他们要关注图形的局部特征，如直角、30度角的区别. 又比如，等腰三角形是轴对称图形，而一般三角形不具有这样的特征. 再比如，正方体的六个面都相等并且都是正方形等等都是一类图形的局部特征.认识图形最后的目的是为了获得对图形，特别是一类图形的“整体性质”它们往往是区别于其他图形的本质属性，或者说是在某种变换或运动下的不变性质. 这就是后一个“整体”，后一个整体往
42、往是前一个整体的定量化，是更为高级的认识.小学阶段已经有一些初步尝试，如“三角形内角和180度”、“三角形两边之和大于第三边”都是三角形的整体性质它们不依赖于三角形的变化.还有一些图形的分类也是进一步整体认识图形的学习内容.初中几何课程的学习，在学生有了初中整体认识之后，进入到用符号语言描述图形特征的学习. 如“圆的对称性”的符号语言就是“垂径定理”和“圆心角定理”.高中的立体几何课程的设置相对于义务教育阶段的几何课程，其研究的几何对象更加深入细致，研究方法更加丰富与多样，这就更加凸显其后一个整体的特点. 另一面，如前面已经说到的，高中立体几何课程自身也显示了整体到局部再到整体的知识结构特征.
43、在高中的立体几何课程中学生对于空间几何体的认识更加深刻，例如通过学习线面垂直的判定定理，祖暅原理等内容使学生进一步看到在空间几何体变化的过程中，其几何元素之间所满足的不变关系，而正是这些关系揭示了第二个整体与第一个整体在认识层次上的区别.3.从定性到定量大致来看，在小学主要是定性的感受图形，观察图形，描述图形. 换句话说，在学生初步学习一类新图形是往往是需要这个过程的，这个过程要充分，不要一带而过. 随后，学生需要从定量的角度刻画图形的一些特征，如边长，角度，面积和体积等，如位置的确定也是图形定量描述的阶段（平面直角坐标和极坐标）.定性和定量都是为了认识图形和刻画图形，是不同阶段的任务. 当然
44、，图形的认识必须经由定性到定量的过程，最后到达定量，不能总是处于定性的描述水平.高中学生在几何的定量学习方面有非常多的机会，教师要重视学生的学习基础是什么？高中教师要注意调用学生定性学习的储备作为教学资源.如向量坐标几何的学习，就是建立在学生大量的定性描述基础基础上的，学生学习过直观辨认长正方体的特征.综合立体几何的学习（数学2的立体几何初步）也是定性学习的内容，是为学生学习向量坐标几何做准备的. 从立体几何初步到数学选修2的“空间向量与立体几何”的连贯，就是定性到定量的全部过程. 课程改革强调的向量几何的学习，也正是在丰富学生定性和定量几何的贯通认识，比较过去而言丰富了学生的几何认识.4.从
45、静止到运动儿童生活的周围充满了静止和运动的物体和实物. 直接认识运动的物体和实物是有一定困难的，这就决定了学生的学习应该经由静止到运动的过程. 学生需要认识到图形的哪些特征和性质是在运动下不变的.在静止状态下，三角形有三条边，一个三角形平移后与另一个三角形重合吗？一个等腰三角形沿底边上的高线折叠后两边会发生什么情况？一个正方形折叠后是否与自己重合，一个长方形和一个平行四边形呢？运动的图形，运动的几何学习为学生建立变化、建立变量的认识提供了非常重要的直观，运动也是认识图形的必要视角.高中课程充分发展了静止与运动关系的学习，我们前面举过的例子充分说明，动态地观察某些立体几何图形，可以发现比静止状态下的结论具有更普遍的规律，更容易认识问题的本质，因此，教师应该关注学生在这方面的学习经验有哪些，以便把立体图形的运动（如旋转体）和点的运动形成轨迹的学习建立在他们已有的基础上.总之，从立体几何课程主线的4个维度来看待立体几何课程，更容易使得我们认识不同阶段几何课程的共性与个性，能够使得我们更好地把整体握立体几何课程的本质，有利于达成实施素质教育的
