1、15.2 一阶微分方程（80）25.2 一阶微分方程（80）5.2.1 变量可分离的微分方程形如 的微分方程成为变量可分离的微分方程.解法分离变量法35.2 一阶微分方程（80）例1 求解微分方程解分离变量两端积分45.2 一阶微分方程（80）通解为解55.2 一阶微分方程（80）例 3求解微分方程：解两端作不定积分，得所求解为：65.2 一阶微分方程（80）解由题设条件衰变规律衰变速度（衰变系数）75.2 一阶微分方程（80）解例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以
2、同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?设鼓风机开动后 分后 的含量为在 内,的通入量的排出量车间内 的改变量为85.2 一阶微分方程（80）的通入量的排出量的改变量答：6分钟后, 车间内 的百分比降低到95.2 一阶微分方程（80）分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-隐式通解.5.2.5 小结与思考题1105.2 一阶微分方程（80）思考题求解微分方程115.2 一阶微分方程（80）思考题解答为所求解.125.2 一阶微分方程（80）课堂练习题135.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案145.2 一阶微分方程（80）5.2.2 齐次微
3、分方程形如 的方程称为齐次微分方程.解法作变量代换代入原式，得变量可分离方程155.2 一阶微分方程（80）方程的奇解165.2 一阶微分方程（80）例 6 求解微分方程：微分方程的解为解175.2 一阶微分方程（80）例 7 求解微分方程解185.2 一阶微分方程（80）微分方程的解为195.2 一阶微分方程（80）例 8 抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面解 (如图)205.2 一阶微分方程（80）所以由夹角正切公式得：215.2 一阶微分方程（80）从而得微分方程：225.2 一阶微分方程（80）分离变量积分得235.2 一阶微分方程（80）平方化简得抛物线245.2 一
4、阶微分方程（80）称为可化为齐次方程的微分方程.（其中h和k是待定的常数）解法1、可化为齐次的微分方程形如 的微分方程255.2 一阶微分方程（80）有唯一一组解.得通解代回 上述方法不能用.265.2 一阶微分方程（80）可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.否则275.2 一阶微分方程（80）解代入原方程得285.2 一阶微分方程（80）分离变量法得得原方程的通解方程变为295.2 一阶微分方程（80）2、利用变量代换求解微分方程解代入原方程原方程的通解为305.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题2齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程315.2 一阶微
5、分方程（80）思考题方程是否为齐次方程?325.2 一阶微分方程（80）思考题解答方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.335.2 一阶微分方程（80）课堂练习题345.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案355.2 一阶微分方程（80）一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的，上方程称为非齐次的.5.2.3 一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.365.2 一阶微分方程（80）齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法:分离变量并积分：375.2 一阶微分方程（80）2. 线性非齐次方程讨论：两边积分令 385.2 一阶微分方程（80）即，常数变易法：把齐次方程通解中的
6、常数易为函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.作变换非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:395.2 一阶微分方程（80）积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解405.2 一阶微分方程（80）解例11415.2 一阶微分方程（80）例12 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .两边求导得解解此微分方程425.2 一阶微分方程（80）所求曲线为435.2 一阶微分方程（80）伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程, 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.1、可
7、化为一阶线性的微分方程：伯努利方程445.2 一阶微分方程（80）求出通解后，将 代入即得代入上式令455.2 一阶微分方程（80）解例 13465.2 一阶微分方程（80）2、 用适当的变量代换求解微分方程解1所求通解为475.2 一阶微分方程（80）解2所求通解为485.2 一阶微分方程（80）解1代入原式分离变量法求解得所求通解为解2495.2 一阶微分方程（80）解分离变量法求解得：所求通解为505.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题31.一阶线性非齐次方程2.伯努利方程515.2 一阶微分方程（80）思考题求微分方程 的通解.525.2 一阶微分方程（80）思考题解答5
8、35.2 一阶微分方程（80）课堂练习题545.2 一阶微分方程（80）555.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案565.2 一阶微分方程（80）5.2.4 一阶微分方程前面主要讨论了显式形式一阶微分方程的一般形式的求解问题，这里介绍两类特殊情形：575.2 一阶微分方程（80）引入参量 p , 即令1、情形：方程化为两边对 x 求导，得对此方程求解即可.585.2 一阶微分方程（80）解从微分方程中解出 y , 得令 ，则例17两边对 x 求导, 得变量可分离方程595.2 一阶微分方程（80）分离变量并积分, 得于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：605.2 一阶微分方程（80）解
9、从微分方程中解出 y , 得令 ，则例18两边对 x 求导, 得变量可分离方程615.2 一阶微分方程（80）分离变量并积分, 得于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：625.2 一阶微分方程（80）引入参量 p , 即令2、情形：方程化为两边对 y 求导，得对此方程求解即可.635.2 一阶微分方程（80）解微分方程的参数表达形式为例19微分上式第一函数, 得将此结果代入第二个函数, 得645.2 一阶微分方程（80）于是, 上式两边积分，得因此, 方程的通解可表为：655.2 一阶微分方程（80）解令 ，则例20两边对 y 求导, 得积分得通解为：665.2 一阶微分方程（80）3、全微
10、分方程或恰当方程则微分方程若有全微分形式称为全微分方程或恰当方程. 其通解为全微分方程或恰当方程675.2 一阶微分方程（80）例如所以，此方程是全微分方程.685.2 一阶微分方程（80）解法:应用曲线积分与路径无关：通解： 用直接凑全微分的方法.全微分方程695.2 一阶微分方程（80）解是全微分方程,原方程的通解为例21705.2 一阶微分方程（80）解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例22715.2 一阶微分方程（80）解将方程左端重新组合,有例23 求微分方程原方程的通解为725.2 一阶微分方程（80）解1整理得A 常数变易法:B 公式法:例24735.2 一阶微分方程（80）解2整理得A 曲线积分法:B 凑微分法:745.2 一阶微分方程（80）C 不定积分法:原方程的通解为755.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题4765.2 一阶微分方程（80）思考题.利用曲线积分法求解全微分方程775.2 一阶微分方程（80）故方程的通解为思考题解答785.2 一阶微分方程（80）课堂练习题795.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案805.2 一阶微分方程（80）
