1、哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 1 - 2000 年研究生“数值分析”试题 一， 填空（20 分） 1，n1 个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为_次，最高为_次。 2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子满足条件_。 3，对于插值型求积公式nkkkxfAdxxf011)()(，其节点), 1 , 0(nkxk是高斯点的充分必要条件是_。 4，设)(ijaA 为 n n 矩阵，则1A=_，A=_。 5，设解方程组bAx 的迭代法为dBxxkk1，则迭代收敛的充分必要条件是_。 6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否） （1）211001) 1(0)(233xxxxx
2、xxf （2）100112212)(33xxxxxxxf 二， （10 分） 在22x上给出xexf)(等距节点函数运用二次插值求xe的近似值，要使误差不超过610，问使用函数表的步长应取多大？ 三， （10 分） 给出函数表 ix 0 1 2 3 4 if 1 1/2 1/5 1/10 1/17 求有理插值 四， （10 分） 设)(xf在30,xx上有三阶连续导数，且3210 xxxx， （1） 试作一个次数不高于四次的多项式)(xp，满足条件 )()(jjxfxp j0，1，2，3 )( )( 11xfxp c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究
3、生“数值分析”历年试题 - 2 - （2） 推导它的余项)()()(xpxfxE的表达式 五， （10 分） 试用 Romberg（龙贝格）方法，计算积分311dxx，并精确到小数点后 4 位。 六， （10 分） 利用数值积分的 Simpson（辛甫生）公式，导出公式 )4(31111nnnnnyyyhyy 并指出次方法的阶 七， （10 分） 设0)(xf的单根，)(xFx 是0)(xf的等价方程，则：)(xF可表为)()()(xfxmxxF 证明： 当1)( )(fm时，)(xF是一阶的。 当1)( )(fm时，)(xF至少是二阶的。 八， （10 分） 试对方程组 1282432203
4、01532321321321xxxxxxxxx， 对收敛的 GaussSeidel 迭代格式， 并取Tx)0 , 0 , 0()0(，计算到)2(x 九， （10 分） 试证明高斯求积公式nkkkxfAdxxf111)()(的求积系数kA恒为正。 2001/2002 年研究生“数值分析”试题 一， 试解答下列问题 1，已知143)(345xxxxf，求： ,543210eeeeeef和,6543210eeeeeeef 2，若nny2求ny4和ny4 c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 3 - 3，判断下列函数是否是三次样条
5、函数 i 211001) 1(0)(233xxxxxxxf ii 100112212)(33xxxxxxxf 4，已知4231A求pA，Fp, 2 , 1 5，试用 Euler（尤拉）公式求解初值问题（1 . 0h） 3 . 00,1)0(2xyyxyy 二， 设0a为实数，试建立求a1的 Newton（牛顿）迭代公式，要求在迭代中不含除法运算，证明当初值0 x满足ax200时，此算法是收敛的，并用此算法计算991的近似值（保留 4 位小数） 。 三， 应用 Doolittle（杜利特尔）方法解线性方程组 2333220221321321xxxxxxxx 四， 设给出xcos的函数表)601(
6、 1,900(hx x 0000.150 0167.15 0333.15 9005.15 xcos 96593. 01 0.96585 0.96578 096570. 0 研究用此表进行线性插值求xcos近似值时的最大截断误差界，并用二次Lagrange（拉格朗日）插值计算03.15的近似值。 五， 已知 Legedre （勒让德） 多项式)(1xP的零点为31， 试用 GaussLegedre求积公式计算44211dxx的近似值。 （保留 4 位小数） 六， 应用 Romberg（龙贝格）积分法计算定积分311dxx的近似值（精确到小数点后 4 位，其真值为 1.098612289） 。 七
7、， 试讨论求解常微分方程初值问题的 Simpson（辛卜生）方法 )4(31111nnnnnyyyhyy c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 4 - 的稳定性 八， 分别用 Jocobi（雅可比）和 GaussSeidel（高斯塞德尔）迭代求解下面的方程组（初值取Tx)0 , 0 , 0(0计算1x和4x） 246424) ()1()3()2()1()3()2(xxxxxxx 九， 试回答，在 Lagrange（拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数越高，插值精度也越高？为什么？ 2003 年研究生“数值分析”试题 一
8、， （8 分）设0a为实数，试建立求a1的 Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算，并证明：当初值0 x满足ax200时，此格式时收敛的。 二， （6 分）用 Doolittle 分解法解方程组201814513252321321xxx 三， （8 分）设5010010abbaA，0detA，用a，b表示方程组dAx 的 Jacobi迭代法及 GaussSeidel 迭代法收敛的充分必要条件。 四， （8 分）设方程组bAx ，其中120122101A，3/23/12/1b。已知它有解Tx)0 ,31,21(，如果右端有小扰动61021b，试估计由此引起的解的相对误差。 五， （
9、10 分）求出一个次数不高于 4 次的 Hermite 插值多项式)(xP，使它满足0)0( )0( PP，1) 1 ( ) 1 ( PP，1)2(P，并写出余项表达式。 六， （6 分）用 Romberg 方法计算积分10dxex，计算到0 . 3T。 七， （6 分）已知函数表 ix 0 1 2 3 4 c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 5 - )(ixf 1 21 51 101 171 求有理插值函数)(xR。 八， （6 分）设 （1）211012)(2323xxcxbxxxxxf 是以 0，1，2 为节点的三次
10、样条函数，求出cb,。 （2）00112)(3xxbxxxaexfx 是以 0 节点的三次样条函数，求出ba,。 九，（10 分） 求出二点 Gauss 求积公式)()()(110011xfHxfHdxxf中系数0H，1H及节点0 x，1x。并用此公式计算积分20cosxdxI（结果保留 5 位小数） 。 十， （6 分）用逆 Broyden 秩 1 方法求方程组0439)(3222132121xxxxxxxF的解，取初值TTxxx)6 . 1 , 2 . 1 (),(210，来计算迭代二次的值。 十一， （6 分）使用乘幂法求矩阵20101350144A的最大特征值和对应的特征向量（只需计算
11、前两次迭代的值） 十二，（20 分） 考虑线性多步方法)()3(21)(1211nnnnnnyyhyyyy （1） 证明存在的一个值使方法是 4 阶的； （2） 写出局部截断误差的首项； （3） 当使用用 4 阶方法时，需要几个初始启动值（表头） ，通常情况用什么方法计算表头；举出一个实例并写出公式表达式； （4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？ （5） 讨论绝对稳定性。 （其中在局部截断误差中) 1()(1!1110ipiqpiiqqbqaiqC , 3 , 2q 三次方程023cbtatt根1t，2t，3t满足关系ctttbttttttattt321133221321 ）
12、 2004 年研究生“数值分析”试题 一， （10 分） 设是0)(xf的m重根) 1(m， 证明 Newton 迭代仅为线性收敛；c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 6 - 并写出一个平方收敛的 Newton 迭代公式。 二， （8 分）用 Doolittle 分解法解方程组230031322121321xxx 三， （10 分）用迭代公式)()()()1(bAxxxkkk求解bAx ，若2123A， 问（1）取何值的范围迭代收敛？（2）取何值时迭代收敛最快？ 四 ， （ 10 分 ） 设xxfs in)( ， 求2,
13、0 上 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式xaaxp*1*0*1)( 五， （6 分）用共轭梯度法方法（CG 方法）解方程组13511221xx 六， （10 分）求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计xx。 4324017931924021xx ， bAx 432405 .1795 .31924021xx ， bxAA)( 七， （8 分）设,)(2baCxfn，)(xy是以nxxx,10为节点的 n 次插值多项式，试推导：在一节点kx处有 )()!1()()( )( 1)1(knnkkxpnfxyxf ，),(ba 其中)()()(01nnxxxxxp 八， （8 分）推
14、导出复化梯形求积公式及误差公式。 九， （10 分）确定求积公式)33()33()(2111fAfAdxxf中系数21,AA使公式有尽可能高的代数精度；代数精度是多少？并用此公式计算积分20cosxdxI（结果保留 5 位小数） 。 c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 7 - 十， （6 分）使用乘幂法求矩阵7232133312A的最大特征值和对应的特征向量（只需计算前两次迭代的值）取初值Tv) 1 , 1 , 1 (0 十一， （14 分）对二步法)(1111nnnnndycybyhayy （1） 确定dcba,，使方法
15、是 4 阶的； （2） 讨论 4 阶方法的收敛性和稳定性； （3） 其中：在线性多步法的局部截断误差中 )()(1!1110piiqpiiqqbiqaiqC 2q 2008 年研究生“数值分析”试题 一 （一 （10 分）分）设给实数0a ，初值00 x ： 试建立求1a的 Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； 证明给定初值0 x，迭代收敛的充分必要条件为020 xa； 该迭代的收敛速度是多少？ 取00.1x ，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留 5 位小数） 。 二 （二 （10 分）分） 试确定参数, ,a b c， 使得下面分段多项式函数( )s x是三次
16、样条函数。 332 ,01( )1(1)(1)(1), 132xxs xxa xb xcx ( )s x是否是自然样条函数？ 三 （三 （10 分）分）利用 Dollite 三角分解方法求解方程组 123121022331302xxx 四 （四 （10 分）分）给定 3 阶线性方程组 123122511112213xxx 讨论其 Jacobi 迭代格式的收敛性 c o p y r ig h t c u n t uCW S哈尔滨工业大学 研究生“数值分析”历年试题 - 8 - 五 （五 （10 分）分）推导出中矩形求积公式( )() ()2baabf x dxba f ，并求出其截断误差。 六
17、（六 （10 分分）已知一组试验数据： 用最小二乘法确定拟合公式bxyae中的参数, a b。 七 （七 （10 分）分）根据已知函数表： 建立不超过三次的 Newton 插值项式。 八 （八 （10 分）分）试确定常数01,AA,使求积公式 101111( )()()33f x dxA fA f 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是 Gauss 型?并用此 公式计算积分311Idxx（结果保留 5 位小数） 。 九 （九 （10 分）分）利用经典四阶 Runge-Kutta 方法求初值问题： 20 ,01(0)1yyxy 在0.2x 处的数值解（取步长0.1h ） 。 10 （ （10 分）分）讨论两步方法 11112(4)33nnnnyyyhy 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部） ，它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中 10111 ()() ,2,3,!pprrriiiiCi aribrr ） ix 1 2 3 4 iy 60 30 20 15 ix 0 1 2 4 ( )if x 1 9 23 3 c o p y r ig h t c u n t uCW S
