1、高等数学B教学大纲高等数学B教学大纲 一、 课程的性质、目的与任务“高等数学”是理工科本科学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、微分方程；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学；6、无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、 教学基本要求教学要求中，教学要求较高
2、的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”、“知道”等词表述。未给出学时分配的章节是书中带号的内容。三、 教学内容与学时分配第一章 函数、极限与连续 16学时1.1 函数 2学时1.2 数列的极限 2学时1.3 函数的极限 2学时1.4 极限的运算法则 2学时1.5 极限存在准则与重要极限 3学时1.6 无穷小的比较 1学时1.7 函数的连续性 2学时1.8 闭区间上连续函数的性质 2学时本章要求:1. 理解函数的概念及函数的几种特性。2. 理解复合函数和反函数的概念。3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。4. 会建立实际问题中变量之间的函数关系。5. 了解
3、极限的概念，掌握极限运算法则。 6. 理解极限存在的夹逼准则、单调有界准则，掌握两个重要极限及其应用。7. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握利用等价无穷小求极限的方法。8. 理解函数连续及间断的概念，并会判别间断点的类型。9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理),并会应用。本章难点: 极限概念、连续概念。第二章 导数与微分 10学时2.1 导数的概念 2学时2.2 求导法则 4学时2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 2学时 2.4 微分及其应用 2学时本章要求:1理解导数和微分的概念，掌握函数的可导性、可微性与连续性之间的关系。理解导数的几何意
4、义。2. 熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则以及基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法及几个常见函数的高阶求导。5. 会求由隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数。会求反函数的导数。本章难点: 导数概念，复合函数求导法。第三章 微分中值定理与导数的应用 14学时3.1 微分中值定理 5学时3.2 导数的应用 5学时3.3 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 1学时3.4 曲率 2学时3.5方程的近似解 1学时本章要求:1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并掌握其应用。2掌握洛必达法
5、则求不定式的极限。3理解函数的极值，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。4会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线的拐点，会描绘函数的图形。5. 了解弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算。6. 知道求方程近似解的二分法和切线法。 本章难点: 极值的判定，曲率概念。第四章 不定积分 10学时4.1 不定积分的概念与性质 3学时4.2 换元积分法 5学时4.3 分部积分法 2学时本章要求:1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。2. 熟练掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。 本章难点: 换元法、分部积分法。第五章 定积分及其应用 1
6、4学时5.1 定积分的概念与性质 2学时5.2 微积分基本公式 4学时5.3 定积分的换元法与分部积分法 4学时5.4 广义积分 1学时5.5 定积分在几何问题中的应用举例 2学时5.6 定积分在物理学中的应用举例 1学时本章要求:1. 理解定积分的概念及性质，知道函数可积的充分条件。2. 理解积分上限函数及其求导，熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。3. 熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。4. 了解广义积分的概念及广义积分的计算。5.了解元素法及其在几何、物理问题中的应用。 本章难点: 定积分的概念，积分上限函数，元素法的应用。第六章 常微分方程 10学时6.1 微分方程的基本概念 1学时6.2
7、可分离变量的微分方程与齐次方程 2学时6.3 一阶线性微分方程 1学时6.4 可降阶的高阶微分方程 1学时6.5 二阶线性微分方程 1学时6.6 二阶常系数线性微分方程 4学时本章要求: 1. 了解微分方程及其阶、解、通解、特解和初始条件等概念。 2. 掌握可分离变量的方程、齐次方程及一阶线性方程的解法。 3. 会用降阶法求解三类可降阶的高阶方程。 4. 理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。 5. 熟练掌握常系数齐次线性方程的解法，会求两类常系数非齐次线性方程的特解。 6. 会用微分方程解决一些简单的实际问题。本章难点: 线性微分方程解的结构，实际问题中微分方程的建立。第七章 空间解析几
8、何与向量代数 10学时7.1 空间直角坐标系以及曲面、曲线的方程 2学时7.2 向量及其线性运算 2学时7.3向量的数量积与向量积 1学时7.4 平面及其方程 2学时7.5 空间直线及其方程 2学时7.6 旋转曲面与二次曲面 1学时本章要求:1. 理解空间直角坐标系。2. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算，掌握两个向量垂直、平行的条件。3. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标分解式及利用坐标进行向量运算的方法。4. 掌握平面的方程和直线的方程及求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。5. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于
9、坐标轴的柱面方程。6. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。7. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 本章难点：曲面的方程及其图形。第八章 多元函数微分学及其应用 18学时8.1 多元函数的基本概念 4学时8.2 偏导数 2学时8.3 全微分 2学时8.4 多元复合函数的求导法则 3学时8.5 隐函数的求导公式 2学时8.6 多元函数微分学的几何应用 1学时8.7 方向导数与梯度 1学时8.8 多元函数的极值问题 3学时本章要求:1. 理解多元函数的概念。2. 了解二元函数的极限与连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3. 理解偏导数和全微分的概念，了解二元函数的连续、偏导数存在和可微之间
10、的关系，知道全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。5. 熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6. 会求隐函数(包括方程组的情形)的偏导数。7. 会求曲线的切线和法平面、曲面的切平面与法线的方程。8. 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求一些简单的最大值和最小值的应用问题。 本章难点：多元复合函数求导法。第九章 多元函数的积分学及其应用 12学时9.1 二重积分的概念与性质 2学时9.2 二重积分的计算法 4学时9.3 二重积分的应用 2学时9.4 三重
11、积分 4学时9.5 曲线积分9.6 格林公式及其应用9.7 曲面积分9.8 高斯公式与斯托克斯公式本章要求: 1. 理解二重积分、三重积分的概念及性质。 2. 熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标)。3. 了解重积分的简单应用。本章难点：三重积分的计算。第十章 无穷级数 14学时10.1 常数项级数的概念与性质 2学时10.2 常数项级数的审敛法 6学时10.3 幂级数 4学时10.4 函数展开成幂级数 2学时10.5傅里叶级数 本章要求: 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2. 熟练掌握几何
12、级数和级数的收敛性。 3. 掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法。 4. 掌握交错级数的莱布尼茨定理。 5. 理解无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛的概念及其关系。 6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7. 掌握幂级数收敛域的求法。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，并会求简单的幂级数的和函数。 9. 知道函数的泰勒公式及泰勒级数。 10. 掌握和的麦克劳林展开式，会将一些简单的函数间接展开成幂级数。 11. 了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。本章难点：求级数的和函数及函数的展开式。四、教材及教学参考书教 材：高等数学(第三版)上、下册 同济大学数学系主编 同济大学出版社参考书：1. 高等数学(第七版)上、下册 同济大学应用数学系主编 高等教育出版社2. 工科数学分析基础上、下册 马知恩 王绵森主编 高等教育出版社3. 数学分析上、下册 复旦大学陈传璋等编 高等教育出版社4. 高等数学释疑解难 工科数学课程教学指导委员会编 高等教育出版社5. Calculus 7th edition James Stewart Cengage Learning7 / 7
