1、学科网（北京）股份有限公司1导数核心内容导数核心内容三个三个专题专题讲义讲义学科网（北京）股份有限公司1目录目录专题一专题一导数的运算及切线方程导数的运算及切线方程问题问题专题二专题二导数之单调性、最值、极值导数之单调性、最值、极值专题三专题三导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题学科网（北京）股份有限公司1专题一专题一导数的运算及切线方程导数的运算及切线方程问题问题【知识总结】【知识总结】一、基本概念一、基本概念1、导数的概念、导数的概念设函数 xfy 在0 xx 附近有定义，如果0 x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限，
2、即xy无限趋近于某个常数， 我们把这个极限值做函数 xfy 在0 xx 处的导数， 记作0 xf 或.0 xxy即 .0000000limlimlim0 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx2、导数的几何意义、导数的几何意义函数 xfy 在0 x处的导数0 xf ，表示曲线 xfy 在点00,xfxP处的切线PT的斜率，即0tanxf ，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为.000 xxxfyy3、导数的物理意义:设0t时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离 .tSS 在10 tt时刻，车走了 ,01tStS这一段时间里车的平均速度为 ,0101tttStS当1t与0t很
3、接近时，该平均速度近似于0t时刻的瞬时速度.若令1t0t，则可以认为 101010limttS tS ttt，即 0tS就是0t时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表基本初等函数的导数公式如表 xfy xfycy 0 yNxxyn1nnxy，n为正整数Qxxy且0, 0,1xy为有理数1, 0aaayx且aayxln学科网（北京）股份有限公司20. 10logxaaxya且axyln1xysinxycosxycosxysin注：21111, ln.2xxxxxx 三、导数的运算法则（和、差、积、商）三、导数的运算法则（和、差、积、商）设
4、,uu xvv x均可导，则（1）;uvuv（2）;kuku kR（3）;uvu vuv（4）20 .uu vuvvvv注： .cf xcfxcR四、复合函数的导数四、复合函数的导数复合函数 yfg x的导数与函数 ,yf uug x的导数之间具有关系xuxyyu，该关系用语言表述就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”，也就是先把 g x当作一个整体，把 yfg x对 g x求导，再把 g x对x求导，这两者的乘积就是复合函数 yfg x对x的导数，即 fg xfg xgx.【典型例题】【典型例题】例例 1 （2022全国高三专题练习（理） ）已知函数 2ln21f xxxx
5、，则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为（）A210 xy B20 xyC0 xyD240 xy例例 2 （2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知( )f x为偶函数，当0 x 时，1( )exf xx ，则曲线( )yf x在点(1,2)处的切线斜率是（）A1B2CeD2e1学科网（北京）股份有限公司3例例 3 （2022全国高三专题练习）已知函数 2ln8f xxx，则 01 21limxfxfx 的值为（）A20B10C10D20例例 4 （2022全国高三专题练习）已知函数21( )ln2f xxx，则 f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为_.例例 5 （2022全国高三专题
6、练习）若直线 ykx 与曲线 ye2x相切，则切点坐标为_例例 6 （2022全国高三专题练习 （文） ） 已知函数2( )()sincos24f xfxx， 则曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程是_例例 7 （2022浙江高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数（1）sin xye；（2）32xyx；（3）ln 23yx；（4）2221yxx；（5）cos 23yx学科网（北京）股份有限公司4例例 8 （2022全国高三专题练习）已知曲线3:2Syxx.（1）求曲线 S 在点1,1A处的切线方程；（2）求过点2,0B并与曲线 S 相切的直线方程.【技能提升训练】【技能提升训练】
7、一、单选题1（2022全国高三专题练习） 某物体沿水平方向运动， 其前进距离s（米） 与时间t（秒） 的关系为 252s ttt，则该物体在运动前 2 秒的平均速度为（）A18 米/秒B13 米/秒C9 米/秒D132米/秒2 （2022全国高三专题练习）函数( )f x的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A0(2)(3)(3)(2)ffffB0(3)(3)(2)(2)ffffC0(3)(2)(3)(2)ffffD0(3)(2)(2)(3)ffff学科网（北京）股份有限公司53 （2022全国高三专题练习（理） ）若函数 fx可导，则0(1 )(1)lim2xfxfx等于（）A 21f
8、B 112f C 112f D12f4 （2022全国高三专题练习（理） ）已知函数 4f xxax，若02lim=12xfxfxx，则a （）A36B12C4D25 （2022全国高三专题练习（理） ）已知函数 f x的图象如下所示， fx为 f x的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）A 12fxfxB 12fxfxC 120f xfxD 120f xfx6 （2022浙江高三专题练习）若函数 f x满足 24f ，则 022limhfhfh（）A8B8C4D47 （2022全国高三专题练习（理） ）函数 432f xxx的图像在点1x 处的切线方程为（ ）A21yxB21yx C21
9、yx D21yx学科网（北京）股份有限公司68 （2022全国高三专题练习）若曲线e(0)exxaya上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是3 2 ，)，则 a=（）A112B13C34D39 （2022全国高三专题练习）已知函数( )xf xaex的图象在点(0, )a处的切线过点(2,5)，则a （）A1B2C1D210（2022全国高三专题练习） 设函数 2f xg xx， 曲线 yg x在点( )()1,1g处的切线方程为21yx，则曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为（）A4B14C2D1211 （2022全国高三专题练习）曲线 1f xx在点P处的切线的倾斜角为34，则点P
10、的坐标为（ ）A1,1B1, 1 C1,22D1,1或1, 1 12 （2022全国高三专题练习）若点P是曲线 2lnf xxx上任意一点，则点P到直线2yx的最小值为（）A1B2C22D3学科网（北京）股份有限公司713 （2022全国高三专题练习（文） ）曲线 yf x在1x 处的切线如图所示，则 11ff（）A0B2C2D114（2022全国高三专题练习 （文） ） 直线3ykx与曲线 lnf xaxb相切于点1,2P， 则2ab =（）A4B3C2D115 （2022全国高三专题练习（文） ）直线1ykx是曲线1lnyx 的一条切线，则实数 k 的值为（）AeB2eC1D1e16 （2
11、022全国高三专题练习）动点 P，Q 分别在函数( )xf xex，( )22g xx的图象上运动，则PQ的最小值为（）A2B5 24C3 55D517 （2022全国高三专题练习）已知曲线 xf xe在点 0,0Pf处的切线也是曲线 lng xax的一条切线，则a的值为（）A3eB2eC2eD33e学科网（北京）股份有限公司818 （2022全国高三专题练习）已知函数 2xf xaex的图象在点 1,1Mf处的切线方程是22yexb，那么ab （）A2B1C1D219 （2022全国高三专题练习）设曲线 xf xaeb和曲线 cos2xg xc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca的
12、值为（）A0BC2D320 （2022全国高三专题练习）已知定义在区间0,上的函数 22f xxm ， 3lng xxx ，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则 m 的值为（）A2B5C1D021 （2022全国高三专题练习（理） ）设P为曲线2:23C yxx上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为0,4，则点P横坐标的取值范围为A11,2B1,0C0,1D1,1222 （2022全国高三专题练习）已知函数 f x的导函数为 fx，且满足 2lnf xxfex，则 fe（）AeB1C1eDe学科网（北京）股份有限公司923 （2022全国高三专题练习）设 0sinfx
13、x， 10fxfx， 21fxfx， 1nnfxfx，nN，则 2020fx （）Asin xBsinxCcosxDcosx24 （2022全国高三专题练习）设 22f xxa，且 28f ，则常数a的值为（）A0B2C1D2二、多选题25 （2022全国高三专题练习） （多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c（单位：mg/mL）随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A在1t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B在2t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同C在23
14、,t t这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D在12, t t，23,t t两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同学科网（北京）股份有限公司1026 （2022全国高三专题练习）若直线12yxb是函数( )f x图像的一条切线，则函数( )f x可以是（）A1( )f xxB4( )f xxC( )sinf xxD( )xf xe27 （2022全国高三专题练习） （多选）下列函数求导运算错误的是（）A333 log exxBeexxC1lnxxDe31xxx三、填空题28 （2022全国高三专题练习）已知函数 2f xax在区间1,2上的平均变化率为3，则 f
15、 x在区间2, 1上的平均变化率为_29（2022全国高三专题练习） 已知函数 221yf xx在0 xx处的瞬时变化率为8， 则0f x_30 （2022全国高三专题练习）已知函数21( )ln2f xxxx，则( )f x所有的切线中斜率最小的切线方程为_.学科网（北京）股份有限公司1131 （2022全国高三专题练习）曲线lnyxx的一条切线过点(0, 3)，则该切线的斜率为_32（2022浙江高三专题练习） 曲线332yxx上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是_33 （2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 2esinxf xxxx，则曲线 yf x在点 0,0f处的切线方
16、程是_34 （2022全国高三专题练习）已知 f(x)x2，则过点 P(1，0)，曲线 yf(x)的切线方程为_35 （2022全国高三专题练习（文） ）已知函数 lnf xxx，若直线l过点0, 1，并且与曲线 yf x相切，则直线 l 的方程为_36 （2022全国高三专题练习）已知函数 32f xxaxb的图象在点1,0P处的切线与直线30 xy平行则23ab_37 （2022全国高三专题练习） 已知函数( )2lnf xx，2( )1(0)g xaxxa， 若直线2yxb函数( )yf x，( )yg x的图象均相切，则a的值为_.学科网（北京）股份有限公司1238 （2022全国高三
17、专题练习）函数 yf x的图象在点 P 处的切线方程是：8yx ，若点 P 的横坐标为 5，则 55ff_.39 （2022全国高三专题练习）已知函数2( )lnf xaxbx的图象在点(1,1)P处的切线与直线10 xy 垂直，则 a 的值为_40 （2022全国高三专题练习）已知函数 2,xf xaexb a bR在1x 处的切线方程为210exy ，则ln2f _.41 （2022全国高三专题练习（理） ）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的
18、近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设 2xf xe，则 fx_，其在点0,1处的切线方程为_42 （2022全国高三专题练习）设 f(x)aex+blnx，且 f（1）e，f（1）1e，则 a+b_学科网（北京）股份有限公司13四、解答题43 （2022全国高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y=x（x2311xx） ；（2）y=（x 1） （1x1） ；（3）y=xtanx；（4）y=xsin2xcos2x；（5）y=3lnx+ax（a0，且 a1）.44 （2022全国高三专题练习（文） ）下列函数的导函数（1）42356yxxx；（2）2s
19、incos22xxxy ；（3）2logyxx；（4）cosxyx.45 （2022全国高三专题练习）求下列函数的导数（1）3235yxx； （2）sinyxxx（3）sin xyx； （4）21sinxyx学科网（北京）股份有限公司1446 （2022浙江高三专题练习）已知函数lnyxx.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x 处的切线方程.47 （2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文） ）已知函数 2xf xexax的图象在0 x 处的切线方程为2yxb求实数a，b的值；48 （2021全国高三专题练习） 已知函数 322f xxaxbxa， 当1b 时， 曲
20、线 yf x存在垂直于y轴的切线，求a的取值范围.49 （2021福建晋江高三阶段练习）已知曲线 33yf xxx上一点1, 2P，过点P作直线l（1）求与曲线 yf x相切且以P为切点的直线l的方程；（2）求与曲线 yf x相切且切点异于点P的直线l的方程学科网（北京）股份有限公司15专题二专题二 导数之单调性、最值、极值导数之单调性、最值、极值问题问题【知识点总结】【知识点总结】一函数单调性与导函数符号的关系一函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在该区间内单调递增；如果( )0fx，那
21、么函数( )yf x在该区间内单调递减.二求可导函数单调区间的一般步骤二求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数( )f x的定义域；（2）求( )fx，令( )0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数( )f x的间断点（即( )f x的无定义点）的横坐标和( )0fx的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数( )f x的定义域分成若干个小区间；（4）确定( )fx在各小区间内的符号，根据( )fx的符号判断函数( )f x在每个相应小区间内的增减性.注使( )0fx的离散点不影响函数的单调性，即当( )fx在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时
22、，( )f x在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,) 上，3( )f xx，当0 x 时，( )0fx；当0 x 时，( )0fx，而显然3( )f xx在(,) 上是单调递增函数.若函数( )yf x在区间( , )a b上单调递增， 则( )0fx（( )fx不恒为 0） ， 反之不成立.因为( )0fx，即( )0fx或( )0fx，当( )0fx时，函数( )yf x在区间( , )a b上单调递增.当( )0fx时，( )f x在这个区间为常值函数；同理，若函数( )yf x在区间( , )a b上单调递减，则( )0fx（( )fx不恒为 0） ，反之不成立.这说明
23、在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：( )0fx( )f x单调递增；( )f x单调递增( )0fx；( )0fx( )f x单调递减；( )f x单调递减( )0fx.三函数极值的概念三函数极值的概念设函数( )yf x在点0 x处连续且0()0yfx， 若在点0 x附近的左侧( )0fx， 右侧( )0fx， 则0 x为函数的极大值点；若在0 x附近的左侧( )0fx，右侧( )0fx，则0 x为函数的极小值点.学科网（北京）股份有限公司16函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
24、，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.四求可导函数四求可导函数( )f x极值的一般步骤极值的一般步骤（1）先确定函数( )f x的定义域；（2）求导数( )fx；（3）求方程( )0fx的根；（4）检验( )fx在方程( )0fx的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数( )yf x在这个根处取得极大值； 如果在根的左侧附近为负， 在右侧附近为正， 那么函数( )yf x在这个根处取得极小值.注可导函数( )f x在点0 x处取得极值的充要条件是：0 x是导函数的变号零点， 即0()0fx， 且在0 x左侧与右侧，
25、( )fx的符号导号.0()0fx是0 x为极值点的既不充分也不必要条件，如3( )f xx，(0)0f ，但00 x 不是极值点.0 x为可导函数( )f x的极值点0()0fx；但0()0fx0 x为( )f x的极值点.五函数的最大值、最小值五函数的最大值、最小值若函数( )yf x在闭区间, a b上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在, a b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.六求函数的最大值、最小值的一般步骤六求函数的最大值、最小值的一般步骤设( )yf x是定义在区间, a b上的函数，( )yf x在( , )a b可导，求函数( )yf
26、x在, a b上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( ),( )f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；函数的最值必在极值点或区间端点处取得.学科网（北京）股份有限公司17【典型例题】【典型例题】例例 1 （2021黑龙江哈尔滨市第三十二中学校高三期中（
27、文） ）已知函数321( )( ,)3f xxaxbx a bR若( )yf x图象上的点111,3处的切线斜率为4（1）求 a，b 的值；（2）( )yf x的极值例例 2 （2021陕西礼泉高三开学考试（文） ）设aR，函数( )lnf xxax.（1）若3a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)Pf处的切线方程；（2）讨论函数( )f x的单调性.例例 3 （2022全国高三专题练习）有三个条件：函数( )f x的图象过点(0,1)，且1a ；( )f x在1x 时取得极大值116；函数( )f x在3x 处的切线方程为4270 xy，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充
28、完整（只要填写序号） ，并解答本题题目：已知函数321( )232af xxxxb存在极值，并且_（1）求( )f x的解析式；（2）当1,3x时，求函数( )f x的最值学科网（北京）股份有限公司18例例 4 （2022全国高三专题练习）已知函数( )ln()mf xxmRx.（1）当2m 时，求函数( )f x的单调区间和极值；（2）若函数( )f x在区间1, e上取得最小值 4，求m的值.例例 5 （2022全国高三专题练习）已知函数 1()xf xeaxa aR讨论 f x的单调性.例例 6 （2022全国高三专题练习）已知函数21( )ln (0)2f xxxax a，讨论( )f
29、 x的单调性；学科网（北京）股份有限公司19【技能提升训练】【技能提升训练】一、单选题1 （2022全国高三专题练习）f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 10f， fx为 f x的导函数，且当0,x时 0fx，则不等式 f（x1）0 的解集为（）A （0，1）（2，+）B （，1）（1，+）C （，1）（2，+）D （，0）（1，+）2 （2022全国高三专题练习） 已知函数 4282021f xxx ， 则 f x在下列区间上为增函数的是 （）A3,0B0,1C1,3D2,43 （2022浙江高三专题练习）已知函数 fx的导函数 fx的图象如图所示，则关于 fx的结论正确的是（）A在区间2
30、,2上为减函数B在2x 处取得极小值C在区间(,2)2, ，上为增函数D在2x 处取得极大值学科网（北京）股份有限公司204 （2022全国高三专题练习）已知fx在R上是可导函数，fx的图象如图所示，则不等式2230 xxfx解集为（）A, 21, B, 21,2 C, 11,02, D, 11,13, 5 （2022全国高三专题练习）函数2( )ln2f xxx 的单调递增区间是（）A1,02和1,2B1,2 和1,2C10,2D1,26 （2022全国高三专题练习） 若函数2( )lnf xaxbx在点 1,1f处的切线方程为yx， 则函数 yf x的增区间为（）A(0,1)B20,2C2
31、,2D2,12学科网（北京）股份有限公司217 （2022全国高三专题练习）已知函数 fx的导函数( )fx的图像如图所示，那么函数 fx的图像最有可能的是（）ABCD8 （2022江苏高三专题练习）下列关于函数2( )(3)xf xx e的结论中，正确结论是（）A( 3)f 是极大值，(1)f是极小值；B( )f x没有最大值，也没有最小值；C( )f x有最大值，没有最小值；D( )f x有最小值，没有最大值.学科网（北京）股份有限公司229 （2022全国高三专题练习（文） ）已知函数 321132fxxxcxd有极值，则 c 的取值范围为（）A14c B14cC14c D14c 10
32、（2022全国高三专题练习）若函数3( )lnf xxx，则（）A既有极大值，也有极小值B有极小值，无极大值C有极大值，无极小值D既无极大值，也无极小值11 （2022全国高三专题练习）若函数( )yf x可导，则“( )0fx有实根”是“( )f x有极值”的（） A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件12 （2022全国高三专题练习） 如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为（）A1B2C3D413 （2022全国高三专题练习）函数322( )f xxaxbxa在1x 处有极值 10，则 a，b 的值为（）A3a ，3b ，或4a
33、，11b B4a ，1b ，或4a ，11b C4a ，11b D3a ，3b 学科网（北京）股份有限公司2314 （2022全国高三专题练习）已知函数 ln12afxxaxx 有两个不同的极值点12,x x，则满足条件的a取值范围为（）A10,2B0,C1 1,4 2D10,415 （2022全国高三专题练习）设函数 2234xf xxx e，则 f x的（）A极小值点为1，极大值点为32B极小值点为1，极大值点为32C极小值点为32，极大值点为1D极小值点为32，极大值点为116 （2022全国高三专题练习（理） ）若函数 33f xxx在区间22 ,3aa上有最大值，则实数a的取值范围是
34、（）A3,1B2,1C13,2D2, 117 （2022全国高三专题练习）若函数 21ln2f xxaxx在区间1,2内有最小值，则实数a的取值范围为（）A0,1B1 2,2 3C30,2D31,218 （2022全国高三专题练习（理） ）若函数321( )13f xxx在区间( ,3)m m上存在最小值，则实数 m的取值范围是（）A 5,0)B( 5,0)C 3,0)D( 3,0)学科网（北京）股份有限公司24二、多选题19 （2022全国高三专题练习）若函数21( )9ln2f xxx，在区间1,1mm上单调，则实数 m 的取值范围可以是（）A4m B2mC12mD03m20 （2022全
35、国高三专题练习）下图是函数 f x的导函数 fx的图象，则下列结论正确的是（）A 01ffB1x 是 f x的极小值点C1x 是 f x的极小值点D3x 是 f x的极大值点21 （2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x，其导函数 fx的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A faf efdB函数 f x在, a b上递增，在, b d上递减C函数 f x的极值点为c，eD函数 f x的极大值为( )f b学科网（北京）股份有限公司2522（2022全国高三专题练习） 己知函数 yf x的导函数 fx的图象如图所示， 则下列判断正确的 （）A f x在4x 时取极小值B
36、f x在2x 时取极大值C1.5x 是 f x极小值点D3x 是 f x极小值点23 （2022全国高三专题练习）已知函数 yf x的导函数 yfx的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A f af bf cB f ef df cCxc时， f x取得最大值Dxd时， f x取得最小值三、填空题24（2022全国高三专题练习） 已知函数322( )3(1)1(0)f xkxkxkk， 若( )f x的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为_.25 （2022全国高三专题练习）函数 33f xaxx在区间（-1,1）上为单调减函数，则a的取值范围是_学科网（北京）股份有限公司2626 （202
37、2全国高三专题练习）若函数2( )ln2f xmxxx在定义域内是增函数，则实数m的最小值为_.27 （2022全国高三专题练习（理） ）已知函数2( )xf xaex在区间(0,)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_.28 （2022江苏高三专题练习）已知函数 22ln3f xxaxx在2x 处取得极小值，则 f x的极大值为_29 （2022全国高三专题练习）函数21( )2ln2f xxxx的极值点是_.30 （2022全国高三专题练习）已知函数 f(x)=x33mx2nxm2在 x=1 时有极值 0，则 mn=_.31 （2022全国高三专题练习（理） ）函数 212lnf xxx
38、的最小值为_.学科网（北京）股份有限公司27四、解答题32 （2022全国高三专题练习）已知函数( )xaef xalnxx，aR若ae，求函数( )f x的单调区间.33（2022全国高三专题练习） 已知函数2( )ln(1)2f xxa xx(其中常数0a )， 讨论( )f x的单调性；34 （2022全国高三专题练习）已知函数 1lnfaxaxxx，aR，讨论 f x的单调性；35 （2022全国高三专题练习）已知函数 e1xxafx （aR） ，讨论函数 f x的单调性.学科网（北京）股份有限公司2836 （2022全国高三专题练习）已知函数 2ln ()f xaxx aR ，讨论
39、f x的单调性37 （2022全国高三专题练习）设函数 21ln22g xxaxx.（1）当8a 时，求函数 g x的单调区间；（2）令 2122afxg xaxxx，讨论 f x的单调性.38 （2022全国高三专题练习）已知函数2( )3f xalnxxxa讨论函数( )f x的单调性.学科网（北京）股份有限公司2939 （2022全国高三专题练习）已知函数3215( )6132f xxxx.（1）求函数( )f x的单调区间；（2）求函数( )f x的极大值.40 （2022全国高三专题练习）设函数2( )ln()f xxbxa，其中0b（）当1b 时，( )f x在2x 时取得极值，求
40、a；（）当1a 时，若( )f x在( 1,)上单调递增，求b的取值范围；41 （2022全国高三专题练习）已知函数32( )3()f xxxa aR （1）求函数( )f x的极值；（2）若函数( )f x在 2,3上的最小值为 2，求它在该区间上的最大值学科网（北京）股份有限公司3042 （2022全国高三专题练习）已知函数2( )(31)exf xxx（1）求( )f x的单调区间；（2）求( )f x在区间 2,0上的最大值和最小值43 （2021天津市第一零二中学高三期中）设函数 322f xxxx （1）求 f x在2x 处的切线方程；（2）求 f x的极大值点与极小值点；（3）求
41、 f x在区间5,0上的最大值与最小值44 （2021宁夏银川一中高三阶段练习（文） ）已知函数 lnxafxxx（aR） （1）讨论 fx的单调区间； （2）求 fx在1,ee上的最大值 g a学科网（北京）股份有限公司3145 （2021山东高三阶段练习）已知函数 2lnf xxax（1）讨论 f x的单调性； （2）当0a 时，求 f x在区间1,2上的最大值46 （2021北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数2( )23xf xexx.（1）求不等式( )0f x 的解集； （2）求函数( )f x的单调区间和极值；（3）函数( )f x在区间0,2上的最大值和最小值；（4）若在
42、区间, a 上，函数( )f x总有最小值，求出a的取值范围；（5）在函数( )f x的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）学科网（北京）股份有限公司32专题三专题三 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题【知识总结】【知识总结】一、证明不等式常用的方法和思路一、证明不等式常用的方法和思路作差构造函数，转化为最值问题二、不等式恒成立问题常用的方法和思路二、不等式恒成立问题常用的方法和思路(1)直接法(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；三、零点问题常用的方法和思路、零点问题常用的方法
43、和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【典型例题】【典型例题】例例 1 （2022全国高三专题练习）设函数 222lnxfxxx eaexex，其中e为自然对数的底数，曲线 yf x在 22f , ,处切线的倾斜角的正切值为2322ee（1）求a的值；（2）证明： 0fx 学科网（北京）股份有限公司33例例 2 （2022全国高三专题练习）已知关于x的函数 ln1ln2 .fxaxx（1）讨论 f
44、 x的单调性；（2）证明：当*nN时，2ln 1 2 3ln2.nnn 例例 3 （2022浙江高三专题练习）已知函数 3222f xxxx.（1）求函数 f x的极值；（2）若对任意的2,13x 都有 fxc成立，求 c 的取值范围.例例 4 （2022全国高三专题练习）已知函数 1xf xeax.（1）当2a 时，求曲线在 1,1f处的切线方程；（2）若 2g xf xx，且 g x在0,上的最小值为 0，求a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司34例例 5 （2021北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数 3239f xxxxm（mR）（1）求 f x在 11f，处的切线方程；（
45、2）当 f x有 3 个零点时，求m的取值范围例例 6 （2021黑龙江牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理） ）已知函数( )lnf xaxx aR.（1）若2a ，求曲线( )yf x在1x 处切线的方程；（2）求( )f x的单调区间；（3）设2( )22g xxx，若对任意10,x ，均存在20,1x ，使得 12f xg x，求a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司35例例 7 （2020四川省内江市第六中学高三阶段练习（理） ）已知aR，函数 32112,2 ln62fxxaxb g xax.（1）若曲线 yf x与曲线( )yg x=在它们的交点1,c处的切线互相垂直, 求,
46、a b的值；（2）设 F xfxg x,若对任意的12,0,x x ,且12xx,都有 1212F xF xa xx，求a的取值范围学科网（北京）股份有限公司36【技能提升训练】【技能提升训练】1（2021西藏拉萨中学高三阶段练习 （文） ） 已知函数 lnf xxbax在1x 处的极值为 2， 其中0a （1）求a，b的值；（2）对任意的1,x，证明恒有 2221xf xxx2 （2021新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理） ）已知函数 ln1xf xx， 21ag xxx，曲线 yf x与曲线 yg x在1x 处的切线互相平行（1）求a的值；（2）求证： f xg x在0,上恒成立3 （
47、2021全国高三专题练习（理） ）已知函数2( )lnf xxxax.（1）若函数( )f x在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）若0a 且) 1(0 x，求证：231( )(1)xxxf xxxe.学科网（北京）股份有限公司374 （2021全国高三阶段练习（文） ）已知( )lnf xxax，aR（）讨论( )f x的单调性；（）若1a ，证明：( )1f x 5 （2021宁夏青铜峡市高级中学高三阶段练习（理） ）已知函数( )lnf xaxx（a 是常数）.（1）当2a 时，求( )f x的单调区间与极值；（2）若0, ( )0 xf x ，求 a 的取值范围；6 （2021
48、福建莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数 32f xxaxbxc在23x 与1x 处都取得极值（1）求a，b的值；（2）若对任意1,2x ，不等式 2f xc恒成立，求实数c的取值范围学科网（北京）股份有限公司387 （2021全国高三阶段练习（文） ）已知函数 211ln2fxaxa xx.（1）当2a 时，求函数 fx的单调区间；（2）当1a 时，证明：1x 时，当 11112fxa xax 恒成立.8 （2019山西省平遥中学校高三阶段练习（理） ）已知 lnf xxx.（1）求 f x的单调区间；（2）若存在x使 f xm成立，求实数m的取值范围.9 （2021陕西礼泉高三开学考试（
49、文） ）已知函数3211( )2 ()32f xxaxx aR在2x 处取得极值.（1）求( )f x在 2,1上的最小值；（2）若函数( )( )()g xf xb bR有且只有一个零点，求 b 的取值范围.学科网（北京）股份有限公司3910 （2021安徽安庆一模（理） ）函数( )2xf xeaxa.（1）讨论函数的极值；（2）当0a 时，求函数 fx的零点个数.11 （2019山东日照高三期中（理） ）已知函数 2ln,22r xxxax g xaxx (1)证明：当 11,ar xg xx时，对恒成立；(2)若函数 22r xf xaxax恰有一个零点，求实数a的取值范围12 （20
50、20江西南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数 lnfxxx， 21112g xkxk x ，曲线 yf x与曲线 yg x在1x 处的切线互相垂直，记 F xf xg x.（1）求实数 k 的值；（2）若方程( )f xm有两个不相等实根，求m的取值范围；（3）讨论函数 F x的单调性.学科网（北京）股份有限公司4013 （2020全国高三专题练习（文） ）已知函数32( )f xaxbx在点(1,(1)f处的切线方程为310 xy .（1）求实数 a，b 的值；（2）若过点( 1,)(4)m m 可做曲线( )yf x的三条切线，求实数 m 的取值范围.14 （2021陕西西安一中高三期中（
