1、1数字通信原理第第3章 随机过程章 随机过程2第第3章 随机过程章 随机过程?3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念?什么是随机过程？什么是随机过程？?随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：?角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。3第第3章 随机过程章 随机过程【例】【例】n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形?样本函数样本函数 i (t)：随机过
2、程的一次：随机过程的一次实现实现，是确定的时间函数。，是确定的时间函数。?随机过程：随机过程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t)是全部样本函数的集合。是全部样本函数的集合。( ) tt012( )( )( )nttt?4第第3章 随机过程章 随机过程?角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。?在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i (t)都是一个确定的数值都是一个确定的数值 i (t1)，但是每个，但是每个 i (t1)都是不可预知的。都是不可预知的。?在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上
3、，不同样本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1)。?换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。?因此，我们又可以把因此，我们又可以把随机过程随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合随机变量的集合。?这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。5第第3章 随机过程章 随机过程?3.1.1随机过程的分布函数随机过程的分布函数?设设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，
4、则它在任意时刻t1的值的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。?随机过程随机过程 (t)的的一维分布函数一维分布函数：?随机过程随机过程 (t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。：若上式中的偏导存在的话。)(),(11111xtPtxF=1111111),(),(xtxFtxf=6第第3章 随机过程章 随机过程?随机过程随机过程 (t) 的的二维分布函数二维分布函数：?随机过程随机过程 (t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。：若上式中的偏导
5、存在的话。?随机过程随机过程 (t) 的的n维分布函数维分布函数：?随机过程随机过程 (t) 的的n维概率密度函数维概率密度函数：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF=2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf=nnnnnxtxtxtPtttxxxF=)(,)(,)(),;,(22112121?n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(=?xxttxxFttxxf，；，；，7第第3章 随机过程章 随机过程?3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征?均值（数学期望）：在任意给定时刻均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值的
6、取值 (t1)是一个随机变量，其均值式中是一个随机变量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数由于的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1直接写为直接写为t， x1改为改为x，这样上式就变为，这样上式就变为=dxtxxftE),()(1=111111),()(dxtxfxtE8第第3章 随机过程章 随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心 :=dxtxxftE),()(1( ) tt012( )( )( )nttt
7、?a (t )9第第3章 随机过程章 随机过程?方差方差常记为方差方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t 。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值对于均值a ( t )的偏离程度。的偏离程度。2)()()(tatEtD=( )( )( ) ( )( )( )( )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD=+=+=212)(),(tadxtxfx=均方值均值平方10第第3章 随机过程章 随机过程?相关函数式中，相关函数式
8、中， (t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。?协方差函数式中协方差函数式中 a ( t1) a ( t2) 在 在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值f2(x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR =21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxt
9、attatEttB= 11第第3章 随机过程章 随机过程?相关函数和协方差函数之间的关系若相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1) = a(t2)，则，则B(t1, t2) = R(t1, t2)?互相关函数式中互相关函数式中 (t)和和 (t)分别表示两个随机过程。因此，分别表示两个随机过程。因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB=)()(),(2121ttEttR=12第第3章 随机过程章 随机过程?3.2 平稳随机过程平稳随机过程?3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义?定义：若一个随机过程定义：若一个
10、随机过程 (t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数和所有实数 ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程严平稳随机过程。),(),(21212121+=nnnnnntttxxxftttxxxf?；13第第3章 随机过程章 随机过程?性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布
11、函数只与时间间隔无关：而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：有关：?数字特征：可见，（数字特征：可见，（1）其均值与）其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（；（2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。)(),(11111xftxf=);,(),;,(21221212xxfttxxf=adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR=+= 14第第3章 随机过程章 随机过程?数字特征：可见，（数字特征：可见，（1）其均值与）其均值与t 无关，为常数无关，为常数a ；（；（2）自相关函数只与时间间隔
12、）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足（有关。把同时满足（1）和（）和（2）的过程定义为）的过程定义为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。=adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR=+= 15第第3章 随机过程章
13、随机过程?3.2.2 各态历经性各态历经性?问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为回答是肯定的。平稳过程
14、在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。?下面，我们来讨论各态历经性的条件。下面，我们来讨论各态历经性的条件。16第第3章 随机过程章 随机过程?各态历经性条件设：各态历经性条件设：x(t)是平稳过程是平稳过程 (t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。的
15、任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。+=+=2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa=)()(RRaa17第第3章 随机过程章 随机过程?“各态历经各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次
16、的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均时间平均”值代替过程的值代替过程的“统计平均统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。?具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。18第第3章 随机过程章 随机过程?例例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，设一个随机相位的正弦波为其中，A和和 c均为常数；均为常数； 是在是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试
17、讨论内均匀分布的随机变量。试讨论 (t)是否具有各态历经性。【解】是否具有各态历经性。【解】(1)先求先求 (t)的统计平均值：数学期望的统计平均值：数学期望)cos()(+=tAtc+=2021)cos()()(dtAtEtac=20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020=dtdtAcc19第第3章 随机过程章 随机过程自相关函数令自相关函数令t2 t1= ，得到可见，得到可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以无关，只与时间间隔 有关，所以 (t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。
18、0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121+=+=+=+=ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc=20第第3章 随机过程章 随机过程(2) 求求 (t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。=+=220)cos(1limTTcTdttATa+=22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR+=22222)2
19、2cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22=)()(,RRaa=21第第3章 随机过程章 随机过程?3.2.3 平稳过程的自相关函数平稳过程的自相关函数?平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的定义：同前?平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质? (t)的平均功率的平均功率? 的偶函数的偶函数? R( )的上界即自相关函数的上界即自相关函数R( )在在 = 0有最大值。有最大值。? (t)的直流功率的直流功率?表示平稳过程表示平稳过程 (t)的交流功率。当均值为的交流功率。当均值为0时，有时，有R(0) = 2。)()0(2tER=)()(= RR
20、)0()(RR22a)()(=tER2)()0(= RR22第第3章 随机过程章 随机过程?3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度?定义：定义：?对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为式中，它的功率谱密度定义为式中，FT( f )是是f (t)的截短函数的截短函数fT(t) 所对应的频谱函数所对应的频谱函数TfFmi lfPTTf2)()(=t02T2T( )f t( )Tft23第第3章 随机过程章 随机过程?对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t) ，可以把，可以把f (t)当作是当作是 (t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程
21、的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为的功率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(=24第第3章 随机过程章 随机过程?功率谱密度的计算功率谱密度的计算?维纳维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立
22、，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。=dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR25第第3章 随机过程章 随机过程?在维纳在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：?对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算
23、法。?各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即两边取傅里叶变换：即式中各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即两边取傅里叶变换：即式中dffPR)()0(=)()(RR= )()(RRFF=)()(fPfPf=)()(fPR( )(RfPf26第第3章 随机过程章 随机过程?功率谱密度功率谱密度P ( f
24、)具有非负性和实偶性，即有和这与具有非负性和实偶性，即有和这与R( )的实偶性相对应。的实偶性相对应。0)(fP)()(fPfP=27第第3章 随机过程章 随机过程?例例3-2 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。【解】【解】在例例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为cARcos2)(2=)()(PR)()(cosccc+)()(2)(2ccAP+=2)(21)0(2AdPRS=28第第3章 随机过程章 随机过程?3.3
25、高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）?3.3.1 定义定义?如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n =1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。?n维正态概率密度函数表示式为：式中维正态概率密度函数表示式为：式中=njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa=29第第3章 随机过程章 随机过程式中式中|B| 归一化协方差矩阵的行列式，即 归一化协方差矩阵的行列式，即|B|
26、jk行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子bjk为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即11121221112?nnnnbbbbbbB =kjkkjjjkatatEb)()(=30第第3章 随机过程章 随机过程?3.3.2 重要性质重要性质?由高斯过程的定义式可以看出由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。?广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程
27、是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。31第第3章 随机过程章 随机过程?如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有，有bjk=0，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻
28、的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。?高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。),.,;,.,(2121nnntttxxxf=nax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf=?32第第3章 随机过程章 随机过程?3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量?定义：高斯过程在任一时刻上的取值
29、是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 均值 2 方差曲线如右图： 方差曲线如右图：221()( )exp22xaf x=12xao( )f x33第第3章 随机过程章 随机过程?性质性质?f (x)对称于直线对称于直线 x = a，即，即?a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和和 = 1时，称为标准化的正态分布：时，称为标准化
30、的正态分布：()()xafxaf=+=1)(dxxf=aadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x=21xao( )f x34第第3章 随机过程章 随机过程?正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：?用误差函数表示正态分布函数：令用误差函数表示正态分布函数：令则有及式中误差函数，可以查表求出其值。则有及式中误差函数，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz=2/ )(azt=dtdz2=2() /2( )22121122xa
31、tF xedtxaerf=+202( )xterf xedt=35第第3章 随机过程章 随机过程?用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当表示正态分布函数：式中当x 2时，时，=2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt= =21( )xerfc xex36第第3章 随机过程章 随机过程?用用Q函数表示正态分布函数：函数表示正态分布函数：?Q函数定义：函数定义：?Q函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：?Q函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：?Q函数值也可以从查表得到。函数值也可以从查表得到。2/21( )2t
32、xQ xedt=221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfc=axQaxerfcxF12211)(37第第3章 随机过程章 随机过程?3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统?确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统（复习） ：（复习） ：式中式中 vi 输入信号， 输入信号， vo 输出信号对应的傅里叶变换关系： 输出信号对应的傅里叶变换关系：?随机信号通过线性系统：随机信号通过线性系统：?假设：假设： i(t) 是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程，a 均值，均值，Ri( ) 自相关函数， 自相关函数，Pi( ) 功率谱密度；求输出过程 功率谱密度；求输出过程
33、o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0=)f ()f ()f (0iVHV=dthti)()()(038第第3章 随机过程章 随机过程?输出过程输出过程 o(t)的均值的均值对下式两边取统计平均：得到设输入过程是平稳的 ，则有式中，对下式两边取统计平均：得到设输入过程是平稳的 ，则有式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。=dthti)()()(0=dtEhdthEtEi
34、i)()()()()(0atEtEii=)()()0()()(0HadhatE=39第第3章 随机过程章 随机过程?输出过程输出过程 o(t)的自相关函数：的自相关函数：根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是上式表明根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。的函数。由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110+
35、=+=+=+ )()()(11+=+iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi=+=+ 40第第3章 随机过程章 随机过程?输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：得出令 对下式进行傅里叶变换：得出令 = + - ，代入上式，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由，代入上式，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( )()()()(),(0110RddRhhttRi=+=+ =deRfPj
36、)()(00deddRhhji)()()(+= =0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii=41第第3章 随机过程章 随机过程?输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布?如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理看，可以表示为：由于已假设如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理看，可以表示为：由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率
37、论理论得知，这个是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。kkkkihttk=)()(lim)(000=dthti)()()(042第第3章 随机过程章 随机过程?3.5 窄带随机过程窄带随机过程?什么是窄带随机过程？若随机过程什么是窄带随机过程？若随机过程 (t)的谱密度
38、集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围附近相对窄的频带范围 f 内，即满足内，即满足 f fc的条件，且的条件，且 fc远离零频率，则称该远离零频率，则称该 (t)为窄带随机过程。为窄带随机过程。43第第3章 随机过程章 随机过程?典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数44第第3章 随机过程章 随机过程?窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络， 随机包络， (t) 随机相位 随机相位c 中心角频率显然， 中心角频率显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多的
39、变化要缓慢得多。0)(,)(cos)()(+=tatttatc45第第3章 随机过程章 随机过程?窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为式中可以展开为式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量可以看出：正交分量可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确定。若的统计特性确定。若 (t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。0)(,)(cos)()(+=tatttatctttttcsccsin)(cos)()(=)(co
40、s)()(ttatc=)(sin)()(ttats=46第第3章 随机过程章 随机过程?3.5.1 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性?数学期望：对下式求数学期望：得到因为数学期望：对下式求数学期望：得到因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以tttttcsccsin)(cos)()(=ttEttEtcsccsin)(cos)()(E=0)(0)(=tEtEsc，47第第3章 随机过程章 随机过程? (t)的自相关函数：由自相关函数的定义式式中因为的自相关函数：由自相关函数的定义式式中因为 (t)是平稳的
41、，故有这就要求上式的右端与时间是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令无关，而仅与有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为，上式仍应成立，它变为)()(),(+=+ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(+=ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(+=+=+=+=+ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttR=+ccsccttRttRRsin),(cos),()(+
42、=48第第3章 随机过程章 随机过程因与时间因与时间t无关，以下二式自然成立所以，上式变为再令无关，以下二式自然成立所以，上式变为再令 t = /2 c，同理可以求得由以上分析可知，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。也必然是平稳的。ccsccttRttRRsin),(cos),()(+=)(),()(),(cscsccRttRRttR=+=+ccsccRRRsin)(cos)()(=csccsRRRsin)(cos)()(+=49第第3章 随机过程章 随机过程?进一步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，进一
43、步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数。具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以同理可证的奇函数，所以同理可证ccsccRRRsin)(cos)()(=csccsRRRsin)(cos)()(+=)()(scRR=)()(sccsRR=)()(=sccsRR)()(=scscRR0)0(=scR0)0(=csR50第第3章 随机过程章 随机过程将代入下两式得到即上式表明将代入下两式得到即上式表明 (t) 、
44、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。csccsRRRsin)(cos)()(+=ccsccRRRsin)(cos)()(=0)0(=scR0)0(=csR)0()0()0(scRRR=222sc=51第第3章 随机过程章 随机过程?根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式得到无关，故由式得到因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而一定是高斯随机变量，从而 c(t)、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。?根据可知，根据可知， c(t)与与 s(t)在在 = 0处互不相
45、关，又由于它们是高斯型的，因此处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此 c(t)与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。tttttcsccsin)(cos)()(=)()(,0111ttttc=时)()(,2222ttttsc=时0)0(=csR52第第3章 随机过程章 随机过程?结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 (t)，它的同相分量，它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的 c和和 s是互不相关的或统
46、计独立的。是互不相关的或统计独立的。53第第3章 随机过程章 随机过程?3.5.2 a (t)和和 (t)的统计特性的统计特性?联合概率密度函数联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识有由可以求得根据概率论知识有由可以求得),()(),(),(,afafscsc=sincosaasc=),()(,ascscscaaaaa=cossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff+=54第第3章 随机过程章 随机过程于是有式中于是有式中a 0, = (0 2)+=2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc=2222exp2aa55第第3章 随机
47、过程章 随机过程?a 的一维概率密度函数可见，的一维概率密度函数可见， a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布。分布。=202222exp2),()(daadafaf02exp222=aaa56第第3章 随机过程章 随机过程? 的一维概率密度函数可见，的一维概率密度函数可见， 服从均匀分布。服从均匀分布。20212exp21),()(02220=daaadaaff57第第3章 随机过程章 随机过程?结论一个均值为零，方差为结论一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程 (t)，其包络，其包络a (t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位 (t)的一维分布
48、是均匀分布，并且就一维分布而言，的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a (t)与与 (t)是统计独立的 ，即有是统计独立的 ，即有)()(),(fafaf=58第第3章 随机过程章 随机过程?3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声?正弦波加窄带高斯噪声的表示式正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中 窄带高斯噪声式中 窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在 正弦波的随机相位，均匀分布在0 2 间间A和和 c 确知振幅和角频率于是有式中 确知振幅和角频率于是有式中)()cos()(tntAtrc+=ttnttntncsccsin)(cos)()(=)(cos)(sin)(cos)(
49、sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc+=+=)(cos)(tnAtzcc+=)(sin)(tnAtzss+=59第第3章 随机过程章 随机过程?正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：包络：相位：0,)()()(22+=ztztztzsc)20(,)()()(1=tztztgtcs60第第3章 随机过程章 随机过程?正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性?包络的概率密度函数包络的概率密度函数 f (z)利用上一节的结果，如果利用上一节的结果，如果 值已给定
50、，则值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位 的条件下的的条件下的zc和和zs的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为222sincosnscscAzEAzE=+=2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc61第第3章 随机过程章 随机过程利用与上一节分析利用与上一节分析a 和和 相似的方法，根据相似的方法，根据zc，zs与与z， 之间的随机变量关系可以求得在给定相位之间的随机变量关系可以求得在给定相位 的条件下的的条件下的z与与 的联合概率密度函数然后求给定条件下的边际分布， 即的联合
