1、概念解释题一、简答题1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。2. 94536是否是9的倍数，为什么？3. 写出模6的最小非负完全剩余系。4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。6. 2358是否是3的倍数，为什么？二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。作业1答案一、简答题（每小题10分，共30分）1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。答：30是合数，其标准分解式为。2. 94536是否是9的倍
2、数，为什么？答：94536是9的倍数，因为是9的倍数。3. 写出模6的最小非负完全剩余系。答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13，17。5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。答：0，1，2，m-1称为m的最小非负完全剩余系。6. 2358是否是3的倍数，为什么？答：2358是3的倍数。因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。二、
3、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。解： 结论：二元一次不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是。证明如下：若ax + by = c有整数解，设为，则但，因而，必要性得证。反之，若，则，为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s，t满足下列等式于是。令，则，故为ax + by = c的整数解，从而ax + by = c有整数解。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。答：同余的一条性质：整数a，b对模m同余的充要条件是ma-b，即a=b+mt ，t是整数。证明如下： 设，。若ab（modm），则，因此，即mab。反之，若mab，则，因此，但，故，即ab（mo
4、dm）。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答：若a，b是两个整数，其中b0，则存在两个整数q及r，使得a=bq+r，成立，而且q及r是唯一的。下面给出证明：证作整数序列，3b，2b，b，0，b，2b，3b，则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qba(q+1)b成立。令aqbr，则r为整数，且aqbr，而。设是满足（2）的另两个整数，则，所以，于是，故。由于r，都是小于b的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。填空题答案17除29的商是 4 。212除26的余数是 2 。35的正因数是 1, 5 。44.5= 0.5 。58.3 +-8.3 = -1 。630的
5、最小质因数是 2 。7在所有质数中，是偶数的是 2 。8在所有质数中，最小的奇质数是 3 。9大于4小于16的素数有_5,7,11,13_ _。10不定方程有整数解的充分必要条件是 (a,b)|c 。11模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4 。12模4的绝对最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。13的个位数是 5 。1477的个位数是_ 3 _。15316的十进位表示中的个位数字是 1 。1666的个位数是 6 。17710被11除的余数是 1 。18（1516，600）= 4 。196的所有正因数的和是 12 _。2024与60的最大公因数是 12 。2135的最小质因数是 5 。
6、2246的个位数是 6 。238的所有正因数的和是 15 _。2418的标准分解式为 。2520的欧拉函数值= 8 。计算题1. 求400与240的最大公因数。2. 求不定方程10x + 9y = 1的一切整数解。3. 求150与210的最大公因数。4. 解同余式3x 2 (mod 5)。5. 求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。6. 解同余式3x 1 (mod 7)。7. 解同余式28x 21 (mod 35)。8. 解同余式组：。9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。10. 解同余式。计算题答案1. 求400与240的最大公因数。解：因为，所以400与240的最大公
7、因数是，即80。2. 求不定方程10x + 9y = 1的一切整数解。解：因为(10,9) = 1，所以不定方程有整数解。显然x = 1，y = -1是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为：x=1+9ty=-1-10t，其中t取一切整数。3. 求150与210的最大公因数。解：因为，所有150与210的最大公因数是，即30。 4. 解同余式3x 2 (mod 5)。解： 因为（3，2）=1，所以同余式有解，且有一个解。将0，1，2，3，4直接代入检查知，4满足同余式，所以同余式的解为x 4 (mod 5)。5求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。解：因为（7,2）=1,1|1，所以不
8、定方程有解。观察知其一个整数解是。于是其一切整数解为，t取一切整数。6解同余式3x 1 (mod 7)。解：因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。由3x - 7y = 1得，所以同余式的解为7解同余式28x 21 (mod 35)。解：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x 21(mod 35)等价于4x 3(mod 5)，解4x 3(mod 5)得x 2(mod 5)，故同余式28x 21(mod 35)的7个解为x 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。8解同余式组：。解：由得，将其代入得，解得，即，所以，所以解为。9.求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。显然是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为x=2ty=1-3t，其中t取一切整数。10. 解同余式。解：因为(4,5) = 1，所以同余式有解，且只有1个解。将0,1,2,3,4代入检查知4满足，所以同余式的解为。证明题1. 证明：若a，b都是m的倍数，则也是m的倍数。 2. 设n是整数，证明3 | n(n + 1)(n + 2)。3. 设n是整数，证明：。设x，y均为整数。4. 证明：若，则。5. 设x，y均为整数。证明：若，则。 6. 证明：若k是整数，则是奇数。
