1、定价：9.15元义务教育教科书 （五四学制） 数学 九年级 上册价格批准文号：鲁发改价格核（2021）607010举报电话：12345绿 色 印 刷 产 品YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WUSI XUEZHI）SHUXUEJIU NIANJI SHANG CE义务教育教科书（五四学制）数学九年级 上册*山东出版传媒股份有限公司山东教育出版社出版（济南市市中区二环南路2066号4区1号）山东新华书店集团有限公司发行山东新华印刷厂潍坊厂印装*开本：787毫米1092毫米 1/16印张：9.75 字数：195千 定价：9.15元（上光）ISBN978-7-5328-8328-8201
2、4年8月第1版 2021年7月第8次印刷著 作 权 所 有 请 勿 擅 用 本 书 制 作 各 类 出 版 物 违 者 必 究山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话： （0531 ）82098188亲爱的同学：祝贺你步入义务教育的最后一个学年！前几年的数学学习生活使你接触到许多数学对象，经历了许多有意义的数学活动，还学到了一些重要的数学方法，并且能够用它们去解决问题。更重要的是，我们看到了身边的数学，掌握了一些学习数学的基本方法，有了学好数学的信心你已经学习了一次函数，反比例函数是另一种函数模型，学习过后，相信你会对函数的认识更加丰富。在与变量、函数打交道时，我们初步体验到函数对变化过程
3、的描述，也感受到一个变化过程中存在“不变因素”。二次函数是一种较为复杂的“经典”函数，对它的研究将使我们体会到二次函数的广泛应用和研究函数的基本思路、方法和内容，而这一切又是你未来数学学习的重要知识基础，切不可掉以轻心呀！“直角三角形的边角关系”与生活中的许多现象密不可分，与相似、比例、函数有着千丝万缕的联系，学习它将有益于我们了解数形之间的关系，进一步体会到数学的价值。物体在灯光下、太阳光下都有影子，物体的这些影子有什么特点和规律？从数学的角度如何来认识它？这部分内容学完后你将发现“数学会使我们看得更深刻”。学好数学当然不是轻而易举就能做到的，但也并非高不可攀。自己想一想、做一做，与同伴们议
4、一议，读一读教科书，听一听老师的讲解，并在日常生活中尝试使用数学。事实上，对数学了解得越多，你就越能体会到它的意义与趣味。让我们一起走进数学新天地！ 2 5 14 17 17 19MULU目 录第一章 反比例函数1 反比例函数2 反比例函数的图象与性质3 反比例函数的应用回顾与思考复习题综合与实践能将矩形的周长和面积同时加倍吗 A B 第二章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数2 30 ， 45 ， 60 角的三角函数值3 用计算器求锐角的三角函数值4 解直角三角形5 三角函数的应用6 利用三角函数测高回顾与思考复习题综合与实践设计遮阳篷 24 30 34 40 46 51 54 54 58
5、? ? ?y y y y y y y? ? ? ? ? ? ?x x x x x x x xy y y y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ?x x x x x x x xI I I I ? ? ?R R R R R R R R Ry y y y y y y ? ? ? ? ? ? ?x x x x x x?x xt t t t t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?V V V V V Vp p p p p p p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?S S S S S S S
6、SyOx? ? ? ? ? ? ? ? ?第四章 投影与视图1 投影2 视图回顾与思考复习题总复习题 62 69 71 78 90 96 104 111 112 117第三章 二次函数1 对函数的再认识2 二次函数3 二次函数 y = ax2 的图象与性质4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 与性质5 确定二次函数的表达式6 二次函数的应用7 二次函数与一元二次方程回顾与思考复习题综合与实践拱桥形状设计 120 132 141 142 1451反比例函数11 1 1反比例函数反比例函数1第一章 反比例函数学 习 目 标 积累从现实问题中抽象出变量之间的依赖 关系并加以表示的经
7、验 体会反比例函数的意义，能根据已知条件 确定反比例函数的表达式 能画出反比例函数的图象 借助图象和表达式探索并理解反比例函数 的性质，体会数形结合的思想 进一步体会用函数解决实际问题的方法与 思想y y = =1 1x xy y = =6 6x xI I = =220220R Ry y = =7 7100 x100 xt t = =V Vp p = =600600S S当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？当列车行驶的路程一定时，随着列车行驶的平均速度的变化，列车行驶的时间将如何变化？这其中的数量关系具有怎样的共同特征？本章将研究反比例函数. 与一
8、次函数一样，反比例函数也是刻画很多现实问题中变量之间关系的重要数学模型. yOx43211- 1- 1- 2- 3- 4- 2- 3- 42341 3182第一章反比例函数电流 I（A）、电阻 R（）、电压 U（V）之间满足关系式 U = I R. 当 U = 220 V 时：（1）你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？（2）利用写出的关系式完成下表：R / 20406080100I / A当 R 越来越大时，I 怎样变化？当 R 越来越小时呢？（3）变量 I 是 R 的函数吗？为什么？京沪高速铁路全长约为 1 318 km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间 t（h）
9、与行驶的平均速度 v（km / h）之间有怎样的关系？变量 t 是 v 的函数吗？为什么？已知两个实数的乘积为 - 8，如果其中一个因数为 p，另一个因数为 q， 则 q 与 p 之间的函数关系是什么？在上述问题中，变量 I 与 R 之间的关系可以表示成：I =220R；变量 t 与 v 之间的关系可以表示成：t =1 318v；1反比例函数1反比例函数3变量 q 与 p 之间的关系可以表示成：q =- 8p .议一议观察上面列出的三个函数关系式，你发现它们有什么共同特点？ 一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示成 y =kx（k 为常数，k 0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例
10、函数（inverse proportional function） .想一想对于反比例函数 y =kx（k 0） ， 自变量 x 的取值范围是什么？反比例函数的自变量 x 不能为零. 例 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = - 3 时，y = 4.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求当 x = 6 时 y 的值. 解： （1）设 y =kx（k 0） ，因为当 x = - 3 时，y = 4，所以有 4 =k- 3， k = - 12.所以， y 与 x 之间的函数关系式为 y =- 12x.（2）把 x = 6 代入 y =- 12x，得 y =- 126 = - 2.
11、4第一章反比例函数做一做1. 一个矩形的面积为 20 cm2，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm，那么变量 y 是变量 x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？2. 某村有耕地 346.2 公顷，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m（公顷 /人）是全村人口数 n 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？3. y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值.x- 2- 1-121213y232- 1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表. 随堂练习1. 在下列函数表达式中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的 k
12、 值是多少？ （1）y =5x； （2）y =0.4x； （3）y =x2； （4）xy = 2. 2. 你能举出两个反比例函数的实例吗？写出函数表达式，与同伴进行交流. 习题1.1知识技能1. 计划修建铁路 1 200 km，那么铺轨天数 y（d）是每日铺轨量 x（km /d）的反比例函数吗？2反比例函数的图象与性质5数学理解3. 下列哪些式子表示 y 是 x 的反比例函数？为什么？（1）xy = -13； （2）y = 5 - x；（3）y =- 25x； （4）y =2ax（a 为常数，a0） . 4. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 3 时，y = 6. （1）写出 y 与
13、 x 之间的函数关系式；（2）当 x 为何值时，y = 8？5. 电流 I、电阻 R、电功率 P 之间满足关系式 P = I 2R. 已知 P = 5 W，填写下表并回答问题：I / A12345678R / （1）变量 R 是变量 I 的函数吗？（2）变量 R 是变量 I 的反比例函数吗？2. 三角形的面积 S 是常数，它的一条边长为 y，这条边上的高为 x，那么 y 是 x 的函数吗？是反比例函数吗？2反比例函数的图象与性质还记得一次函数的图象吗？反比例函数的图象又会是什么样的呢？还记得画函数图象的一般步骤吗？你能尝试画出反比例函数 y =4x 的图象吗？你是怎样画的？与同伴交流. 6第一
14、章反比例函数下面是小明的画法. （1）列表：x- 8- 4- 3- 2- 1-121212348y =4x-12- 1-43- 2- 4- 884243112（2）描点：如图 1-1 所示. 图 1-1图 1-2（3）连线：如图 1-2 所示. 你认为小明的画法正确吗？说说你的理由. 在画反比例函数的图象时，要用光滑的曲线分别顺次连接横坐标为负数的点及横坐标为正数的点，各得到图象的一个分支，这两个分支合起来就是反比例函数 y =4x 的图象，如图 1-3 所示. y86422O- 2- 2- 4- 6- 8- 4- 6- 8468xy86422O- 2- 2- 4- 6- 8- 4- 6- 8
15、468xy86422O- 2- 2- 4- 6- 8- 4- 6- 8468x图 1-32反比例函数的图象与性质7议一议议一议你认为画反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流.做一做在图 1-4 中画反比例函数 y =- 4x 的图象.观察函数 y =4x 和 y =- 4x 的图象，它们有什么相同点和不同点？y86422O- 2- 2- 4- 6- 8- 4- 6- 8468x图 1-4反比例函数的图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心. 反比例函数的图象是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.例 1 如图 1-5 是反比例函数 y =m - 6x 的图象的一支.（1）图象的另
16、一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？（2）若图象经过点（- 2，6） ， 判断点 A（- 3，4） ，想一想图 1-5yOx反比例函数 y =kx 的图象是由两支曲线组成的 . 当 k 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 k 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 这两支曲线通常称为双曲线.8第一章反比例函数随堂练习下图给出了反比例函数 y =2x 和 y =- 2x 的图象，你知道哪一个是 y =- 2x 的图象吗？为什么？（1）（2）yOx43211- 1- 1- 2- 3- 4- 2- 3- 4234B（8，- 32） ， C（4，- 4）是否在这个函数的图象上.解：
17、 （1）反比例函数的图象只有两种可能，位于第一、三象限，或者位于第二、四象限，又因为这个函数的图象的一支位于第二象限，则另一支必位于第四象限. 因为这个函数的图象位于第二、四象限，所以m - 6 0，解得 m 0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而减小；当 k b 0，那么 m 和 n 有怎样的大小关系？解： （1）设反比例函数的关系式为 y =kx . 将 A（- 3，6）的坐标代入 y = kx 中，得 6 =k- 3，解得 k = - 18.所以这个反比例函数的表达式为 y = -18x .（2）因为 k b 0，所以 m n.若把例 2 中的条件“a b 0”改为条件“a b
18、 0 b ” ，则 m 与 n 的关系又如何？想一想在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q . 过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2. S1 与 S2 有什么关系？为什么？议一议12第一章反比例函数随堂练习1.（1）已知点（- 6，y1） ， （- 4，y2）在反比例函数 y = -6x 的图象上，试比较 y1 与 y2 的大小. 你是怎么做的？（2）已知点（4，y3） ， （6，y4）在反比例函数 y = -6x 的图象上，试比较 y3 与 y4 的 大小. （3）已知点（- 4，y
19、5） ， （6，y6）在反比例函数 y = -6x 的图象上，试比较 y5 与 y6 的大小. 2. 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 _；在其图象所在的象限内，y 的值随 x 值的增大而增大的有 _. （1）y =12x； （2）y =0.3x； （3）y =10 x； （4）y =- 7100 x . 读一读反比例函数与三等分角同学们都知道，关于尺规作图有著名的“三大不能” 问题，其中之一就是三等分角的问题. 但是，你知道借助反比例函数的图象，就可以完成对一个角的三等分吗？它的作法是这样的：（1）如图 1-8， 建立直角坐标系，将已知锐角AOB 的顶点与原点 O 重合，角的一边 OB
20、 与 x 轴正方向重合.倍立方问题、三等分角问题、化圆为方问题.图 1-8OAPQNyMRBxH2反比例函数的图象与性质13（2）在直角坐标系内，绘制函数 y =1x 的图象，图象与已知角的另一边 OA 交于点 P .（3）以点 P 为圆心、以 2OP 为半径作弧，交函数 y =1x 的图象于点 R.（4）分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M .（5）连接 OM，得到MOB.这时，MOB =13AOB .你知道这是为什么吗？你可能要问，图 1-8 给出的AOB 是锐角，对于钝角或直角怎么办呢？这个问题就留给你了，相信你可以解决它.习题1.3知识技能1. 下列函数
21、中，图象位于第一、三象限的有 _；在图象所在的象限内，y 的值随 x 值的增大而增大的有 _ . （1）y =23x； （2）y =0.1x； （3）y =5x； （4）y =- 275x . 2. 已知点 P（3，2） ， Q（- 2，a）都在反比例函数 y =kx 的图象上. 过点 P 分别 作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为 S1；过点 Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为 S2. 求 a，S1，S2 的值.数学理解3. 已知矩形的面积为 9，试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系.14第一章反比例函数4.（1）已知点（2，y1） ， （1，y2） ，
22、（- 1，y3） ， （- 2，y4）都在反比例函数 y =1x 的图象上，比较 y1，y2，y3 ，y4 的大小；（2）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）都在反比例函数 y =1x 的图象上，且 x1 x2， 比较 y1 与 y2 的大小. 5. 已知点 A（- 2，y1） ， B（- 1，y2）和 C（3，y3）都在反比例函数 y =kx 的图象 上，比较 y1，y2，y3 的大小. 3反比例函数的应用某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S（m2）的变化，人和木板对地面的压强 p（Pa
23、）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，那么（1）用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？联系拓广3反比例函数的应用15（4）在图 1-9 所示的直角坐标系中，画出相应的函数图象. （5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流. 做一做1. 蓄电池的电压为定值. 使用此电源时，电流 I（A）与电阻 R（）之间的函数关系如图 1-10 所示.（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）如果以此蓄电池为电源的
24、用电器限制电流不得超过 10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？I / AR / 18161412A（9，4）108642O369121518212427303336图 1-102. 如图 1-11，正比例函数 y = k1x 的图象与反比例函数 y =k2x 的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为（，2） . （1）分别写出这两个函数的表达式.（2）你能求出点 B 的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流. yxAOB图 1-11Op / PaS / m2图 1-916第一章反比例函数随堂练习某蓄水池的排水管每小时排水 8 m3，6 h 可将满池水全部排空. （1）蓄水池的
25、容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m3），那么将满池水排空所需的时间 t（h）将如何变化？（3）写出 t 与 Q 之间的关系式；（4）如果准备在 5 h 内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时 12 m3，那么最少多长时间可将满池水全部 排空？习题1.4知识技能问题解决1. 反比例函数的图象经过点 A（2，3） ， 那么点 B（-，3 ） ，C（2 ， -） ，D（9，23）是否在该函数的图象上？2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体体积 V（m3）的反比例函数，其图象如图所示
26、. （1）写出这一函数的表达式；（2）当气体体积为 1 m3 时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于 140 kPa 时，气球将爆炸. 为了安全起见，气体的体积应不小于多少？联系拓广3. 已知正比例函数 y = k1x 的图象与反比例函数 y =k2x 的图象的一个交点是（1，3） . （1）写出这两个函数的表达式，并确定这两个函数图象的另一个交点的坐标； （2）画出草图，并据此写出使反比例函数值大于正比例函数值的 x 的取值范围. 20015010050O0.511.52V / m3p / kPaA（0.8， 120）（第 2 题）复习题17知识技能回顾与思考1. 点（23，- 3）在反比
27、例函数 y =kx 的图象上，那么 k = _，该反比例函数 的图象位于第_象限. 2. 反比例函数 y =kx 的图象经过点（32，3） ，那么点（2，23）是否在该反比例函数 的图象上？点（- 32，- 3）呢？为什么？3. 已知反比例函数 y =m + 1x 的图象具有下列特征：在所在象限内，y 的值随 x 值的 增大而增大，那么 m 的取值范围是 _. 4. 如果反比例函数 y =kx 的图象经过点（- 2，） ， 那么直线 y =（k - 1）x 一定经 过点（2，_） . 5. 考察函数 y =2x 的图象，当 x = - 2 时，y = _；当 x tan ，所以甲梯比较陡.正切
28、也经常用来描述山坡的坡度 . 例如，有一个山坡，如果沿山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m（如图 2-6） ，那么这个山坡的坡度就是 tan =60100 =35 .4 m8 m5 m13 m甲乙图 2-5 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比） .图 2-660 m100 m271锐角三角函数1. 如图，在 RtMNP 中，P = 90 ，M 的对边是_，M 的邻边是_；N 的对边是_，N 的邻边是_.随堂练习2. 如图，ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给的数据求出 tan C 吗？3. 如图，某人从山脚下的点 A 走了 200 m 后到达山顶的点 B，已知点 B
29、 到山脚 A 的 垂直高度 BC 为 55 m，求山坡的坡度（结果精确到 0.001） .DCBANMP61.5（第 1 题）（第 2 题）BCA（第 3 题）习题 2.1知识技能数学理解联系拓广1. 在 RtABC 中，C = 90 ，AC = 5，AB = 13，求 tan A 和 tan B.2. 在 RtABC 中，C = 90 ，BC = 3，tan A =512，求 AC.3. 观察你们学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？4. 在 RtABC 中，C = 90 ，tan A 与 tan B 有什么关系？28第二章直角三角形的边角关系议一议如图 2-7，当 RtABC 中的锐角 A 确
30、定时，A 的对边与邻边的比便随之确定. 此时，其他边之间的比也确定吗？与同伴进行交流.在 RtABC 中，如果锐角 A 确定，那么A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦（sine），记作 sin A，即 sin A =A 的对边斜边 .A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦（cosine），记作 cos A，即 cos A =A 的邻边斜边 .锐角 A 的正弦、余弦和正切都是A 的三角函数（trigonometric function） .A 的对边A 的邻边斜边CBA图 2-7想一想在图 2-3 中，你发现梯子的倾斜程度与 sin A 和 cos A
31、有关系吗？当锐角 A 变化时，相应的 sin A，cos A 也随之变化. sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡.例2 如图 2-8，在 RtABC 中，C = 90 ，AB = 5，AC = 2. 求 sin A，cos A.解：在 RtABC 中， cos A =ACAB = 25 .又AC2 + BC2 = AB2，BC =AB2 - AC2 =52 - 22 =21 .sin A =BCAB = 215 .图 2-8CAB291锐角三角函数图 2-10CBA例3 如图 2-9，在 RtABC 中，B = 90 ，AC = 200，sin A = 0.6，求 B
32、C 的长.解：在 RtABC 中，sin A = BCAC ， 即 BC200 = 0.6，BC = 2000.6 = 120.图 2-9CBA做一做如图 2-10，在 RtABC 中，C = 90 ，cos A =1213，AC = 10，AB 等于多少？sin B 呢？1. 在 RtABC 中，C = 90 ，BC = 1，AB = 9，求 sin A，cos A.2. 在 RtABC 中，C = 90 ，sin A =45，BC = 20，求ABC 的周长和面积.随堂练习习题 2.2知识技能1. 如图，分别求和的正弦、余弦和正切.（第 1 题）（第 1 题）x453630第二章直角三角形
33、的边角关系数学理解联系拓广2. 如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？3. 在 RtABC 中，C = 90 ，sin A 与cos B 有什么关系？4. 在 RtABC 中，BCA = 90 ，CD 是边 AB 上的中线，BC = 8，CD = 5，求 sinACD，cosACD 和 tanACD.5. 在 ABC 中，ABC 90 呢？30 ，45 ，60 角的三角函数值32观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？（1）sin 30 等于多少？你是怎样得到的？与同伴进行交流.（2）cos 30 等于多少？tan 30 呢？做一做（1）60 角的正弦、余弦和正切的值分别是多
34、少？你是怎样得到的？31230 ，45 ，60 角的三角函数值（2）45 角的正弦、余弦和正切的值分别是多少？你是怎样得到的？（3）完成下表：sin cos tan 304560三角三角函数值函数角 例1 计算：（1）sin 30 + cos 45 ； （2）sin260 + sin230 - tan 45 .解： （1）sin 30 +cos 45 =12 + 22 =1+ 22；（2）sin2 60 + sin2 30 - tan 45 =（ 32）2 + （12）2 - 1 = 34 +14 - 1 = 0.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角 恰
35、好为 30 ，且两边的摆动角度相同（如图 2-11 所示） . 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到 0.01 m） . sin2 60 表示（sin 60 ）2 ，cos2 60 表示（cos 60 ）2，其余类推. 此处指秋千摆至最高位置时链子所在的直线与铅垂线之间的夹角.图 2-1130DOBCA32第二章直角三角形的边角关系解：如图 2-11，根据题意可知，AOB = 30 ，OB = 2.5 m，所以 OC = OB cos 30 = 2.5 322.165 （m） .所以 AC = 2.5 - 2.165 0.34 （m） .所以，秋千摆至最高位置与最低位置的
36、高度差约为 0.34 m.想一想如图 2-12，小丽利用有一个锐角为 30 的三角尺测量一棵树的高度. 已知她与树之间的距离为 5 m，小丽的身高为 1.6 m，那么这棵树大约有多高？ （结果精确到 0.1 m）DECAB图 2-12随堂练习1. 计算： （1）sin 60 tan 60 ； （2）cos60 + tan 45 ； （3） 2 sin45 + sin30 2 cos 45 ； （4）tan 30 sin 45 + cos 45 .2. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30 ，高为 7 m. 求 AB 的长度.30BA7 m（第 2 题）33230 ，45 ，60 角的三角
37、函数值习题 2.3知识技能问题解决1. 计算： （1）tan 45 sin 30 ； （2）cos 60 + sin 45 tan 30 ； （3）6 tan2 30 3 sin 60 - 2 cos 45 .2. 如图，一斜坡 AB 的长是 40 m，其倾斜角为 30 ，求坡顶到地面的高度.BCA（第 2 题）DCAB（第 3 题）3. 如图，河岸 AD，BC 互相平行，桥 AB 垂直于两岸，桥长 12 m，在 C 处看桥的两端 A，B，夹角BCA = 60 ，求 B，C 之间的距离（结果精确到 1 m） .4. 某阶梯的形状如图所示，其中线段 AB = BC，AB 部分的坡角为 45 ，B
38、C 部分的坡角为 30 ，AD = 1.5 m. 如果每个台阶的高不超过 20 cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶？ （最后一个台阶的高不足 20 cm 时，按一个台阶计算）ADADADADADADADADADADADADADADADADADBEC（第 4 题）45AD45AD3034第二章直角三角形的边角关系联系拓广5. 在 RtABC 中，C = 90 ，cos A =12，求 sin A 和 tan A. 你有几种解法？与同伴进行交流.用计算器求锐角的三角函数值用计算器求锐角的三角函数值3如图 2-13，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 已知缆车行驶的路
39、线与水平面的夹角= 16 ，那么缆车垂直上升的距离是多少？ （结果精确到 0.01 m）求解中你有哪些困难？ABDC图 2-13在 RtABC 中，ACB = 90 ，BC = AB sin 16 .你知道 sin 16 是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢？用科学计算器求三角函数值，要用到 和 键. 例如，求sin 16 ，cos 42 ，tan 85 和 sin 72 38 25 的按键顺序如下表所示.353用计算器求锐角的三角函数值按键顺序计算结果sin 16 0.275 637 355cos 420.743 144 825tan 8511.
40、430 052 3 sin 72 38 250.954 450 312对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得 BC = 200 sin 16 55.13 （m） .想一想在本节一开始的问题中，当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面的夹角 = 42 ，由此你还能计算什么？随堂练习1. 用计算器求下列各式的值： （1）sin 56 ； （2）sin 15 49 ； （3）cos 20.72 ； （4）cos 27 35 12 ； （5）tan 29.5 ； （6）tan 39 39 39 .2. 一个人由山底爬到山顶，需先爬 40
41、 的山坡 300 m，再爬 30 的山坡 100 m，求山高（结果精确到 0.1 m）. 用计算器求三角函数值时，结果一般有 9 个数位. 本书约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.36第二章直角三角形的边角关系习题 2.4知识技能问题解决联系拓广1. 用计算器求下列各式的值： （1）tan 32 ； （2）cos 24.53 ； （3）sin 62 11 ； （4）cos 51 42 20 ； （5）sin 56 + cos 61 + tan 76 ； （6）sin 81 32 17 + cos 38 43 47 .2. 用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： （1）sin
42、35 3 tan 25 ； （2）cos 45 + sin 30sin 60 + tan 60.3. 一座楼房门前的台阶高出地面 1.2 m，计划拆除台阶，改建成可供轮椅行走的斜坡. 根据这个城市的规定，供轮椅行走的斜坡倾斜角不得超过 9 . 从斜坡的起点至楼门的最短水平距离是多少？ （结果精确到 0.1 m）4. 如图所示，一座厂房屋顶人字架的跨度为 10 m，上弦 AB = BD，A = 26 . 求中柱 BC 和上弦 AB 的长（结果精确到 0.01 m） .5. 用计算器求出下列三角函数的值，并填入下表： 10 20 30 40 50 60 70 80sin cos tan 从上面的表
43、格中，你能发现哪些规律？与同伴进行交流.26D10 mABC（第 4 题）373用计算器求锐角的三角函数值如图 2-14，在 RtABC 和 RtDEF 中，ACB =DFE = 90 .（1）若BCAB =EFDE ，则A =D 吗？（2）若ACAB =DFDE ，则A =D 吗？（3）若BCAC =EFDF ，则A =D 吗？由此你能得到什么结论？议一议DFEBCA图 2-14已知锐角 A，我们可以求出A 的三角函数值. 反过来，已知锐角 A 的三角函数值，我们能求出A 的度数吗？与同伴进行交流.想一想做一做为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥两端修建了 40 m 长的斜
44、道（如图 2-15） . 这条斜道的倾斜角是多少？如图 2-15，在 RtABC 中，sin A = BCAC = 1040 = 14，那么A 是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.ABC40 m10 m图 2-1538第二章直角三角形的边角关系已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和 键.按键顺序计算结果sin A = 0.981 678.991 840 39cos A = 0.860 730.604 730 07tan A = 0.189 010.702 657 49 tan A = 56.7888.991 020 49上表的计算结果
45、是以“度”为单位的，再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果. 用“度、分、秒”为单位表示角度时，本书中如果没有特别说明，结果一般精确到1 .你能求出图 2-15 中A 的大小吗？例1 如图 2-16，工件上有一 V 形槽（AC = BC），测得它的上口宽 20 mm，深 19.2 mm，求 V 形角（ACB）的大小（结果精确到 1 ） .解：tanACD = ADCD = 1019.2， ACD27.5 ， ACB = 2ACD227.5 = 55 .ACBD图 2-16393用计算器求锐角的三角函数值皮肤器官肿瘤9.8 cmCBA图 2-17例2 如图 2-17，一名患者体内某重要器官
46、后面有一肿瘤. 在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤. 已知肿瘤在皮下 6.3 cm 的 A 处，射线从肿瘤右侧 9.8 cm 的 B 处进入身体，求射线与皮肤的夹角.解：如图 2-17，在 RtABC 中，AC = 6.3 cm，BC = 9.8 cm，所以 tan B = ACBC = 6.39.8.所以 B32 44 7 .因此，射线与皮肤的夹角约为 32 44 7 .随堂练习1. 根据下列三角函数值求锐角 的大小： （1）sin = 0.829 1； （2）cos = 0.785 7； （3）tan = 30； （4）tan =45 .2
47、. 一梯子斜靠在一面墙上. 已知梯长 4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5 m，求梯子与地面所成的锐角.习题 2.5知识技能问题解决1. 根据下列三角函数值求锐角 的大小： （1）tan = 2.988 8； （2）sin = 0.395 7； （3）cos = 0.785 0； （4）tan = 0.897 2； （5）sin = 56； （6）cos = 38.2. 根据下列三角函数值求锐角 的大小： （1）sin = 25； （2）cos = 25； （3）tan = 25 .3. 一辆汽车沿着一山坡行驶了 1 000 m，其铅直高度上升了 50 m. 求山坡与水平面所成锐角的大小
48、.40第二章直角三角形的边角关系联系拓广4. 在 1 20 000 的平面地图上，量得甲、乙两地的直线距离为 1.5 cm，两地的实际高度相差 27 m，求甲、乙两地间的坡角.5. 用计算器求下列正切值对应的锐角 ，并填入下表：tan 0.512345102050 从上面的表格中，你能发现哪些规律？与同伴进行交流.6. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中 OA0 = 1，A0 A1 = A1 A2 = = A5 A6 = 1，每个三角形都以点 O 为一顶点. （1）求A0 OA1，A1 OA2，A2 OA3的大小； （2）已知An - 1OAn 是第一个小于 20 的角，求 n
49、的值.A6O1111111A5A4A3A2A1A0（第 6 题）解直角三角形解直角三角形4在生产实际和科学研究中，经常需要求出线段的长度或角的大小，这类问题有些可以归结为求一个直角三角形的边长或锐角的大小.想一想如图 2-18，在 RtABC 中，有三条边 a，b，c 和三个角A，B，C. 除C = 90 外，其余五个元素之间有哪些等量关系？至少知道几个元素，就可以求出其他的元素？CBAcba图 2-18414解直角三角形在图 2-18 中，C 为直角，可得下列边角关系：（1）锐角之间的关系：A +B = 90 ；（2）三边之间的关系：a2 + b2 = c2；（3）角与边之间的关系： sin
50、 A = cos B = ac，cos A = sin B = bc，tan A = ab，tan B = ba .利用上面这些关系，如果知道直角三角形中的两个元素（其中至少一个是边） ，就可以求出其他元素. 由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.例1 如图 2-19，在 RtABC 中，已知C = 90 ，a = 4，c = 8. 解这个直角三角形.解：在 RtABC 中，a2 + b2 = c2，a = 4，c = 8，b =c2 - a2 =82 - 42 = 4 3.sin A = ac = 48 = 12，A = 30 .B = 90 - 30 =
