1、定价：6.76元义务教育教科书 （五四学制） 数学 九年级 下册价格批准文号：鲁发改价格核（2022）008007举报电话：12358绿 色 印 刷 产 品YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WU-SI XUEZHI）SHUXUEJIU NIANJI XIA CE义务教育教科书（五四学制）数学九年级 下册*山东出版传媒股份有限公司山东教育出版社出版（济南市市中区二环南路2066号4区1号）山东新华书店集团有限公司发行山东新华印务有限责任公司印装*开本：787毫米1092毫米 1/16印张：7 字数：140千定价：6.76元（上光）ISBN978-7-5328-8580-02014年1
2、0月第1版 2021年11月第8次印刷著 作 权 所 有 请 勿 擅 用 本 书 制 作 各 类 出 版 物 违 者 必 究山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话： （0531 ）82098188亲爱的同学：祝贺你迎来了义务教育阶段的最后一个学期！将近九年的数学学习生活，一定在你的脑海里留下了深刻的印记：学到了许多数学知识和数学方法；能够进行一些探索性的数学活动，解决一些基本的数学问题和简单的“非数学”问题这些都是你数学学习成果的体现。那么，对你来说，数学是什么？ 你现在有怎样的认识？数学有什么作用？ 你能够给出一些生动而富有创意的案例吗？相信你在九年的数学学习生活结束时，会自豪地说：
3、“数学使我变得更聪明！ ”在本册教科书中，我们将要继续领略数学的美妙，探索数学的奥秘首先你会接触到“圆” ，它是我们熟悉而又神秘的平面图形，用你所擅长的思路和方法去探索它的性质，了解它与你所熟悉的平面图形之间的关系。诸如圆的对称性、圆心角与圆周角的关系、直线与圆的位置关系、正多边形与圆的关系等。另外，对概率的进一步研究，会使我们对随机现象有更深刻的认识。你将充分感受到身边存在大量的数学，甚至游戏中也有数学，并再一次地意识到：原来学数学不一定是很“枯燥”的事情。自己想一想、做一做，与同伴们议一议，读一读教科书，听一听老师的讲解，并在日常生活中尝试使用数学。如果你有兴趣，不妨去看看书中的“读一读”
4、 ，研究“综合与实践” ，尝试做做带“”的题目。事实上，对数学了解得越多，你就越能体会到它的意义与趣味。相信你一定能够学好数学，一定能够在生活中用上数学！ 2 7 14 18 25 32 42 45 53 56 60 60MULU目 录第五章 圆1 圆2 圆的对称性*3 垂径定理4 圆周角和圆心角的关系5 确定圆的条件6 直线和圆的位置关系*7 切线长定理8 正多边形和圆9 弧长及扇形的面积10 圆锥的侧面积回顾与思考复习题第六章 对概率的进一步认识1 用树状图或表格求概率2 生活中的概率*3 用频率估计概率回顾与思考复习题 68 78 80 87 88 91 94 98 101综合与实践哪种
5、方式更合算综合与实践统计活动视力的变化综合与实践折纸与数学总复习题第五章 圆学习 目 标 认识圆及其相关概念，发展空间观念 经历探索圆及其相关结论的过程，发展推理能 力，进一步积累研究几何图形的活动经验 用所学的知识解决日常生活中与圆有关的问题为什么车轮要做成圆形？你能利用直角尺检查某些工件是否半圆形吗？用一张三角形的纸片，你能裁出一个尽可能大的圆吗？与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形本章将运用我们以前学习过的对称、平移、旋转以及推理等方法研究圆的有关性质，并利用这些知识解决一些实际问题 2第五章圆1圆（1）为什么车轮都做成圆形？车轮能否做成正方形或矩形？（2）如图 5-1，A，B 是
6、车轮边缘上的任意两点，点 O 是车轮的轴心，点 A，O 之间的距离与点 B，O 之间的距离有什么关系？（3）想一想，你在生活中还见过哪些圆的形象？它们有哪些共同的特征？（4）如图 5-2，在平面内，线段 OA 绕它固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所描出的封闭曲线是什么图形？前面我们已经认识了圆. 事实上，圆还可以看成是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 其中，定点就是圆心，定长就是半径. 以点 O 为圆心的圆记作O，读作“圆 O ” . 半径相等的两个圆叫做等圆. 两个等圆能够重合.想一想如图 5-3，O 的半径为 r，点 A，B，C，D，E 的位置如图所示. 图 5-2
7、图 5-11圆3做一做（1）你能说明这些点分别与 O 有怎样的位置关系吗？（2）点 A，B，C，D，E 到圆心 O 的距离分别与 O 的半径有怎样的大小关系？（3）如果点 P 和 O 都在同一平面内，那么点 P 与 O 可能有哪几种位置关系？（4）你能根据点 P 与 O 的位置关系，确定点 P 到圆心 O 的距离 d 与 O 的半径 r 的大小关系吗？反过来，你能根据 d 与 r 的大小关系，确定点 P 与 O 的位置关系吗？在平面内，点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.图 5-3当点在圆外时，d r；反过来，当 d r 时，点在圆外.当点在圆上时，_；反过来，当 _ 时，点
8、在圆上.当点在圆内时，_；反过来，当 _ 时，点在圆内.设 AB = 3 cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点 A 和点 B 的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形. （2）到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形.例 如图 5-4，在 ABC 中，ACB = 90 ，AC = 2，BC = 4，CM 是 AB 边上的中线. 以点 C 为圆心，以 5 为半径作圆，试确定 A，B，M 三点分别与 ABCODEr4第五章圆随堂练习C 有怎样的位置关系，并说明你的理由.解：在ABC 中，ACB = 90 ，AC = 2，BC = 4， AB = AC2 + BC2
9、 = 22 + 42 = 2 5. CM 是 AB 边上的中线， CM = 12AB = 1225 = 5 . CA5，CB 5，CM = 5， 点 A 在 C 内，点 B 在 C 外，点 M 在 C 上.1. 体育老师想利用一根 3 m 长的绳子在操场上画一个半径为 3 m 的圆，你能帮他想想办法吗？2. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，以顶点 A 为圆心，作一个半径为 1 的圆. 分别指出正方形 ABCD 的顶点 A，B，C，D 与 A 的位置关系.3. 小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为 4 m 以内，4 5 m，5 6 m，6 7 m，7 m 以外几个区域. 小明投了 5.2
10、m，小华投了 6.7 m，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？（第 3 题）读一读车轮为什么是圆的圆是一种美丽的图形春秋战国时期，墨翟在其所著墨经一书中就曾明确指出： “圜，一中同长也 ”意思是说：圆，只有一个圆心，由圆心到圆周的长都相等圆在日常生活中的应用非常广泛，如车轮、方向盘、光盘等相传，英国的亚瑟王用圆桌宴请骑士，就是因为圆形桌子不易区分上、下席，所以每位骑士都是贵宾餐厅的餐桌大多做成圆形，月饼也大都做成圆形，这些都象征圆满、团圆、和谐毕达哥ACBM图 5-41圆5拉斯曾经说过： “一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”在日常生活中，我们见到的车轮都是圆形的，它们可
11、以在平地上平稳地滚动中国古时候就造出了装有圆形车轮的车辆. 为什么车轮要做成圆形的呢？观察图 5-5，车辆在平坦的地面上行驶时，车轮的中心与地面的距离总是不变的，这个距离等于车轮的半径如果把车厢装在过轮子中心的车轴上，那么车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳试想一下，如果车轮不是圆的，而是正六边形的（如图 5-6） ，或是正三角形的（如图 5-7） ，那么坐在车上的人会感觉到颠簸如果要保证正三角形的车轮平稳地滚动，那么地面应设计成如图 5-8 所示的形状图 5-5图 5-6图 5-7图 5-86第五章圆4. 设 AB = 3 cm，作图说明：到点 A 的距离小于 2 cm，且到
12、点 B 的距离大于 2 cm 的所有点组成的图形5. 如图是一张靶纸靶纸上的 1，3，5，7，9 分别表示投中该靶区的得分数小明、小华、小红 3 人各投了 6 次镖，每次镖都中了靶最后他们是这样说的小明说： “我只得了 8 分.”小华说： “我共得了 56 分.”小红说： “我共得了 28 分.”他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来） ；如果不可能，请说明理由知识技能数学理解习题 5.11. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，作一个半径为 4 的圆，O 与坐标轴分别交于点 A，B，C，D. 求点 A，B，C，D 的坐标.（第 2
13、题）5 m小羊2. 如图，一根 5 m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动） ，请画出羊的活动区域3. 点 P 是 O 所在平面内的一点，O 的面积为 25 . （1）若 PO = 5.5，则点 P 在_； （2）若 PO = 4，则点 P 在_； （3）若 PO = _，则点 P 在 O 上.（第 1 题）（第 5 题）1 3 5 7 9 7 5 3 1AOCDByx2圆的对称性7（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上面这个问题的？与同伴进行交流.利用折叠的方法，我们可以发现圆具有下面的特性 .2圆的对称
14、性图 5-9圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.我们知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord） ，经过圆心的弦叫做直径（diameter） . 如图 5-10，以 A，B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” ；线段 AB 是 O 的一条弦，弦 CD 是 O 的一条直径.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧，每一条弧都叫做半圆（semicircle） .做如下实验：如图 5-11，在两张透明纸上，分别作半径相等的 O 和 O ，把两张纸叠在一起，使 O 与 O 重合，然后
15、固定圆心. 弧包括优弧（superior arc） 和劣弧（inferior arc） ：大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 如图 5-10 中，以 A，D 为端点的弧有两条：优弧 ACD（记作 ACD） ，劣弧 ABD（记作 AD） . 图 5-108第五章圆做一做在图 5-12 的等圆 O 和 O 中，分别作相等的圆心角AOB 和A O B ，将两圆重叠，然后固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA 重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.将其中一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？利用旋转的方法可以发现：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的
16、图形重合.圆是中心对称图形，对称中心为圆心 .图 5-11小颖认为 AB = A B ，AB = A B . 她是这样想的： 半径 OA 与 O A 重合，AOB = A O B ， 半径 OB 与 O B 重合. 点 A 与点 A 重合，点 B 与点 B 重合， AB 与 A B 重合，弦 AB 与弦 A B 重合. AB = A B ，AB = A B .她的想法正确吗？与同伴进行交流.图 5-12 2圆的对称性9例1 如图 5-13，在 O 中，AB，CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别是点 E，F. （1）如果AOB = COD，那么OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
17、（2）如果 OE = OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？解： （1）OE = OF. 理由如下：AOB = COD， AB = CD. OEAB，OFCD，OA = OB，OC = OD， AE = 12AB，CF = 12CD. AE = CF.又OA = OC， RtOAE RtOCF. OE = OF.（2）AB = CD. 理由如下： OA = OC，OE = OF， RtOAE RtOCF. AE = CF.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么这两个圆心角相等吗？它们所对的弦相等吗？你是怎么想的？
18、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.想一想图 5-13 10第五章圆在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流.议一议随堂练习1. 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例.2. 利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形 .3. 已知 A，B 是 O 上的两点，AOB = 120 ，C 是 AB 的中点. 试确定四边形 OACB 的
19、形状，并说明理由.知识技能习题 5.21. 如图， A， B， C， D 是 O 上的四点， AB = DC. AC 与 BD 相等吗？ 为什么？又OEAB，OFCD，OA = OB，OC = OD， AE = 12AB，CF = 12CD. AB = CD. AB = CD.2. 如图，AB，DE 是 O 的直径，C 是 O 上的一点，且 AD = CE. BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？（第 1 题）（第 2 题）2圆的对称性11数学理解（1）1 平角等于多少度？1 周角等于多少度？（2）把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角的度数是多少？整个圆被等分成多少份？把
20、整个圆等分成 360 份，每一份这样的弧叫做 1 的弧.想一想议一议（第 4 题）3. 如图，AB 是 O 的直径，ODAC. CD 与 BD 的大小有什么关系？为什么？4. 如图，AB 是半圆的直径，E 是 OA 的中点，F 是 OB 的中点，MEAB，NFAB，垂足分别是点 E，F. AM，MN，NB 的大小有什么关系？为什么？（第 3 题）AOBDC（1）1 的圆心角所对的弧的度数是多少？反过来，1 的弧所对的圆心角的度数是多少？（2）n 的圆心角的度数与它所对的弧的度数（如图 5-14）有怎样的关系？1 的圆心角1 的弧n 的弧n 的圆心角图 5-14O12第五章圆例2 如图 5-15
21、，在 O 中，已知弦 AB 所对的劣弧为圆的 13，O 的半径为 R，求弦 AB 的长 .解：由题意可知，AB 的度数为 120 . AOB = 120 . OA = OB， OAB = OBA = 30 .作 OC AB，垂足为点 C，则 OC = 12OA = R2. AC = OA2 - OC2 =R2 -（R2）2 = 32R . AB = 2 AC = 2 32R = 3R .例3 如图 5-16，已知 AB，CD 为 O 的两条直径，弦 CEAB，BOD = 110 ，求 CE 的度数 .解：连接 OE . BOD = 110 ， BOC = 70 . CEAB， C = 70 .
22、 OC = OE， E =C = 70 . COE = 180 -C -E = 40 . CE 的度数为 40 . 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.图 5-15图 5-162圆的对称性13随堂练习知识技能数学理解习题 5.31. 在 O 中，已知弦 AB = 4 3 cm，OA = 4 cm，求弦 AB 所对的两条弧的度数.2. 如图，已知 AB，CD 是 O 的两条直径，弦 CEAB，CE 的度数为 80 . 求AOD 的度数 .已知 AB 和 CD 分别是 O1 和 O2 的弧. 试判断下列说法是否正确，并简要说明理由.（1）如果 AB 的度数 = CD 的度数，那么 AO1B = C
23、O2D；（2）如果 AB 的度数 = CD 的度数，那么 AB = CD； （3）如果 AB = CD ，那么 AB 的度数 = CD 的度数. 3. 如图，已知点 C 是 O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，使 CD = CO. 若 AD 的度数为 40 ，求 BE 的度数.（第 2 题）ABDOCE（第 3 题）ABEOCD14第五章圆已知：如图 5-18 ，AB 是 O 的一条弦，CD 是 O 的一条直径，并且CDAB，垂足为点 M求证：AM = BM，AC = BC，AD = BD证明：连接 OA，OB，则 OA = OB在等腰三角形 OAB 中， OM AB， AM =
24、 BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称，*3垂径定理做一做如图 5-17，AB 是 O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为点 M（1）图 5-17 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧图 5-17OBAMCDOMBCAD图 5-18*3垂径定理15 当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，AC 与 BC 重合，AD 与 BD 重合 AC = BC，AD = BD如图 5-19，AB 是 O 的弦（不是直径） ，作一条平分 AB 的直径
25、 CD，交 AB 于点 M想一想（1）图 5-19 是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由OMBCAD图 5-19例 如图 5-20，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD，点 O 是 CD 的圆心） ，其中 CD = 600 m，E 为 CD上一点，且 OECD，垂足为点 F，EF = 90 m求这段弯路的半径解：连接 OC设弯路的半径为 R m，则 OF =（R - 90）m OECD， CF = 12CD = 12 600 = 300（m） 根据勾股定理，得平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧OECDF图 5-201
26、6第五章圆随堂练习知识技能习题 5.4OC2 = CF2 + OF2,即R2 = 3002 +（R - 90）2解这个方程，得 R = 545所以，这段弯路的半径为 545 m1. 1400 多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥（如图） ，它的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为 37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到 0.1 m） 2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（第 1 题）1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”
27、转化为现在的数学语言就是：如图，CD 为 O 的直径，弦 ABCD，垂足为点 E，CE = 1 寸，AB = 10 寸，求直径 CD 的长OCEABD（第 1 题）CBOARD37.47.2*3垂径定理172. 如图，已知 O 的半径为 30 mm，弦 AB = 36 mm，求点 O 到 AB 的距离及OAB 的余弦值3. 如图，两个圆都以点 O 为圆心，小圆的弦 CD 与大圆的弦 AB 在同一条直线上，你认为 AC 与 BD 的大小有什么关系？为什么？OAB（第 2 题）数学理解4. 如图，M 为 O 内一点，画一条弦 AB，使 AB 过点 M，并且 AM = BMOACD BOM（第 3
28、题）（第 4 题）18第五章圆在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置对球门的张角（如图 5-21中的ABC） 有关 . 就角度大小而言，球员在 B，D，E 中的哪一个点处射门更容易些？还是都一样？（1）请你画出几个 AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴交流（2）这些圆周角与圆心角AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴交流4圆周角和圆心角的关系在图 5-22 中，点 A，B，D，E，C 在同一个圆上 . 当球员分别在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角ABC，ADC，AEC. 观察可以发现，这三个角的顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分
29、分别是圆的弦. 像这样的角，叫做圆周角（angle in a circular segment） .上面的问题就是要研究同一条弧（AC）所对的圆周角（ABC，ADC，AEC）之间的大小关系. 做一做图 5-22 图 5-21 ABDEC如图 5-23 ，在 O 中，AOB = 80 OAB图 5-23194圆周角和圆心角的关系已知：如图 5-24， ACB 是 AB 所对的圆周角， AOB 是 AB 所对的圆心角求证：ACB = 12AOB分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心 O 在 ACB 的一条边上，如图 5-24（1） ；（2）圆心 O 在 ACB 的内部，如图
30、5-24（2） ；（3）圆心 O 在 ACB 的外部，如图 5-24（3） 议一议在图 5-23 中，改变 AOB 的度数，上面的结论仍然成立吗？圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半在三种位置关系中，我们选择第（1）种情况给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明证明：圆心 O 在 ACB 的一条边上，如图 5-24（1） AOB 是 AOC 的外角， AOB = CAO + ACB OA = OC， CAO = ACB（1） （2） （3）图 5-24OABCOABCOABC20第五章圆 AOB = 2ACB，即 ACB= 12AOB在得出本节结论的过程中， 你用到
31、了哪些方法？ 请举例说明， 并与同伴交流做一做你能将图 5-24（2）和图 5-24（3） 这两种情况分别转化成图 5-24（1）的情况去解决吗？做一做，并与同伴交流由圆周角定理，我们还可以得到下面的结论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.你能解决射门游戏中的问题了吗？当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门柱 A，C 形成的三个张角ABC，ADC，AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？同弧或等弧所对的圆周角相等.议一议1. 如图，在 O 中，BOC = 50 ，求BAC 的度数 .随堂练习（第 1 题）（第 2 题）想一想214圆周角和圆心角的关系2. 如图，在
32、 O 中，A = 40 ，求OBC 的度数.知识技能数学理解习题 5.5 （1）如图 5-25，BC 是 O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？1. 如图，点 A，B，C，D 在同一个圆上，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E . 在图中标出的 8 个角中，哪些是相等的角？2. 如图，OA，OB，OC 都是 O 的半径，AOB = 2BOC. ACB 与BAC 的大小有什么关系？为什么？3. 如图，A，B，C，D 是 O 上的四个点， 且BCD = 100 ， 求BOD（ BCD 所对的圆心角）和BAD 的度数.4. 为什么有些电影的座位排列（横排）呈圆弧形？说
33、一说这种设计的合理性.（第 2 题）（第 1 题）（第 3 题）想一想1234567822第五章圆 （2）如图 5-26，圆周角BAC = 90 ，弦 BC 是直径吗？为什么？直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径.例 如图 5-27（1） ，在ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D. BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？解 ：BD = CD. 理由如下：如图 5-27 （2） ，连接 AD. AB 是 O 的直径， ADB = 90 . ADBC.又 AC = AB， BD = CD.图 5-27轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定
34、轮船是否会遇到暗礁. 做一做（1）（2）图 5-26图 5-25234圆周角和圆心角的关系（1）当轮船与两个灯塔的夹角 大于“危险角”时，轮船位于哪个区域？为什么？（2）当轮船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，轮船位于哪个区域？为什么？1. 如图，O 的直径 AB = 10 cm，C 为 O 上的一点，ABC = 30 ，求 AC 的长 .随堂练习（第 1 题）（第 2 题）图 5-282. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形. 如图，你能判断哪个是半圆形？为什么？如图 5-28，A，B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A，B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，ACB 就是“危
35、险角” ，当轮船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.（1）（2）（3）（4）24第五章圆知识技能习题 5.6数学理解3. 如图，C，D 为半圆上的两点，且 BD = DC，连接 AC 并延长，与 BD 的延长线相交于点 E . 写出图中相等的线段，并说明理由.ABCDO（第 3 题）BADC（第 1 题）（第 4 题）BDEACO（第 2 题）2. 如图，AB 是 O 的直径，ACD = 15 ，求BAD 的度数4. 如图，AB，DE 是 O 的直径，ACDE，AC 与 O 相交于点 C. BE 与 EC 的 大小有什么关系？为什么？1. 如图，在ABC中，BAC90 ，B60 ，
36、AB2，以 AB 为直径的圆与 BC 相交于点 D . 求 AD 和 CD 的长.255确定圆的条件经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线. 那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？5确定圆的条件（2）作圆，使它经过已知点 A，B. 你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？（3）作圆，使它经过已知点 A，B，C（A，B，C 三点不在同一条直线上） . 你是如何做的？你能作出几个这样的圆？利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法如下：作 法图 示 （1）连接 AB，BC .做一做（1）作圆，使它经过已知点 A. 你能作出几个
37、这样的圆？图 5-30图 5-2926第五章圆作 法图 示 （2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O . （3）以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆. O 就是所要求作的圆 .说说以上作法的道理.在上面的作图过程中，点 O 是线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG 的交点，它到 A，B，C 三点的距离相等. 因为直线 DE 和 FG 有且只有一个交点 O，所以经过 A，B，C 三点能且只能作一个圆 .不在同一条直线上的三个点确定一个圆 .因此，三角形的三个顶点确定一个圆. 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆（circumcircle
38、 of triangle） ，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter） . 这个三角形叫做这个圆的内接三角形（inscribed triangle） . 如图 5-31，O 就是ABC 的外接圆，圆心 O 就是ABC 的外心，ABC 是 O 的一个内接三角形. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等 . 图 5-31ACBO想一想你能设法确定一张圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴交流.续表275确定圆的条件已知下面三个三角形，分别作出它们的外接圆. 你发现它们的外心的位置分别有什么特点？随堂练习锐角三角形直角三角
39、形钝角三角形读一读运用指令操作计算机数学中有公理，也有定理，这些规则一方面能够帮助我们把握事情的规律，而另一方面似乎也会使我们感觉数学有些刻板、烦琐这是数学中独有的吗？其实不然，规则和定理我们平时都在讲、都在用例如，与我们生活紧密联系的计算机就特别守规则、讲道理一些软件可以根据给出的指令画圆以几何画板为例，如何利用它画一个确定的圆呢？当使用作图菜单时，你会发现所有与画圆相关的条目都是灰色的为什么呢？因为计算机没有得到规则，不知道你想在哪里画、画多大的圆，所以它拒绝完成那么你可以用如下方法画圆：直接使用画圆工具，只要以一点为圆心通过拖拽就可以确定半径长，从而画出一个圆先画出两点，再选中它们，执行
40、作图命令里的“过圆心和圆周上点绘圆” ，也可以画圆给出点和线段长，选中它们，执行作图命令里的“以圆心和半径绘圆” （如图） ，可以画出指定半径的圆28第五章圆没有条件约束是不能确定一个圆的用什么样的条件就可以确定一个圆呢？相信通过本节课的学习你已经心中有数了想在几何画板上试一试吗？知识技能数学理解习题 5.71. 草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等三个放牧点的位置如图所示，那么如何确定定居点的位置？2. 已知 AB = 4 cm，以 3 cm 长为半径作圆，使它经过点 A 和点 B这样的圆能作出几个？3. 经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆？
41、举例说明4. 如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？如图 5-32，四边形 ABCD 的四个顶点都在O 上，我们说四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，O 是四边形 ABCD 的外接圆. 一般地，如果一个多边放牧点 2放牧点 1放牧点 3（第 1 题）AMBN（第 4 题）295确定圆的条件形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆. （1）如图 5-32，在 O 的内接四边形 ABCD 中，A 与C，B 与D 分别是它的两组对角. A 所对的弧是哪条弧？C 所对的弧是哪条弧？（2
42、）A 与C 所对的两条弧的度数之和是多少？由此你发现A 与C 有怎样的数量关系？B 与D 呢？已知：如图 5-32，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形.求证：A + C = 180 ，B + D = 180 .证明：在图 5-32中， A 的度数 = BCD 的度数的一半， C 的度数 = BAD 的度数的一半， BCD 的度数 + BAD 的度数 = 360 ， A + C = 180 .同理，B + D = 180 .议一议图 5-32圆内接四边形的对角互补.在图 5-32 中，延长 BC 到点 E，便得DCE （如图 5-33） . DCE 是四边形 ABCD 的一个外角，A 称为D
43、CE 的内对角. DCE 与A 的大小有什么关系？为什么？想一想图 5-3330第五章圆知识技能习题 5.81. 在圆内接四边形 ABCD 中，A ： B ： C = 2 ： 3 ： 4，求D 的度数.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.例 如图 5-34，ABC 的外角BAM 的平分线与它的外接圆相交于点 E，连接 BE，CE. 试判断 BE 与 CE 是否相等，并说明理由.解：BE =CE. 理由如下：在图 5-34 中， EAM 是圆内接四边形 AEBC 的外角， EAM =EBC . ECB =EAB，EAM =EAB， ECB =EBC . EB = EC.图 5-341.
44、如图，在 O 中，BOD = 80 ，求 BAD 和 BCD 的度数随堂练习2. 如图，AB 为半圆的直径，点 C，D 在半圆上，且 AD = CD，B = 50 ，求A，C 的度数 .3. 试说明圆内接平行四边形是矩形 .ABCDO（第 2 题）（第 1 题）315确定圆的条件数学理解4. 如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB ，垂足为点 E，G 是 AC 上的任意一点，AG，DC 的延长线相交于点 F. FGC 与AGD 的大小有什么关系？为什么？5. 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A = 60 ，B = 90 ，AB = 2，CD = 1. 求 BC 的长 .6. 如图，
45、O1 与 O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在 O1 上点C 是 AO2B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合） ，AC 的延长线交O2 于点 P，连接 AB，BC，BP.（1）根据题意将图形补充完整；（2）当点 C 在 AO2B 上运动时，图中大小不变的角有哪些？ （将符合要求的角都写出来）（第 5 题）（第 4 题）ABCFEDO（第 3 题）2. 在圆内接四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，BCD = 80 ，求四边形 ABCD 其他三个角的度数.3. 如图，分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边，延长线相交于点 E，F，若E = 40 ，F = 60 ，求A 的度数
46、（第 6 题）ABO1O232第五章圆（1）观察上面的三幅照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？（2）作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？可以发现，直线和圆有三种位置关系：（1）当直线和圆有两个公共点时（如图 5-35（1） ） ，我们说直线和圆相交，两个公共点叫做交点 .6直线和圆的位置关系（2）当直线和圆有唯一公共点时（如图 5-35（2） ） ，我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线（tangent line） ，这个唯一的公共点叫做切点（point of tangency ） . （3）当直线和圆没有公共点时（如图 5-35（3） ） ，我们说
47、直线和圆相离.图 5-35议一议你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？与同伴进行交流.（1）（2）（3）6直线和圆的位置关系33如图 5-35，当直线 l 分别与 O 相交、相切、相离时， 圆心 O 到直线 l 的距离 d 与 O 的半径 r 的大小分别有什么关系？你能根据 d 与 r 的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？想一想当直线和圆相交时，d r；反过来，当 d r，C 与 AB 相离；当 r = 4 cm 时，d r，C 与 AB 相交 .对于例 1（1） ，你还有其他解法吗？图 5-3634第五章圆知识技能数学理解习题 5.91. 如图，在直角坐标系中，A 的半径为 2，点
48、 A（a，0）在 x 轴上移动.随堂练习已知一条直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，求 r 的取值范围. （1）当 A 与 y 轴相离时，a 的取值范围是_； （2）当 A 与 y 轴相切时，a 的取值范围是_； （3）当 A 与 y 轴相交时，a 的取值范围是_.2. 在 RtABC 中，C = 90 ，B = 30 ，O 是 AB 上的一点，OA = m，O 的半径为 r，当 r 与 m 满足怎样的关系时： （1）直线 AC 与 O 相交？ （2）直线 AC 与 O 相切？ （3）直线 AC 与 O 相离？3. 用如下方法可以估测河流的大致宽度：如图，
49、观测者站在岸边 O 处投下一块石头，激起的半圆形波纹逐渐向远处扩展，当波纹刚好抵达对岸时，另一观测者记录下波纹沿着观测者所在岸边所扩展的距离，这一距离就是河流的大致宽度请说明这种方法的合理性（第 1 题）（第 3 题）yxA（a，0）OO6直线和圆的位置关系35 （1）图 5-35 中的三个图形都是轴对称图形吗？如果是，你能分别画出它们的对称轴吗？ （2）如图 5-37，直线 CD 与 O 相切于点 A，半径 OA 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一说你的理由.议一议对于（2） ，小颖和小明都认为半径 OA 垂直于直线 CD .OA 与 CD 要么垂直，要么不垂直. 假设 OA 与 CD 不
50、垂直，过圆心 O 作直线 CD 的垂线段 OM（如图 5-38） ，即 OMCD，垂足是点 M，则 OM 60%，降水概率小的地方下雨了，降水概率大的地方当然也要下，所以上海一定会下雨.“明天降雨”是一个随机事件，明天北京的降水概率是 60%，上海的降水概率是 80%，只是说明明天上海降雨的可能性比北京大，并不表示明天北京降雨了上海就一定会降雨. 如果明天北京降雨了而上海没有降雨，这只能说明可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生，这也正是随机事件发生的不确定性的体现.80第六章对概率的进一步认识习题 6.4数学理解1. 请举出一些日常生活中与概率有关的例子.2. 下列说法正确吗？谈
