1、 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁尺规作图系列丛书 【常规解答之点点圆问题】 1 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话 这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介： 解法基础：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“
2、热尔岗解法”、“庞斯列福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在常规解答讨论之列，比如：两条平行线点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路
3、或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出! 2019年7月于随州 【常规解答之点点圆问题】 2 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 目录 一PPP：求作一圆经过不共线的三点 3 二、LLL：求作一圆与不共点三线都相切 3 三、PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 3 四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 4 五、LLC：求作一圆与
4、两已知直线和已知圆都相切 6 六、PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 10 七、PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 11 八、PLC：求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 15 九、LCC：求作一圆与两定圆、一定直线都相切 17 十、CCC：求作一圆与三个已知圆都相切 19 简介及说明： Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。这里圆可以退化为点或线，把点看作是半径为零的点圆，把线看作是半径为无穷大的线圆。Apollonius问题就退化为：给定三个元素(点线圆)的一种组合，求作这个组合的切圆。具体的说就是，如果有定点的话，切圆就过这个定点，如果有定线、定圆
5、的话，切圆要与它们都相切。点P，线L、圆C的十种组合是： （1）PPP （2）LLL （3）PPL （4）PLL （5）LLC （6）PPC （7）PCC （8）PLC （9）LCC （10）CCC 阿波罗尼奥斯问题分了十大类，每类再按所给图形位置关系和解的数目，又可分若干情况，总体数目众多，其中一些比较简单，也有的难度较大。就解的数目而言，阿波罗尼奥斯问题有无解、退化解（退化为直线或点）、唯一解、两解乃至无穷多解等可能。本文只对一般情况进行梳理，用通法作图，特殊的位置关系可类推之。限于篇幅，本书不讨论、不证明，不作全部的解圆，未作出的解圆会注明作法的。 本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规
6、基本作图法也是一带而过。同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定： 1、红实线圆为目标解圆，红细线圆为正交圆或反演基圆。蓝绿黑实线圆为已知圆，蓝绿黑线为已知直线。细实线为重要线。 2、细虚直线、细虚圆为作图过程中的示意线。 3、圆的记法：(ABC)-表示过A、B、C三点的圆。 A(R)-表示以A为圆心，R为半径的圆。 示例，A(R-r)-表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，BC为半径的圆。 【常规解答之点点圆问题】 3 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 预备知识： 1、什么条件确定一个圆？ (1)、已知圆心和半径，可以确定一个圆。 (
7、2)、不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多，是重点)。 2、圆幂定理 (1)、割线定理：圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 (2)、共根心的多圆顺次相交时，积的传递性 (3)、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 (4)、切线长的传递性 【常规解答之点点圆问题】 4 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 3、怎么作目标圆上的点？ 阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆，这个切圆叫做解圆或目标圆。知道了目标圆上的三个不共线的点，就可作出目标圆。但在已知条件中，点的个数不够
8、三个，其它的点该怎么作呢？ (1)、割线定理的逆定理：若三三不共线的四点满足 PAPB=PCPD ， 则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)、结论：共根心的多圆顺次相交时，每一根割线上有两个交点，任意两割线上的四点共圆。(虚线圆为示例)。 (3)、ABC 的外接圆因某原因不能作出，圆心也不能作出。 求作一点 D，使 A、B、C、D 四点共圆。 作法： 如图，延长 BA 至 P，过 A、B 两点任作一圆O，过 P 点任作O 的一割线 PEF。作(CEF)交 PC 于 D，则 D 即是所求。 说明：这个作法使用的是(2)中的结论。这种作法是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“第四点作法”，为
9、了后面叙述方便。 【常规解答之点点圆问题】 5 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! (4)、切割线定理的逆定理：P 是O 外一点，PAB 是O 的割线。C 是O上的点。若 PC2=PAPB ，则 PC 是O 的切线。 (5)、结论：PM 是O1的切线，若 PN=PM，则直线 PN 是O2的切线。 (6)、一圆因某种原因不能知道圆心，过圆外一点求作此圆的切线。 说明：这个作法使用的是(5)中的结论。这种作法是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“切点作法”，也是为了后面的叙述方便。 【常规解答之点点圆问题】 6 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗
10、中的漫漫求索! 4、四点共圆的常用判定和性质： (1)、判定一：若ACB=ADB ，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定二：若ACB+ADB=180，则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)、性质一：四边形 ABCD 内接于圆，则对角互补，外角等于内对角。 5、相离两圆位似的性质： (1)、两圆的两条外公切线的交点叫做两圆的外位似中心，左图中的 P 是两圆O1、O2的外位似中心。过 P 作两圆的公割线 PBA，则 O1AO2B。 (2)、右图中不知道O1的圆心，已知两圆的外位似中心 P，作两圆的公割线 PBA，若 ACBO2 ，则 AC 与 PO2的交点是O1的圆心。 说明：此法在 LPP、LL
11、P、CLL 作图中常用，不妨把它叫做“位似作心法”。主要是为了后面叙述方便。 六、PPC：求作一圆，使它与已知圆相切并过圆外两已知点 已知：K及圆外两点A和B。 【常规解答之点点圆问题】 7 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 求作：过A和B作O，使它与K相切。 作法一： 作法：作(ABK)交K于E和F，直线EF、AB的交于S。以SK为直径的圆交K于M、N。则(ABM) 、(ABN)即为所求。 作法剖析： 目标圆上已有两个点A、B，还缺少一个点，这个点就是公共切点。于是用“切点作法”作出了切点M、N。其中S是目标圆和(ABK)的根心，SM、SN是K和目标圆的公切线
12、。 作法二：（热尔岗Gergonne法）要用到反演点、极点、根轴等作法，先把拙作解法基础中的图片复制过来。 【常规解答之点点圆问题】 8 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! =13唐诗五首 .docxpic1.gif部编版语文八年级上册教案13唐诗五首.docx2019-9524de4724-bc04-4506-a88a-16a9138bfa78clEuPlTSlcAD6mHc6Ru7u1iGEsqdFvOxapFl0Ch42ZDLlFhfbSwUjQ=部编版,语文,年级,上册,教案,13,唐诗977871401e764c34ec3448e3479f5205梹糏L
13、illian_Z0002000006其他文案201909051518491173610(伄匀怀榁伩伄讀缁缀怵節貔%戀茪部编版语文八年级上册教案 13唐诗五首 .docxpic1.gif部编版语文八年级上册教案13唐诗五首.docx2019-9524de4724-bc04-4506-a88a-16a9138bfa78clEuPlTSlcAD6mHc6Ru7u1iGEsqdFvOxapFl0Ch42ZDLlFhfbSwUjQ=部编版,语文,年级,上册,教案,13,唐诗977871401e764c34ec3448e3479f5205梹糏Lillian_Z0002000006其他文案201909051518491173610(伄匀怀榁伩伄讀缁缀怵節貔%頀h氀栀$荦部编版语文八年级上册教案 13唐诗五首 .docxpic1.gif部编版语文八年级上册教案13唐诗五首.docx2019-9524de4724-bc04-4506-a88a-16a9138bfa78clEuPlTSlcAD6mHc6Ru7u1iGEsqdFvOxapFl0Ch42ZDLlFhfbSwUjQ=部编版,语文,年级,上册,教案,13,唐诗977871401e764c34ec3448e3479f5205梹糏Lillian_Z0002000006其他文案20190905151849117361B0(伄
