1、 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁尺规作图系列丛书 【常规解答之点线线问题】 1 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 阿波罗尼奥斯问题之常规解答 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话 这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介： 解法基础：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“
2、热尔岗解法”、“庞斯列福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。 常规解答：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。 特款解法：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在常规解答讨论之列，比如：两条平行线点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。 名家解法：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路
3、或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。 需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出! 2019年7月于随州 【常规解答之点线线问题】 2 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 目录 一PPP：求作一圆经过不共线的三点 3 二、LLL：求作一圆与不共点三线都相切 3 三、PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 3 四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 4 五、LLC：求作一圆与
4、两已知直线和已知圆都相切 6 六、PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 10 七、PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 11 八、PLC：求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 15 九、LCC：求作一圆与两定圆、一定直线都相切 17 十、CCC：求作一圆与三个已知圆都相切 19 简介及说明： Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。这里圆可以退化为点或线，把点看作是半径为零的点圆，把线看作是半径为无穷大的线圆。Apollonius问题就退化为：给定三个元素(点线圆)的一种组合，求作这个组合的切圆。具体的说就是，如果有定点的话，切圆就过这个定点，如果有定线、定圆
5、的话，切圆要与它们都相切。点P，线L、圆C的十种组合是： （1）PPP （2）LLL （3）PPL （4）PLL （5）LLC （6）PPC （7）PCC （8）PLC （9）LCC （10）CCC 阿波罗尼奥斯问题分了十大类，每类再按所给图形位置关系和解的数目，又可分若干情况，总体数目众多，其中一些比较简单，也有的难度较大。就解的数目而言，阿波罗尼奥斯问题有无解、退化解（退化为直线或点）、唯一解、两解乃至无穷多解等可能。本文只对一般情况进行梳理，用通法作图，特殊的位置关系可类推之。限于篇幅，本书不讨论、不证明，不作全部的解圆，未作出的解圆会注明作法的。 本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规
6、基本作图法也是一带而过。同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定： 1、红实线圆为目标解圆，红细线圆为正交圆或反演基圆。蓝绿黑实线圆为已知圆，蓝绿黑线为已知直线。细实线为重要线。 2、细虚直线、细虚圆为作图过程中的示意线。 3、圆的记法：(ABC)-表示过A、B、C三点的圆。 A(R)-表示以A为圆心，R为半径的圆。 示例，A(R-r)-表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，BC为半径的圆。 【常规解答之点线线问题】 3 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 预备知识： 1、什么条件确定一个圆？ (1)、已知圆心和半径，可以确定一个圆。 (
7、2)、不共线的三点确定一个圆。(此法应用较多，是重点)。 2、圆幂定理 (1)、割线定理：圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 (2)、共根心的多圆顺次相交时，积的传递性 (3)、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 (4)、切线长的传递性 【常规解答之点线线问题】 4 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 3、怎么作目标圆上的点？ 阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆，这个切圆叫做解圆或目标圆。知道了目标圆上的三个不共线的点，就可作出目标圆。但在已知条件中，点的个数不够
8、三个，其它的点该怎么作呢？ (1)、割线定理的逆定理：若三三不共线的四点满足 PAPB=PCPD ， 则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)、结论：共根心的多圆顺次相交时，每一根割线上有两个交点，任意两割线上的四点共圆。(虚线圆为示例)。 (3)、ABC 的外接圆因某原因不能作出，圆心也不能作出。 求作一点 D，使 A、B、C、D 四点共圆。 作法： 如图，延长 BA 至 P，过 A、B 两点任作一圆O，过 P 点任作O 的一割线 PEF。作(CEF)交 PC 于 D，则 D 即是所求。 说明：这个作法使用的是(2)中的结论。这种作法是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“第四点作法”，为
9、了后面叙述方便。 【常规解答之点线线问题】 5 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! (4)、切割线定理的逆定理：P 是O 外一点，PAB 是O 的割线。C 是O上的点。若 PC2=PAPB ，则 PC 是O 的切线。 (5)、结论：PM 是O1的切线，若 PN=PM，则直线 PN 是O2的切线。 (6)、一圆因某种原因不能作圆心，过圆外一点求作此圆的切线。 说明：这个作法使用的是(5)中的结论。这种作法是阿波罗尼奥斯问题的常用作法，我们把它称作“切点作法”，也是为了后面的叙述方便。 【常规解答之点线线问题】 6 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中
10、的漫漫求索! 4、四点共圆的常用判定和性质： (1)、判定一：若ACB=ADB ，则 A、B、C、D 四点共圆。 判定二：若ACB+ADB=180，则 A、B、C、D 四点共圆。 (2)、性质一：四边形 ABCD 内接于圆，则对角互补，外角等于内对角。 5、相离两圆位似的性质： (1)、两圆的两条外公切线的交点叫做两圆的外位似中心，左图中的 P 是两圆O1、O2的外位似中心。过 P 作两圆的公割线 PBA，则 O1AO2B。 (2)、右图中不知道O1的圆心，已知两圆的外位似中心 P，作两圆的公割线 PBA，若 ACBO2 ，则 AC 与 PO2的交点是O1的圆心。 说明：此法在 LPP、LLP
11、、CLL 作图中常用，不妨把它叫做“位似作心法”。主要是为了后面叙述方便。 四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切。 已知：直线 l 、m相交于O，和两直线外一点A。 【常规解答之点线线问题】 7 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索! 求作：求作圆O1、圆O2过A点，且与l、m相切。 作法一： 1、在角平分线上任取一点P，作P与直线l、m相切。 2、作射线OA与P交点B、C 。过A作PB、PC的平行线分别交OP于O1、O2点。则O1(O1A)、O2(O2A)即是所求。 作法剖析： 此法为“位似求心法”，先作P 的目的是，使P 与O 位似，位似中心为 O。
12、然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”，来确定圆心Oi的位置。圆心 Oi定了，那么半径 OA 就定了，于是目标圆就可作出来了。 作法二：（解析作法） 1、 作直线 、 的角平分线 ，过 作 交 于 。m L OB A AC OB L C 2、 作以 为直径的圆与 交于 ，此时OC O(OA) E CE= O蝜娀C(佸匀挀榋怂佼佸讀缁缀砀恄節貔%頀h搀栀$怎样写入党申请书 怎样写思想汇报.docxpic1.gif怎样写入党申请书怎样写思想汇报.docx2019-86a7b4afdd-621f-4211-b84a-8303787db969dGNdtBz/lL+g1HHeAeelsfN2HAEMs
13、Om7mPR8/8PtR6axqYjTtTeLBA=怎样,入党,申请书,思想汇报9e8eafc0239d4c3f4d5aa82c81256e4f怎样写入党申请书 怎样写思想汇报怎样写入党申请书向党组织递交入党申请书，是申请入党人向党组织郑重地表达自己的政治选择的形式。每个要求入党的人都要写入党申请书。严格来说，入党申请书没有固定的格式，只要能把自己要求入党的愿望表达清楚就行。但在实际生活中，申请入党人写入党申请书一般应按以下格式和内容来进行：一、标题。一般在第一行正中写“入党申请书”。二、称谓。即申请入党人对党组织的称呼，一般在第二行顶格写“党支部”或“敬爱的党组织”，并加冒号。三、正文。这是
14、申请书的主要部分，一般写以下内容：1.为什么要入党；2.本人的基本情况；3.家庭主要成员和主要社会关系情况；4.怎样积极争取入党。四、结尾。正文写完后，一般另起一行，用“请党组织在实践中考验我”或“请党组织看我的实际行动”等作为结束语。结尾也可用“此致、敬礼”等词语。五、署名。在结尾的右下方要写上申请人的姓名，并注明申请的日期。写入党申请书应注意以下问题：1.写入党申请书之前，要认真学习党章和有关党的基本知识，了解党的性质、纲领、宗旨、任务，党员的权利和义务等，提高对党的认识，增强对党的感情，树立正确的入党动机。2.要紧密联系自己的思想实际谈对党的认识，向党组织交心，切忌只抄书抄报，不谈真实思想。3.要对党忠诚老实，如实向党组织说明自己的政治历史问题，以及家庭主要成员和主要社会关系中的问题，不得有任何的隐瞒和伪造。4.入党申请书一般应由本人书写，这样可以较准确地表达自己对党的认识和对党的思想感情。如因
