1、九年级数学 大培优1 1 7 第二十六章 反比例函数第1 9讲 反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.【板块一】 反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义: 一般地, 形如y=kx(k为常数,k0) 的函数, 叫做反比例函数, 其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=kx(k0) 或x y=k(k0) 或y=k x-1(k0).
2、题型一 根据定义判断反比例函数【 例1】 下列函数:y=x2;y=2x;y=-2x;y=12x;y=1x+2;y=1x-2;x y=2;y=2x-1,y=2x2.其中y是x的反比例函数的有 ( 填序号).【 解析】 .题型二 根据定义确定k值或解析式【 例2】 (1) 反比例函数y=-32x, 化为y=kx的形式, 相应的k=;(2) 函数y=kx中, 当x=2时,y=3, 则函数的解析式为 .【 解析】 (1)-32; (2)y=6x.题型三 根据定义确定待定系数的值【 例3】 (1) 如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数, 则m的值为;(2) 若函数y=(m+2)xm2-5(m为常数
3、) 是关于x的反比例函数, 求m的值及函数的解析式.【 解析】 (1)-1;(2)m=2,y=4x-1.1 1 8 针对练习11.下列函数中, 为反比例函数的是( B )A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=kx的形式后, 相应的k= -32 .3.若关于x的函数y=(m2-4)xm2-m-7是反比例函数, 求m的值.解:3.【板块二】 反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地, 对于反比例函数y=kx(k0) , 由函数图象, 并结合解析式, 我们可以发现:1.图象分布当k0时,x,y 同号 ( 同号或异号)
4、, 函数图象为第 一、 三 象限的两支曲线;当k0时, 在每一个象限内,y随x的增大而 减小 ;当k0时, 在每一个象限内,y随x的增大而 增大 .题型一 反比例函数的增减性【 例1】 在反比例函数y=1-8mx的图象上有两点A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 若x10y2, 则m的取值范围是( )A.m18B.m18C.m18D.m18【 解析】 A.根据条件x10 x2,y1y2, 可判断其图象位于二、 四象限,1-8m18.【 例2】 已知反比例函数y=-6x.(1) 画出这个反比例的图象;(2) 当-6x-2时,y的取值范围是;(3) 当|y|3时,x的取值范围是.【 解析】 (
5、1) 图略; (2)1y3; (3)-2x0或0 x2.九年级数学 大培优1 1 9 题型二 反比例函数的图象的对称性【 例3】 如图, 直线y=a x(a 0) 与双曲线y=kx(k 0) 交于A,B两点, 试说明A,B两点关于原点对称.【 解析】 联立y=a x,y=kx,得a x2-k=0,xA+xB=0, 过A,B两点分别作x轴的垂线,由全等即可得O A=O B,A,B两点关于原点对称.题型三 反比例函数的图象与系数的关系【 例4】 如图, 反比例函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的部分图象如图所示, 则k1,k2,k3,k4的大小关系是.【 解析】 k3k4k1k2)
6、 在第一象限内交于A,B两点, 若SO A B=2, 求k1-k2的值.【 解析】 延长A B交y轴于点C, 则SO A B=SO A C-SO B C=12k1-12k2= 2,k1-k2=4 .【 例6】 如图, 直线y=-12x与双曲线y=kx(k0) 交于A,B两点, 且点A的横坐标为-4.(1) 求k的值;(2) 过原点的另一直线交双曲线y=kx(k0) 于P,Q两点, 点P在第二象限.若A,B,P,Q四点组成的四边形面积为2 4, 求点P的坐标.【 解析】 (1)A(-4,2) ,k=-8;(2) 易知四边形A P B Q是平行四边形,SA P O=14S四边形A P B Q=6,
7、 过点A作ADx轴于点D, 过 点P作P Ex轴 于 点E,S四边形A D O P=SA D O+SA P O=S四边形A D E P+SP E O,SA D O=SP E O,SA P O=S四边形A D E P, 设P(a,-8a) , 则12(2-8a) (a+4)=6,a1=8,a2=-2,点P在第二象限,a0,a=-2,P(-2,4).1 2 0 针对练习21.对于反比例函数y=3x, 下列说法正确的是( D )A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、 四象限C.y随x的增大而减小D.x0时,y随x增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y=k x+1和函数y=kx(k0) 的
8、图象大致是( B )3.反比例函数y=a2-a+1x(a为常数) 的图象上有三个点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , 其中x1x20 x3, 则y1,y2,y3的大小关系是 y2y1y3 .4.如图, 点A是反比例函数y=kx(x0) 的图象上的两点.(1) 比较y1与y2的大小关系;(2) 若A,B两点在一次函数y=-43x+b位于第一象限的图象上( 如图所示) , 分别过A,B两点作x轴的垂线, 垂足分别为点C,D, 连接O A,O B, 且SO A B=8, 求a的值;(3) 在(2) 的条件下, 如果3m=-4x+2 4,3n=3 2x, 求使得mn的x的取值范
9、围.解: (1)A,B是反比例函数y=kx(k0) 图象上的两点,a0, 当a0时, 点A,B在第一象限, 由ay2, 同理,a0时,y10) 的图象上,A C=y1=ka,B D=y2=k2a,y1=2y2.又点A(a,y1) ,B(2a,y2) 在一次函数y=-43x+b的图象上,y1=-43a+b,y2=-83a+b,-43a+b=2(-83a+b) ,b=4a,SA O C+S梯形A C D B=SA O B+SB O D, 又SA O C=SB O D,S梯形A C D B=SA O B,12 (-43a+b)+(-83a+b) a=8,a2=4,a0,a=2;(3) 由(2) 得,
10、 一次函数的解析式为y=-43x+8, 反比例函数的解析式为y=3 23x,A,B两点的横坐标分别为2,4, 且m=-43x+8,n=3 23x, 因此使得mn的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围, 从图象可以看出2x4或x0) 与直线A B相交于点M, 与反比例函数的图象相交于N, 若MN=4, 求m的值.【 解析】 点M在直线A B上,M(m-42,m) ,点N在反比例函数y=6x的图象上, 所以N(6m,m) ,MN=xN-xM=6m-m-42=4或MN=xM-xN=m-42-6m=4,m0,m=2或m=6+4 3.题型二 反比例函数与不等式【 例3
11、】 如图, 一次函数y=-x+4与反比例函数y=mx(m0,x0) 的图象交于A,B两点, 与x轴,y轴分别相交于C,D两点.如果点A的横坐标为1, 利用函数图象求关于x的不等式4-xmx的解集.【 解析】 当x=1时,y=3,A(1,3) 代入y=mx, 得m=3,y=3x,联立y=4-xy=3x, 得B(3,1) ,原不等式的解集为0 x3.1 2 2 题型三 反比例函数与数形结合比较大小【 例4】 如图, 直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象相交于A(-3,a) 和B两点.(1) 求A,B两点的坐标;(2) 直接写出不等式kx2x+4的解集.【 解析】 (1)A(-3,-2) ,B
12、(1,6) ;(2)-3x0) 与直线y=-12x+4相交于A,B两点.(1) 当k=6时, 求点A,B的坐标;(2) 在双曲线y=kx(k0) 的同一支上有三点C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,P(x1+x22,y0) , 请你借助图象, 直接写出y0与y1+y22的大小关系;(3) 点M(x1,y1) ,N(x2,y2) 是双曲线y=6x(x0) 上任意两点,s=y1+y22,t=1 2x1+x2, 试比较s与t的大小.备用图【 解析】 (1)A(2,3) ,B(6,1) ;(2) 当x10时,y0y1+y22;当x1y1+y22.(3) 设 线 段MN的 中 点 为Q, 则 点Q的
13、 坐 标 为 (x1+x22,y1+y22) , 过点Q作Q Ry轴交双曲线于点R, 则点R的坐标为(x1+x22,1 2x1+x2) , 观察图象可知y1+y221 2x1+x2,st.【 例6】 当1x4时, 直线y= -2x+b与双曲线y=4x只有一个公共点, 则b的取值范围是 b=4 2或6b9 .【 解析】 当直线y=-2x+b过点(1,4) 时,-2+b=4,b=6;当直线y=-2x+b过点(4,1) 时,-8+b=1,b=9;当直线y=-2x+b与y=4x相切时, 联立4x=-2x+b, 得2x2-b x+4=0,=b2-424=0,b1=4 2,b2=-4 2( 舍) , 由图
14、象可知,b=4 2或6y2时,x的取值范围是;(2) 当x2或-5x0;(3)y25.2.如图, 一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=kx(k为常数, 且k0) 的图象都经过点A(m,2).(1) 求点A的坐标及反比例函数的表达式;(2) 结合图象直接写出当x0时, 比较y1和y2的大小;(3) 直接写出不等式4x-2x+1的解集.解: (1) 将A(m,2) 代入y1=x+1得m=1,A(1,2) , 将A(1,2)代入y2=kx, 得k=2,y2=2x;(2) 当0 x1时,y11,y1y2;(3)-2x1时,y1y2; 当0 x1时,y11时,y1y2; 当0 x1时,y10)
15、作x轴的垂线, 分别交双曲线y2=kx和直线y1=x+5于P,Q两点.若P Q=备用图3P D时, 求t的值.解: 当P Q=3P D时, 直线P Q在点A的右侧,直线P Q分别交双曲线y2=kx和直线y1=x+5于P,Q两点,P(t,6t) ,Q(t,t+5) ,P Q=3P D,t+5-6t=36t,解得t1=3,t2=-8( 舍去) ,t的值为3.1 2 4 【板块四】 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k的意义, 结合全等、 相似或参数思想、 根系关系, 可得出反比例函数一些重要几何性质, 在解题中可运用这些重要性质, 从而大大提高解题效率.性质一 如图, 直线A B:y
16、=mx+n交x轴于点A, 交y于点B, 交双曲线kx于C,D两点.求证:A C=B D.图1 图2证明: 证法一: ( 利用根系关系得全等) 过点C作C Ex轴于点E, 过点D作D Fy于点F, 联立y=mx+n,y=kx,得m x2+n x-k=0, 则有xC+xD=-nm.易知A(-nm,0) ,xC+xD=O A, 可得D F=A E,A C ED B F,A C=B D.证法二: ( 利用k的意义得相似) 过点C作C Ex轴于点E,C My轴于点M, 过点D作D Fy轴于点F,DNx轴于点N,xDyD=xCyC=k,D FDN=CMC E,CMD F=DNC E,B CB D=A DA
17、 C, 等式两边同时减1, 得C DB D=C DA C,A C=B D.性质应用【 例1】 如图, 直线y=x+6交x轴于点A, 交y轴于点B, 交双曲线y=kx于点C,D, 若C D=2(A C+B D) , 则k的值为.【 解析】 -5.过点C作C Ex轴于点E, 由性质可得A C=B D,C D=2(A C+B D) ,C D=4A C,A B=6A C,C E=16O B=166=1, 同理A E=1,O E=5,C(-5,1) ,k=-51=-5.性质二 如图1,A,B为双曲线y=kx上任意两点,A Cy轴于点C,B Dx轴于点D, 直线A C,B D交于点E.求证:A BC D;
18、 A CA E=B DB E.图1证明: 证法一: ( 面积法) 连接AD,B C, 则SA C D=SB C D=12|k|,A BC D;A CA E=B DB E.证法二: ( 相似法) 利用xAyA=xByB=k, 可得A CD E=B DC E, 进而得A EC E=B ED E,A B EC D E,A BC D;A CA E=B DB E.九年级数学 大培优1 2 5 变式1: 如图2,A Cx轴于点C,B Dy轴于点D,A C,B D交于点E.求证:A BC D; A CA E=B DB E.图2证明: 证法同上.变式2: 如图3,A,B为双曲线y=kx上任意两点,A Cy轴于
19、点C,B Dx轴于点D, 直线A C,B D交于图3点E.求证:A BC D; A CA E=B DB E.证明: 证法同上.【 例2】 如图, 双曲线y=kx经过矩形O A B C边A B的中点F, 交B C于点E, 且四边形O E B F的面积为2, 则k=.【 解析】 过点E作EHx轴于点H,点F为A B中点, 则点E为B C边的中点,可得S四边形O E B F=12S矩形O A B C=S矩形O C EH=k,k=2.【 例3】 如图, 点P为双曲线y=8x(x0) 上一点,P Ax轴于点A,P By轴于点B,P A,P B分别交双曲线y=kx(x0) 于C,D两点, 若SP C D=
20、1,则k=.【 解析】 设点P(a,8a) , 则点C(a,ka) ,D(a k8,8a) ,SP C D=128-ka(a-a k8)=(8-k)21 6=1,k1=4,k2=1 2( 舍) ,k=4.性质三 如图, 直线A B与双曲线y=kx只有唯一公共点A, 且A B与y轴不平行,A B交x轴于点B,连接O A.求证:O A=A B.证明: ( 解析法) 过点A作AHx轴于点H, 设点A a,k()a,LA B:y=m(x-a)+ka.联立y=kxy=m(x-a)+ka得m x2+ka-()a m x-k=0, 依题意=ka-()a m2+4m k=ka+()a m2=0,m=-ka2,
21、y=-ka2x+2ka,B(2a,0) ,OH=BH=a,O A=A B.1 2 6 性质四 如图, 直线y=mx交双曲线y=kx于A,B两点, 点P为双曲线上一点, 直线P A,P B分别交x轴于M,N两点.求证:PM=PN.证明: ( 解析法) 设点A a,k()a,B-a,-k()a,P b,k()b, 由待定系数法 可得lP A:y=-ka bx+(a+b)ka b,lP B:y=ka bx+(a-b)ka b,xM=b+a,xN=b-a,xM+xN=2xP, 可得PM=PN.【 例4】 (2 0 1 8十堰中考) 如图, 直线y=-x与反比例函数y=kx的图象交于A,B两点, 过点B
22、作B Dx轴, 交y轴于点D, 直线AD交反比例函数y=kx的图象于另一点C, 求C BC A的值.【 解析】 ( 解析法) 过点A,C分别作y轴的垂线, 垂足分别为点E,F, 设点A(a,-a) ,则B(-a,a) ,D(0,a) , 由待定系数法得lD A:y=-2x+a, 联立y=-2x+ay=kx得2x2-a x+k=0,xA+xC=a2,xA=a,xC=-12a=xB+xD2,点C在B D的垂直平分线上,C B=C D, 由面积法可得C DAD=C FA E=12aa=12,C B=C D=13C A,C BC A=C DC A=13.针对练习41.如图, 点A,B分别是双曲线y=4
23、x和y=2x第一象限分支上的点, 且A By轴,B Cy轴于点C, 则A BB C= 2 .解: 方法一: 利用k的几何意义 面积法求.延长A B交x轴于点E, 过点A作y轴的垂线, 垂足为F.A BB C=S矩形A B C F=S矩形A E O F-S矩形B E O C=4-2=2.方法二: 设点A坐标, 分别表示出点B,C坐标, 运用参数进行计算.2.如图, 直线y=- 3x+b与y轴交于点A, 与双曲线y=kx在第一象限交于B,C两点, 且A BA C=4, 则k= 3 .解: 方法提示: 斜化直, 线段转坐标.设直线A B交x轴于点D, 则由性质可得A B=C D,A C=B D, 由
24、条件知O AD=3 0 ,A B=2xB,A C=B D=2 33yB,A BA C=2xB2 33yB=4 33xByB=4,k=xByB= 3.九年级数学 大培优1 2 7 3.如图,O A C的顶点A在双曲线y=9x上, 点C在x轴上,O A交双曲线y=1x于点B, 直线A C与双曲线y=9x只有唯一公共点, 且A C与y轴不平行, 则SA B C=.解: 设A(a,9a) ,O A解析式为y=9a2x, 可得B(a3,3a).易得直线A C解析式为y=-9a2x+1 8a.可得A O=A C,SO B CSO A C=12O CyA12O CyB=3a9a=13,SA B C=23SA
25、 O C=239=6.4.如图1, 直线y=-2x+6交x轴于点B, 交y轴于点A, 直线A B与双曲线y=kx(k0) 交于C,D两点,C Ex轴于点E,D Fx轴于点F.(1) 若k=-8, 求C D的长;(2) 求C E-D F的值;(3) 如图2,P是双曲线y=kx(k0) 上第二象限上一动点,P Gx轴于G, 交双曲线y=k2x(k0) 于M,PHy轴于H, 交y=k2x(k1,P Q=2Q D时, 求A P Q的面积;(3) 连接C Q, 当C P=C Q时, 求a的值.【 解析】 (1)m=4,n=2;(2) 在y=2x+2中, 令y=0, 则x=-1,A(-1,0) ,D(a,
26、0) ,ly轴,P(a,2a+2) ,Q a,4()a. P Q=2Q D,2a+2-4a=24a, 解得:a=2,a=-3. P,Q在第一象限,a=2,P Q=4, 又AD=3,SA P Q=1243=6;(3) 过点C作CMP Q于点M,C P=C Q,PM=MQ, 设P(a,2a+2) ,Q a,4()a,M(a,4).则2a+2+4a=8解得a=2或a=1( 舍) ,a=2.1 2 8 针对练习51.如图, 直线l:y=32x+3与双曲线y=kx在第一象限内交于点A(a,6).(1) 求双曲线的解析式;(2) 直线x=t(t0且t2) 分别交直线l, 双曲线y=kx于C,D两点, 连接
27、AD, 若A C=AD, 请直接写出t的值.解: (1)点A(a,6) 在直线y=32x+3上,32a+3=6,a=2,A(2,6) , 又A在双曲线y=kx上,k2=6,k=1 2, 即双曲线的解析式为y=1 2x.(2)t=4.理由如下: 设C t,32t()+3,D t,1 2()t, 则A C2=(t-2)2+32t()+3-62=1 34(t-2)2,AD2=(t-2)2+1 2t()-62= 1+3 6t()2(t-2)2, 由A C=AD, 有A C2=AD2,1 34(t-2)2=1+3 6t()2(t-2)2,t2,1 34=1+3 6t2,t=4或t=-4( 舍) ,t=4
28、.【板块六】 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等、 相似将线段关系转化为坐标关系, 实现“ 几何问题坐标化”.题型一 反比例函数与全等【 例1】 如图, 点A是双曲线y=8x在第一象限上的一动点, 连接A O并延长交另一分支于点B, 以A B为斜边作等腰R t A B C, 随着点A的运动, 点C的位置也不断地变化, 但始终在一函数图象上运动, 则这个函数的解析式为 y=-8x(x0) 的图象与边A B交于点F, 求点F的坐标.【 解析】 由题意知,AD=A B=1 0,A O=8, 由勾股定理可求O D=6, 则C D=4, 设C E=x, 则D E=B E=8-x, 在R t D
29、C E中,C D2+C E2=D E2, 即x2+42=(8-x)2, 解得x=3,E(1 0,3) , 设F(a,8) , 则1 03=8a,a=1 54,F(1 54,8).针对练习61.如图,A(2,3) 是双曲线y=kx(x0) 上的一点,P为x轴正半轴上一点, 将点A绕点P顺时针旋转9 0 , 恰好落在双曲线上的另一点B, 求点P的坐标.解: 设P(t,0) , 过点A作AMx轴于点M, 过B作BNx轴于点N, 则A PMP BN,PN=AM=3,BN=PM=t-2,B(t+3,t-2) , 又点A,B在y=kx上,(t+3) (t-2)=6,t1=-4,t2=3,t0,t=3,P(
30、3,0).2.如图, 已知点A(2,2) ,P(0,a) 是y轴上一点, 连接P A, 将线段P A绕点P逆时针旋转9 0得线段P A , 若线段P A 与反比例函数y=-3x(x0) 的图象有公共点, 求a的取值范围.解: 当点A 恰好落在反比例函数y=-3x(x0) 的图象上时, 过点A 作A Dy轴于点D, 过点A作A By轴于点B, 则A PDP A B,A D=P B=2-a,PD=A B=2,O D=2+a,A (a-2,a+2) ,(a-2)(a+2)=-3,a=1,点A 的横坐标为-1或-3, 均符合题意,线段P A 与反比例函数y=-3x(x0) 的图象有公共点,-1a1.1
31、 3 0 3.如图, 直线y=3x-3交坐标轴于A,B两点, 将A O B沿A B翻折得到A C B, 点D在A C的延长线上, 且C D=4A C, 反比例函数y=kx的图象经过点D, 求k的值.解: 过点B作B EA C, 交x轴于点E, 则E B A=B A C=E A B,E A=E B, 易求O A=1,O B=3, 设E A=E B=x, 则x2=(x-1)2+32, 解得x=5, 由题意,A C=A O=1,C D=4A C,AD=5A C=5,AD=E B,将线段E B向右平移5个单位得线段AD,D(5,-3) ,k=5(-3)=-1 5.【板块七】 反比例函数与图形变换方法技
32、巧图形变换的本质是点的变换, 解题的关键是根据变换规律, 将变换后的关键点的坐标表示出来, 再根据条件建立关系式.【 例1】 平面直角坐标系中, 点A(-2,0) ,B(0,3) , 点P为第二象限内一点.(1) 如图, 将线段A B绕点P旋转1 8 0 得线段C D, 点A与点C对应, 试画出图形;(2) 若(1) 中得到的点C,D恰好在同一个反比例函数y=kx的图象上, 求直线B C的解析式;(3) 若点Q(m,n) 为第四象限的一点, 将线段A B绕点Q顺时针旋转9 0得到线段E F, 其中点A与点E对应, 若点E,F恰好在同一个反比例函数的图象上, 直接写出m,n之间的关系式为 m=-
33、5n .备用图【 解析】 (1) 略;(2) 设P(m,n) , 则C(2+2m,2n) ,D(2m,2n-3). 点C,D恰好在同一个反比例函数y=kx的图象上,2n(2+2m)=2m(2n-3) , 得2n=-3m, 设直线B C的解析式为y=t x+3, 将C(2+2m,-3m) 代入y=t x+3中, 得(2+2m)t+3=-3m, 解得t=-32,y=-32x+3;(3) 由三垂直得,E(m-n,m+n+2) ,F(m+3-n,n+m) ,(m-n) (m+n+2)=(m+3-n) (n+m) , 整理得m=-5n.九年级数学 大培优1 3 1 【 例2】 已知点A(a,m) 在双曲
34、线y=8x上且m0) 沿y轴折叠得到双曲线y=-8x(x 0) , 将线段O A绕点O旋转, 点A刚好落在双曲线y=-8x(x-2时, 由题意知C的坐标为(t,t+2) ,C在y=8x上,t(t+2)=8, 解得t=2或-4. t-2,t=2; 当t-2时,c(t,t+2) ,t(t+2)=8,t=-4或t=2( 舍) ,t=2或-4;(2) 过点D作DHy轴于点H,O A=O D,a2+m2=d2+n2,a m=8,d n=-8, (a+m)2=(d-n)2, (a-m)2=(d+n)2, 又a0,m0,d0,a+m=d-n,a-m=d+n或a-m=-d-n,a-d=-m-na-d=m+n或
35、a-d=-n-ma+d=m-nm+n=0, 或a=-nd=m又a m=8,-m n=8,m n=-8, 故m+n=0或m n=-8.针对练习71.在平面直角坐标系中, 点A(a,0) 为x轴上一动点, 点M的坐标为(1,-1) , 点N的坐标为(3,-4) ,连接AM,MN, 点N关于直线AM的对称点为点N .(1) 若a=2, 在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN ( 保留作图痕迹) , 直接写出点N 的坐标为 (-2,1) ;(2) 若a0, 连接AN,AN , 当点A运动到N AN=9 0 时, 点N 恰好在双曲线y=kx上( 如图2) , 求k的值;(3) 点A在x轴上运动,
36、 若N MN=9 0 , 此时a的值为 -4或65 .解: (1)N (-2,1).提示: 取点B(3,1) , 则BNx轴,M、A,B三点在同一条直线上;(2) 由AN,AN 垂直且相等, 可构建三垂直全等得N (a-4,a-3) ,k=(a-4) (a-3)=a2-7a+1 2. MN=MN , 由勾股定理得(a-5)2+(a-2)2=1 3,a2-7a+8=0,1 2-k=8,k=4;(3)-4或65.由N MN= 9 0 , 构建三垂直全等得N (4,1) 或N (- 2,- 3) ,直线AM过NN 的中点C, 且点C的坐标为(72,-32) 或(12,-72) ,直线AM的解析式为y
37、=-15x-45或y= 5x-6, 令y=0, 分别求得A(- 4,0) 或A(65,0).1 3 2 【板块八】 反比例函数与定值、最值方法技巧通过采取解析法求定值, 建立二次函数模型求最值.题型一 反比例函数与定值【 例1】 如图, 点C(6,1) ,D(1,6) 在双曲线y=6x的图象上.点T在双曲线第一象限上( 不同于C,D) , 直线T C,T D分别交y轴于E,F, 则O F-O E的值是 5 .【 解析】 O F-O E= 5 .理由如下: 设点T m,6()m, 由D(1,6) 得直线T D的解析式:y=-6mx+6m+ 6,O F=6m+ 6 .由C(6,1) 得直线T C的
38、解析式:y=-1mx+6m+1 . O E=6m+ 1,O F-O E= 5 .题型二 反比例函数与最值【 例2】 如图, 双曲线y=2x的第一象限的分支上一动点P, 点A(-2,-2) ,B(2,2) , 则P A-P B的值为 4 .【 解析】 方法1: 设点P m,2()m, 则P A=(m+2)2+2m()+ 22=m+2m+2, 同理P B=m+2m-2,P A-P B= 4 .方法2: 特殊位置法.【 例3】 如图, 在平面直角坐标系中, 直线A B:y1=x+m与双曲线C:y2=kx相交于A,B两点, 其中点A(2,5) ,A Cy轴于点C.(1) 求直线与双曲线的解析式;(2)
39、 直接写出x 2时, 反比例函数值y2的取值范围;(3) 点E为点B下方直线A B上一动点, 直线E FA B, 分别与直线A B, 双曲线C及y轴交于E,F,G三点, 求E FF G的最大值.【 解析】 (1)y1=x+ 3,y2=1 0 x;(2)y2 5;(3) 作E Iy轴于点I,F Jy轴于点J,FHE I于点H,设E(t,t+3) , 易得B(-5,-2) , 由t-5,F(m,1 0m) ,EH=HF, 则t+3-1 0m=m-t,得t=5m+m2-32,E5m+m2-32,m2+5m+3()2,E FF G= 2HE2H I=2(xF-xE) (-xF)= 2(-x2F+xEx
40、F)=- 2m2+2mm2+5m-3()2=-m2-3m+1 0=-m+3()22+4 94, 当m=-32时,E FF G最大=4 94, 此时t=-6 71 2 0) 的图象相交于两个不同点E,F( 点E在点F的左边) , 与y轴相交于点M.(1)m的取值范围为;(2) 求MEMF的值.解: (1) 设y=-x+m代入y=4x中,-x+m=4x, 整理得x2-m x+4=0,m0=m2- 1 6 0,解得m 4;(2) 过点E,F分别作y轴的垂线, 垂足分别为G,H.由y=-x+m可知M E G=M FH=4 5 ,M E= 2G E,M F= 2H F.由y=-x+m=4x, 得x2-m
41、 x+ 4 = 0,xExF= 4,M EM F= 2xE2xF=2xExF=8.2.如图, 已知反比例函数y=kx和一次函数y=32x+6的图象有一个交点为P(-2,m).(1) 求反比例函数解析式;(2) 若过点P的直线l与反比例函数y=kx的图象只有一个交点, 求直线l的解析式;(3) 点Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点, 过点Q作直线, 使其与双曲线y=kx只有一个公共点, 且与x轴,y轴分别交于点C,D, 直线y=32x+6与x轴,y轴分别交于点A,B, 求四边形A B C D面积的最小值.解: (1) 将P(-2,m) 代入y=32x+6得m=3,P(-2,3) , 代入y=k
42、x得k=-23=-6. y=-6x.(2)当lx轴时, 直线l为y=3;当ly轴时, 直线l为x=-2;当直线l与坐标轴不平行时,过P(-2,3) ,可设解析式为y=a x+2a+3, 由y=a x+2a+3y=-6x得a x2+(2a+3)x+6=0, 依题意=(2a+3)2-2 4a=(2a-3)2=0,a=32,y=32x+6.综上, 直线l为的解析式为y=3或x=-2或y=32x+6.(3) 设Qt,-6()t,lC D:y=p x-t p-6t.由y=p x-t p-6ty=-6x得p x2-t p+6()tx+6=0,=t p+6()t2-2 4p=t p-6()t2=0,p=6t
43、2,lC D:y=6t2x-1 2t,D0,-1 2()t,C(2t,0) ,A C=2t+4,B D=6+1 2t. S四边形A B C D=12A CB C=12(2t+4)6+1 2()t=6t+4()t+2 4=6t-2t2+4 8, 当t=2时,Sm i n=4 8.1 3 4 第2 0讲 实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.【板块一】 根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系, 然后利用待定系数法求出它们的关系式.题型一 坐标与距离【 例1】 某闭合电路中, 电
44、源的电压为定值, 电流I(A) 与电阻R() 成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象, 则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6R【 解析】 C.【 例2】 某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1 m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xm, 长为ym.那么这些同学所制作的矩形长y(m) 与宽x(m) 之间的函数关系的图象大致是( )【 解析】 A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x, 底边上的高为y, 则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为( C )A.y=SxB.y=S2xC.y=2SxD.y=x2S2.
45、在照明系统模拟控制电路实验中, 研究人员发现光敏电阻值R( 单位:) 与光照度E( 单位:l x) 之间成反比例函数关系, 部分数据如下表所示:光照度E/l x0. 511. 522. 53光敏电阻阻值R/6 03 02 01 51 21 0 则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为 R=3 0E .九年级数学 大培优1 3 5 【板块二】 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意, 建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象, 找到关键的点, 运用好数形结合的思想.【 例1】 实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后,1. 5小时内其血液中酒精含量y( 毫克/百毫升) 与时间x( 时) 的关系可近似
46、地用二次函数y=-2 0 0 x2+4 0 0 x刻画;1. 5小时后( 包括1. 5小时)y与x可近似地用反比例函数y=kx(k0) 刻画( 如图所示).(1) 根据上述数学模型计算:喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值? 最大值为多少?当x=5时,y=4 5, 求k的值.(2) 按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于2 0毫克/百毫升时属于“ 酒后驾驶” , 不能驾车上路.参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上2 0:0 0在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7:0 0能否驾车去上班? 请说明理由.【 解析】 (1)y=-2 0 0 x2+4 0 0 x=-2 0 0(x-1)
47、2+2 0 0,喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值, 最大值为2 0 0( 毫克/百毫升) ;当x=5时,y=4 5,y=kx,k=x y=4 55=2 2 5;(2) 不能驾车上班.理由:晚上2 0:0 0到第二天早上7:0 0, 一共有1 1小时,将x=1 1代入y=2 2 5x, 则y=2 2 51 12 0. 第二天早上7:0 0不能驾车去上班.【 例2】 某校园艺社计划利用已有的一堵长为1 0 m的墙, 用篱笆围一个面积为1 2 m2的矩形园子.(1) 如图, 设矩形园子的相邻两边长分别为x(m) ,y(m).求y关于x的函数表达式;当y4 m时, 求x的取值范围;(2) 小凯说
48、篱笆的长可以为9. 5 m, 洋洋说篱笆的长可以为1 0. 5 m.你认为他们俩的说法对吗? 为什么?【 解析】 (1)由题意x y=1 2,y=1 2xx6()5;y4时,65x3;(2) 当2x+1 2x=9. 5时, 整理得:4x2-1 9x+2 4=0,0, 符合题意;小凯的说法错误, 洋洋的说法正确.1 3 6 针对练习21.当温度不变时, 某气球内的气压p(k P a) 与气体体积V(m3) 的函数关系如图所示, 已知当气球内的气压p1 2 0 k P a时, 气球将爆炸, 为了安全起见, 气球的体积V应( C )A.不大于45m3B.大于45m3C.不小于45m3D.小于45m3
49、2.为预防流感盛行, 对教室进行“ 薰药消毒”.已知药物在燃烧及释放过程中, 室内空气中每立方米含药量y( 毫克) 与燃烧时间x( 分钟) 之间的关系如图所示( 即图中线段O A和双曲线在A点及其右侧的部分) ,根据图象所示信息, 解答下列问题:(1) 直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2) 据测定, 当空气中每立方米的含药量低于2毫克时, 对人体无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少在多长时间内, 师生不能进入教室?解: (1)y=23x(0 x1 5) ,1 5 0 x(x1 5) ;(2) 将y=2代入y=23x得x=3; 将y=2代入y=1 5 0 x得x=7 5;7
50、5-3=7 2.答: 从消毒开始, 师生至少在7 2分钟内不能进入教室.3.(2 0 1 8乐山) 某蔬菜生产基地的气温较低时, 用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后, 大棚内的温度y() 与时间x(h) 之间的函数关系, 其中线段A B,B C表示恒温系统开启阶段, 双曲线的一部分C D表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1) 求这天的温度y与时间x(0 x2 4) 的函数关系式;(2) 求恒温系统设定的恒定温度;(3) 若大棚内的温度低于1 0时, 蔬菜会受到伤害.问这天内, 恒温系统最多可以关闭多少小时, 才能使蔬菜避免受到伤
