1、2015-2016学年福建省三明市A片区高中联盟校高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1求值： =（）Atan 38BCD2若tan 0，则（）Asin 0Bcos 0Csin cos0Dsin cos 03函数f（x）=log2（3x1）的定义域为（）A1，+）B（1，+）C0，+）D（0，+）4下面各组函数中为相同函数的是（）Af（x）=，g（x）=x1Bf（x）=，g（x）=Cf（x）=ln ex与g（x）=elnxDf（x）=（x1）0与g（x）=5已知集合A=x|1x3，B=x|0xa，若AB，
2、则实数a的范围是（）A3，+）B（3，+）C，3D，3）6实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）AacbBabcCbacDbca7向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（）ABCD8在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则=（）ABCD9为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位10（5分）（2011辽宁）设sin（+）=，则sin2=（）ABCD11已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（
3、x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）Aa1bBab1C1abDb1a12（5分）（2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）ABCD二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知函数f（x）=xm过点（2，），则m=14设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=15已知奇函数f（x）的定义域为2，2，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1m）+f（
4、12m）0的实数m的取值范围是16对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合AB=x|fA（x）fB（x）=1已知A=2，4，6，8，10，B=1，2，4，8，12，则用列举法写出集合AB的结果为三解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）计算：（）0+lne+8+log62+log63；（2）已知向量=（sin，cos），=（2，1），满足，其中（，），求cos的值18已知向量，满足|=1，|=2，与的夹角为120（1）求及|+|；（2）设向量+与的夹角为，求cos的值19已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，cR）（1）若函数y=f（x
5、）的零点为1和1，求实数b，c的值；（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（3，2），（0，1）内，求实数b的取值范围20已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值21已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）f（x2）（1）求f（1）的值；（2）若当x1时，有f（x）0求证：f（x）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f（5）=1，求f（x）在3，25上的最小值22已知函数f（x）=
6、2|x2|+ax（xR）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=f（sinx）2存在零点，求a的取值范围2015-2016学年福建省三明市A片区高中联盟校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1求值： =（）Atan 38BCD【考点】两角和与差的正切函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正切公式，计算求得结果【解答】解： =tan（49+11）=tan60=，故选：C【点评】本题主要考查两角和
7、的正切公式的应用，属于基础题2若tan 0，则（）Asin 0Bcos 0Csin cos0Dsin cos 0【考点】三角函数值的符号【专题】探究型；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】直接由tan0，可以判断sin与cos必定异号，从而可得答案【解答】解：若tan0，则sin与cos必定异号，sincos必定小于0故选：C【点评】本题考查了三角函数值的符号的判断，是基础题3函数f（x）=log2（3x1）的定义域为（）A1，+）B（1，+）C0，+）D（0，+）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域【解答】
8、解：要使函数有意义，则3x10，即3x1，x0即函数的定义域为（0，+），故选：D【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础4下面各组函数中为相同函数的是（）Af（x）=，g（x）=x1Bf（x）=，g（x）=Cf（x）=ln ex与g（x）=elnxDf（x）=（x1）0与g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据相同函数的定义判断两个函数是否是同一函数即可【解答】解：对于A：f（x）=|x1|，g（x）=x1，表达式不同，不是相同函数；对于B：f（x）的定义域是：x|x1或x1，g（x）的定义域是x
9、x1，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是x|x0，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是x|x1，是相同函数；故选：D【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题5已知集合A=x|1x3，B=x|0xa，若AB，则实数a的范围是（）A3，+）B（3，+）C，3D，3）【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合思想；综合法；集合【分析】根据集合的包含关系判断即可【解答】解：集合A=x|1x3，B=x|0xa，若AB，则a3，故选：B【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等
10、式问题，是一道基础题6实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）AacbBabcCbacDbca【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.20，00.21，即0a1，b0，c1，bac故选：C【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键7向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（）ABCD【考点】函数的
11、图象【专题】数形结合【分析】本题通过特殊值求解取横坐标为的点，它的纵坐标对应的值与容器容积的一半进行比较，从而即可排除一些选项，得到正确的选项【解答】解：考虑当向高为H的水瓶中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V水瓶的容积的一半对照选项知，只有A符合此要求故选A【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则=（）ABCD【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用
12、的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出【解答】解：在ABC中，已知D是AB边上一点=2， =，=，=，故选A【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量9为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】通过化简函数y=
13、sin（3x+）的表达式，只需把函数的图象向右平移个单位，即可达到目标【解答】解：由于函数y=sin（3x+）=sin3（x+）的图象向右平移个单位，即可得到y=sin3（x+）= sin3x的图象，故选：A【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象平移变换，属于中档题10设sin（+）=，则sin2=（）ABCD【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2的值【解答】解：由sin（+）=sincos+cossin=（si
14、n+cos）=，两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，则sin2=2sincos=故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题11已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）Aa1bBab1C1abDb1a【考点】函数零点的判定定理【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数y=ex与y=2x，y=lnx与y=2x交点的横坐标的大小问题，利用数形结合进行比较即可【解答】解：由f（x）
15、=ex+x2=0得ex=2x，由g（x）=lnx+x2=0得lnx=2x，作出计算y=ex，y=lnx，y=2x的图象如图：函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，y=ex与y=2x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2x交点的横坐标为b，由图象知a1b，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键12如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象
16、大致为（）ABCD【考点】抽象函数及其应用【专题】三角函数的图像与性质【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，POM=x，则OM=|cosx|，点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16
17、分13已知函数f（x）=xm过点（2，），则m=1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】将（2，）代入函数f（x），求出m的值即可【解答】解：将（2，）代入函数f（x）得： =2m，解得：m=1；故答案为：1【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题14设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=1【考点】函数的值【专题】计算题【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值【解答】解：f（x）是定义在R上的周期为2的函数，=1故答案为：1【点评】本题属于容易
18、题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”15已知奇函数f（x）的定义域为2，2，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1m）+f（12m）0的实数m的取值范围是，【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：函数奇函数f（x）的定义域为2，2，且在定义域上单调递减，不等式f（1m）+f（12m）0等价为f（1m）f（12m）=f（2m1），即，即，得m，故答案为：，【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解
19、决本题的关键注意定义域的限制16对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合AB=x|fA（x）fB（x）=1已知A=2，4，6，8，10，B=1，2，4，8，12，则用列举法写出集合AB的结果为1，6，10，12【考点】交、并、补集的混合运算【专题】新定义【分析】在理解题意的基础上，得到满足fA（x）fB（x）=1的xx|xA且xBx|xB且xA，分别求出两个集合后取并集【解答】解：要使fA（x）fB（x）=1，必有xx|xA且xBx|xB且xA=6，101，12=1，6，10，12，所以AB=1，6，10，12故答案为1，6，10，12【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运
20、算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题三解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）计算：（）0+lne+8+log62+log63；（2）已知向量=（sin，cos），=（2，1），满足，其中（，），求cos的值【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；三角函数的化简求值【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用；三角函数的求值【分析】（1）利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可（2）利用向量共线列出方程，然后求解三角函数值【解答】（本小题满分12分）解析：（1）原式=1+15+2+1=0； （6分）（2）向量=（
21、sin，cos），=（2，1），满足，sin=2cos，（9分）又sin2+cos2+=1，由解得cos2=，（11分）（，），cos= （12分）【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力18已知向量，满足|=1，|=2，与的夹角为120（1）求及|+|；（2）设向量+与的夹角为，求cos的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】（1）根据数量积的计算公式即可求出，而由即可求出；（2）同理可以求出的值，而可求出，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出cos【解答】解：（1）=；=；（2）同理可求得；=【点评】考
22、查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式19已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，cR）（1）若函数y=f（x）的零点为1和1，求实数b，c的值；（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（3，2），（0，1）内，求实数b的取值范围【考点】二次函数的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）根据根与系数的关系列方程组解出；（2）根据f（1）=0得出b，c的关系，令g（x）=f（x）+x+b，根据零点的存在性定理列方程组解出【解答】解：（1）1，1是函数y=f（x）的零点，解得b=0，c=1（
23、2）f（1）=1+2b+c=0，所以c=12b令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）xb1，关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（3，2），（0，1）内，即解得b，即实数b的取值范围为（，）【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题20已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；函数思想；转化法
24、；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）根据向量的数量积的运算以及二倍角公式和两角和差的正弦公式化简得到f（x），根据周期和函数的单调性的定义即可求出，（2）根据函数的单调性即可求出f（x）在区间，上的最大值和最小值【解答】解：（1）=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），f（x）=sin2x+sinxcosx=（1cos2x）+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x），函数的周期为T=，由2k2x2k+（kZ）解得kxk+，f（x）的单调递增区间为k，k+，（kZ）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x），当x，时，2x，sin（2x）1，故f（x）在区间
25、，上的最大值和最小值分别为1和【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题21已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）f（x2）（1）求f（1）的值；（2）若当x1时，有f（x）0求证：f（x）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f（5）=1，求f（x）在3，25上的最小值【考点】抽象函数及其应用【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）利用赋值法进行求解（2）根据函数单调性的定义进行证明（3）根据函数单调性和抽象函数的
26、关系进行转化求解即可【解答】解：（1）令x1=x20，代入得f（1）=f（x1）f（x1）=0，故f（1）=0（4分）（2）证明：任取x1，x2（0，+），且x1x2，则1，由于当x1时，f（x）0，所以f（）0，即f（x1）f（x2）0，因此f（x1）f（x2），所以函数f（x）在区间（0，+）上是单调递减函数（8分）（3）因为f（x）在（0，+）上是单调递减函数，所以f（x）在3，25上的最小值为f（25）由f（）=f（x1）f（x2）得，f（5）=f（）=f（25）f（5），而f（5）=1，所以f（25）=2即f（x）在3，25上的最小值为2（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，
27、利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键22已知函数f（x）=2|x2|+ax（xR）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=f（sinx）2存在零点，求a的取值范围【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理【专题】分类讨论；转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）当a=1时，求出函数f（x）的表达式，判断函数的单调性即可求f（x）的最小值；（2）当f（x）有最小值时，利用分段函数的性质建立不等式关系即可求a的取值范围；（3）利用换元法，结合函数与方程之间的关系进行转化，求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x2|+x=（2分）所以，f（x）在（，2）递减，在2，+）递增，故最小值为f（2）=2； （4分）（2）f（x）=，（6分）要使函数f（x）有最小值，需，2a2，（8分）故a的取值范围为2，2（9分）（3）sinx1，1，f（sinx）=（a2）sinx+4，“h（x）=f（sinx）2=（a2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a2）sinx+2=0有解”，亦即有解，（11分）解得a0或a4，（13分）a的取值范围为（，04，+）（14分）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键16
