1、信号与系统实验报告1、实验目的(1) 深刻理解和掌握拉普拉斯变换的运算方法及其性质；(2) 熟练掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换，并能利用MATLAB 实现；(3) 理解复频域系统函数 的意义，并能熟练画出其频谱；()Hs(4) 利用复频域系统函数 的零、极点分布对连续时间系统进行复频域分析原理和方法。2、实验原理、原理图及电路图(1) 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段。信号 的拉普拉斯变换()ft定义为： ()()stFsfed其中 ，若 以为横坐标（实轴） ， 为纵坐标（虚轴） ，复变量jj就构成了一个复平面，称为 平面。s(2) 部分分式展开法求拉普拉斯逆
2、变换如果 是 的实系数有理真分式，则可写为：()Fs110()mnnbsbsBAaaL式中分母多项式 称为系统的特征多项式，方程 称为特征方程，() ()0As它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率） 。为将 展开为()Fs部分分式，要先求出特征方程的 个特征根，这些特征根称为 极点。根据n的极点或特征根的分布情况，可以将 展开成不同的部分分式。()Fs ()Fs利用 Matlab 中的 residue 函数可得复杂的 域表示式 的部分分式展开()s式，其调用形式为：r,p,k=residue(num,den)其中，num(numerator)、den(denominator)分别
3、为 分子多项式和分母多()Fs项式的系数向量,r 为所得部分分式展开式的系数向量，p 为极点，k 为分式的直流分量。(2) 连续系统复频域分析拉普拉斯变换可以将连续系统从时域转化到复频域进行分析，将描述系统的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，便于运算和求解。在复频域中描述系统的代数方程一般可表示为： ()() ()xfMsBYs FsA即系统响应在复频域中也可以分解成零输入响应和零状态响应。(3) 系统函数与频率响应函数系统零状态响应的象函数 与激励的象函数 之比称为系统函数，即：()fYs()Fs()fYsBHFA系统函数只与描述系统的微分方程系数有关，即只与系统的结构、元件参数有关，而
4、与外界因素（激励、初始状态等）无关。系统函数为复频域中的函数，因此也存在着相频特性和幅频特性。而在系统分析时，经常采用的是系统的频率响应 。系统函数与频率响应之间存在一定的关系。对于连续系统，()Hj如果其系统函数的极点均在左半开平面，那么它在虚轴上也收敛，从而得到系统的频率响应函数为： ()(sjj如果已经知道系统的零极点分布，则可以采用几何矢量法求出系统的频率响应函数，画出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线（参考第七章第一节系统函数与频率响应函数部分） 。如果利用 Matlab 来求解系统的频率响应特性曲线，也可以用 impulse 函数求出系统的冲激响应，然后再利用 freqs 函数直接计
5、算系统的频率响应。它们的调用形式分别为：sys=tf(b,a)，y=impulse(sys,t) 。其中 tf 函数中的 b 和 a 参数分别为 LTI 系统微分方程右端和左端各项系数向量，分别对应着系统函数的分子和分母多项式的系数；implulse 函数直接求解系统冲激响应。freqs 函数直接计算系统的频率响应，其调用形式为 H=freqs(b,a,w)。其中 b 为频率响应函数分子多项式系数向量，a 为分母多项式系数向量，它们也分别对应着系统函数相应的系数向量；w 为需要计算的频率抽样点向量。值得注意的是，这种方法的前提条件是系统函数的极点全部在复平面的左半开平面，因此必须先对系统函数的
6、零极点进行分析和判断，只有满足了条件才可以如此求解。(5) 系统函数的零极点与系统的稳定性系统函数 通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。如上所述，()Hs分母多项式的根对应着其极点，而分子多项式的根则对应着其零点。若连续系统系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。即系统函数的零、极点分布完全决定了系统的特性。根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。在复频域中，连续系统的充要条件是系统函数的所有极点均位于复平面的左半平面内。因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。在 Matlab 中，求解系统函数的零极点实际上是求解多项式的根，可调用
7、roots 函数来求出。求出零极点后，可以直接画出零极点图也可以调用pzmap(sys)函数来画出由 sys 所描述的系统的零极点分布图。3、实验步骤及内容(1) (教材 p263,习题 5.8 第 12 小题) 求函数 的拉氏逆变换。325()4Fss(2) 已知连续系统的系统函数 ，试用 Matlab 画出系243()1sHs统的零极点图，并分析系统的稳定性。(3) 已知系统的系统函数为 ，求出系统的冲激响应 和系2()3)s()ht统的幅频响应 。(Hj(4) 已知连续系统的极点分布图如下所示，试用 Matlab 分析系统冲激响应的时域特性和幅频响应特性。- 2j - 4 jj 4 j（
8、a ） （b）4、实验结果记录与分析(1) (教材 p263,习题 5.8 第 12 小题) 求函数 的拉氏逆变换。325()4Fssnum=5;den=1 1 4 4;r,p,k=residue(num,den)r =-0.5000 - 0.2500i-0.5000 + 0.2500i1.0000 p =-0.0000 + 2.0000i-0.0000 - 2.0000i-1.0000 k =(2) 已知连续系统的系统函数 ，试用 Matlab 画出系243()1sHs统的零极点图，并分析系统的稳定性。试验程序：num=1 0 -4;den=1 2 -3 2 1;zs=roots(num);
9、ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-4 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2);pzmap(sys);-4 -3 -2 -1 0 1 2-2-1.5-1-0.500.511.52-4 -3 -2 -1 0 1 2-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 Pole-Zero MapReal AxisImagina
10、ryAxis(3) 已知系统的系统函数为 ，求出系统的冲激响应 和系24()3)sH()ht统的幅频响应 。(j实验程序：num=1 4;den=1 3 2 0;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title(Impulse Response);t=0:0.0001:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H);axis(0 10 0 10);xla
11、bel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(Magenitude Response);-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Impulse Responset(s)h(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.811.21.41.61.820 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910(rad/s)|H(j)|Magenitude Response(4) 已知连续系统的极点分布图如下所示，试用 Matlab
12、分析系统冲激响应的时域特性和幅频响应特性。- 2j - 4 jj 4 j（a ） （b）试验程序：num=1 ;den=1 2 16 32;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title(Impulse Response);t=0:0.0001:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H);axis(0 10 0 10);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(Magenitude Response);-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-4-3-2-101234 Impulse Responset(s)h(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.08
