1、2008年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设，则的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3【答案】应选(D).【详解】令，可得有三个零点故应选(D).(2)曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【 】 (A) 曲边梯形的面积 (B) 梯形的面积(C) 曲边三角形面积 (D) 三角形面积【答案】 应选(C).【详解】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积故应选(C).(3)在下列微分方程中，
2、以（为任意的常数）为通解的是【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 应选(D).【详解】由，可知其特征根为，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为应选(D).(4) 判定函数，间断点的情况【 】(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点 (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点(C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A). (5)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【 】(A) 若收敛，则收敛 (B) 若单调，则收敛 (C) 若收敛，则收敛. (D) 若单调，则收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单
3、调有界，因此若收敛故应选(B).(6)设函数连续，若，则【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】 应选(A).【详解】利用极坐标，得，所以故应选(A).(7)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵若，则下列结论正确的是【 】(A) 不可逆，则不可逆. (B) 不可逆，则可逆.(C) 可逆，则可逆. (D) 可逆，则不可逆. 【答案】应选(C).【详解】，故，均可逆故应选(C).(8) 设，则在实数域上，与A合同矩阵为【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 应选(D).【详解】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(914小题，每小题4分，共24分. 把答案填在
4、题中横线上.)(9)已知函数连续，且，则【答案】 应填(10)微分方程的通解是 .【答案】 应填(11)曲线在点的切线方程为 .【答案】 应填【详解】(12)曲线的拐点坐标为 .【答案】 【详解】 (13)设，则 .【答案】 (14)设3阶矩阵的特征值为若行列式，则_.【答案】应填三、解答题(1523小题，共94分)(15)(本题满分9分)求极限【详解1】(或，或)【详解2】（或）(16)(本题满分10分)设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求【详解1】由得，积分得由条件，得，即，故 方程组两端同时对求导得所以，从而17（本题满分9分）计算【详解1】 由于，故是反常积分令，有，【详解2】
5、 令，有，所以(18)(本题满分11分)计算，其中【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和于是(19)(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式【详解】根据题意，因为旋转体体积，侧面积所以 上式两边同时对求导得解得 ，由，得所以 或 (20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II) 若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点，使得【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值即，于是有即根
6、据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得因此而的证（II）存在，使得由，知由，利用微分中值定理，存在，使得由，利用微分中值定理，存在，使得存在存在，使得（21）(本题满分11分)求函数在约束条件和下的最大值和最小值【详解1】作拉格朗日函数令解之得故所求得最大值为72,最小值为6【详解2】由题意知，在条件下的最值令解之得故所求得最大值为72,最小值为6(22) (本题满分12分)设元线性方程组，其中 ， （I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解【详解】（I）【证法1】数学归纳法记以下用数学归纳法证明当时，结论成立
7、当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第一行展开得故 【注】本题（1）也可用递推法由得，于是（I）【证法2】消元法记（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为所以，（III）【详解】 当时，方程组为此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为，其中为任意常数 (23) (本题满分10分)设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I)证明线性无关；(II)令，求【详解】(I)【证明】设有一组数，使得 用左乘上式，得因为 , ，所以 ，即由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此，从而有故 线性无关（II）由题意，而由（I）知，线性无关，从而可逆故
