1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题8分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)函数与是等价无穷小,则()(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个(2)当时,与是等价无穷小,则()(A)(B)(C)(D)(3)设函数的全微分为,则点(0,0)()(A)不是的连续点(B)不是的极值点(C)是的极大值点(D)是的极小值点(4)设函数连续,则=()(A)(B)(C)(D)(5)若不变号,且曲线在点(1,1)的曲率圆为,则在区间(1,2)内()(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有
2、零点(D)无极值点,无零点(6)设函数在区间-1,3上的图形为 则函数为()(7)设、B均为2阶矩阵,分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为()(A)(B)(C)(D)(8)设A,P均为3阶矩阵,为P的转置矩阵,且A,若,则为()()()()()二、填空题:9-14 小题,每小题 4分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上。(9)曲线在(0,0)处的切线方程为_(10)已知,则k=_(11)=_(12)设是方程确定的隐函数,则=_(13)函数在区间(0,1上的最小值为_(14)设为3维列向量,为的转置,若相似于,则=_三、解答题:15-23 小题,共 9
3、4 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分9分)求极限(16)(本题满分10分)计算不定积分(17)(本题满分10分)设,其中具有2阶连续偏导数,求与(18)(本题满分10分)设非负函数y=y(x)(x0),满足微分方程,当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。(19)(本题满分10分)求二重积分,其中(20)(本题满分12分)设y=y(x)是区间内过点的光滑曲线,当时,曲线上任一点处的发现都过原点,当时,函数y(x)满足。求y(x)的表达式。(21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数在a,b上连续,在(a,b)可导,则存在,使得。(II)证明:若函数在x=0处连续,在内可导,且则存在,且。(22)(本题满分11分)设(I)求满足的所有向量;(II)对(I)中的任一向量,证明:线性无关。(23)(本题满分11分)设二次型(I)求二次型的矩阵的所有特征值;(II)若二次型的规范形为,求a的值。