1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2
2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式：参考公式： 如果事件、互斥，那么AB()( )( )P ABP AP BU 如果事件、相互独立，那么AB()( ) ( )P ABP A P B 圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高VShSh 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高 1 3 VShSh 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合，则 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R()ACB IU ABCD 22,31,2,31,2,3,4 2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为, x y 20, 20
3、, 1, 1, xy xy x y 4zxy A2B3C5D6 3设，则“”是“”的xR 2 50xx|1| 1x A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为S A5B8C24D29 5已知抛物线的焦点为，准线为 ，若 与双曲线的两条渐近线分 2 4yxFll 22 22 1(0,0) xy ab ab 别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为AB| 4|ABOFO ABCD2325 6已知，则的大小关系为 5 log 2a 0.5 og 2 . l0b 0.2 0.5c , ,a b c ABCDacbabc
4、bcacab 7已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标( )sin()(0,0,|)f xAxA yf x 伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且 g x g x2 ，则2 4 g 3 8 f ABCD2222 8已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则aR 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f x xaxx x( )0f x R 的取值范围为a ABCD0,10,20,e 1,e 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 第卷 注意事项：注意事项： 1用
5、黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 是虚数单位，则的值为_i 5i i1 10的展开式中的常数项为_ 8 3 1 2 8 x x 11已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四25 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 12设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_aR20axy 22cos , 12sin x y a 13设，则的最小值为_0,0,25xyxy (1)(21)xy xy 14在四边形中，点在线段的延长线
6、上，ABCD,2 3,5,30ADBCABADAECB 且，则_AEBEBD AE uuu r uuu r 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分） 在中，内角所对的边分别为已知，ABC, ,A B C, ,a b c2bca3 sin4 sincBaC （）求的值；cosB （）求的值sin 2 6 B 16（本小题满分 13 分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不 2 3 影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （）用表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的
7、天数，求随机变量的分布列和数学期XX 望； （）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到M 校的天数恰好多 2”，求事件发生的概率M 17（本小题满分 13 分） 如图，平面，AE ABCD,CFAEADBC,1,2ADABABADAEBC （）求证：平面；BFADE （）求直线与平面所成角的正弦值；CEBDE （）若二面角的余弦值为，求线段的长EBDF 1 3 CF 18（本小题满分 13 分） 设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 22 22 1(0) xy ab ab FB 5 5 （）求椭圆的方程； （）设点在椭圆
8、上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的PMPBxNy 负半轴上若（为原点），且，求直线的斜率| |ONOFOOPMNPB 19（本小题满分 14 分） 设是等差数列，是等比数列已知 n a n b 112233 4,622,24abbaba， （）求和的通项公式； n a n b （）设数列满足其中 n c 1 1 1,22 ,2 , 1, , kk n k k c n c b n * kN （i）求数列的通项公式； 22 1 nn ac （ii）求 2 * 1 n ii i acn N 20（本小题满分 14 分） 设函数为的导函数( )e cos ,( ) x f xxg
9、 x f x （）求的单调区间； f x （）当时，证明；, 4 2 x ( )( )0 2 f xg xx （）设为函数在区间内的零点，其中，证明 n x( )( ) 1u xf x2,2 42 nn nN 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答数学（理工类）参考解答 一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分 1D2C3B4B5D6A7C8C 二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分 910111213141
10、328 4 3 4 4 31 三解答题 15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦 定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分 13 分 （）解：在中，由正弦定理，得，又由，ABC sinsin bc BC sinsinbCcB3 sin4 sincBaC 得，即又因为，得到，由余弦定理可得3 sin4 sinbCaC34ba2bca 4 3 ba 2 3 ca 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa （）解：由（）可得，从而， 2 15 sin1 cos 4 BB 15 sin22sin
11、cos 8 BBB ，故 22 7 cos2cossin 8 BBB 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基 础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分 （）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为， 2 3 故，从而 2 3, 3 XB 3 3 21 ()C,0,1,2,3 33 kk k P Xkk 所以，随机变量的分布列为X X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量
12、的数学期望X 2 ()32 3 E X （）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为，则，且Y 2 3, 3 YB 由题意知事件与互斥，且事件3,12,0MXYXYU3,1XY2,0XY 与，事件与均相互独立，从而由（）知3X 1Y 2X 0Y ()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XYU 824120 (3) (1)(2) (0) 279927243 P XP YP XP Y 17本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立 体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分 依题
13、意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角AAB AD AE uuu r uuu r uuu r ，xyz 坐标系（如图），可得，设(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD(0,0,2)E ，则(0)CFhh1,2,Fh （）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，(1,0,0)AB uuu r ADE(0,2, )BFh uuu r 0BF AB uuu r uuu r 又因为直线平面，所以平面BF ADEBFADE （）解：依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE uuu ruuu ruuu r 设为平面的
14、法向量，则即不妨令，( , , )x y znBDE 0, 0, BD BE uuu r uuu r n n 0, 20, xy xz 1z 可得因此有(2,2,1)n 4 cos, 9| CE CE CE uuu r uuu r uuu r n n n 所以，直线与平面所成角的正弦值为CEBDE 4 9 （）解：设为平面的法向量，则即( , , )x y zmBDF 0, 0, BD BF uuu r uuu r m m 0, 20, xy yhz 不妨令，可得1y 2 1,1, h m 由题意，有，解得经检验，符合题意 2 2 4 |1 cos, |34 3 2 h h m n m n m
15、n 8 7 h 所以，线段的长为CF 8 7 18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 13 分 （）解：设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，c 5 24, 5 c b a 222 abc5a 2,b 1c 所以，椭圆的方程为 22 1 54 xy （）解：由题意，设设直线的斜率为，又，0 ,0 PPpM P xyxM x，PB0k k 0,2B 则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可PB2ykx 22 2, 1, 54 ykx xy 22 45200kxkx 得，代入得，进而直线的斜率
16、在 2 20 45 P k x k 2ykx 2 2 8 10 45 P k y k OP 2 45 10 P p yk xk 中，令，得由题意得，所以直线的斜率为由2ykx0y 2 M x k 0, 1NMN 2 k ，得，化简得，从而OPMN 2 45 1 102 kk k 2 24 5 k 2 30 5 k 所以，直线的斜率为或PB 2 30 5 2 30 5 19本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识考查化归与转化思想n 和数列求和的基本方法以及运算求解能力满分 14 分 （）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意得解得 n ad n bq 2 66
17、2 , 6124 , qd qd 故 3, 2, d q 1 4(1) 331,6 23 2 nn nn annb 所以，的通项公式为的通项公式为 n a 31, nn anb3 2n n b （）（i）解： 222 113 21 3 219 41 nnn nnn n acab 所以，数列的通项公式为 22 1 nn ac 22 19 41 nn n ac （ii）解： 222 2 1111 2 11 nnn ii n iiiiii iiii acaa caac 1 221 2439 41 2 nn n ni i 211 4 1 4 3 25 29 1 4 n nn n 211* 27 25
18、212 nn nn N 20本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法考查函数思 想和化归与转化思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力满分 14 分 （）解：由已知，有因此，当时，有( )e (cossin ) x f xxx 5 2,2 44 xkk ()kZ ，得，则单调递减；当时，有sincosxx( )0f x f x 3 2,2 44 xkk ()kZ ，得，则单调递增sincosxx( )0f x f x 所以，的单调递增区间为的单调递减区间为 f x 3 2,2(),( ) 44 kkkf x Z 5 2,2() 44 kkk Z （
19、）证明：记依题意及（），有，从而( )( )( ) 2 h xf xg xx ( )e (cossin ) x g xxx 当时，故( )2e sin x g xx , 4 2 x 0( )g x ( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xf xg xxg xg xx 因此，在区间上单调递减，进而 h x, 4 2 ( )0 22 h xhf 所以，当时，, 4 2 x ( )( )0 2 f xg xx （）证明：依题意，即记，则， 10 nn u xf x cose1 n x n x 2 nn yxn, 4 2 n y 且 22 ecosecos2e nn yxnn nnn f
20、yyxnn N 由及（），得由（）知，当时，所 2 0 e1 n n fyfy 0n yy, 4 2 x ( )0g x 以在上为减函数，因此又由（）知， g x, 4 2 0 0 4 n g yg yg ，故 0 2 nnn fyg yy 0 2222 00000 2sincossinc eee eos e nnnn n n y nn fy y g yg yg yyyxx 所以， 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 理科综合 物理部分物理部分 理科综合共 300 分，考试用时 150 分钟。 物理试卷分为第卷(选择题)
21、和第卷两部分，第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 7 页，共 120 分。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项：注意事项： 1每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2本卷共 8 题，每题 6 分，共 48 分。 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 6 分，共分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）分。每小题给出的
22、四个选项中，只有一个选项是正确的） 12018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射， “实现人类航天器 首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹” 。已知月球的质量为、半径为，探测器MR 的质量为，引力常量为，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为的匀速圆周运动时，探测器的（ mGr ） A周期为B动能为 23 4 r GM2 GMm R C角速度为D向心加速度为 3 Gm r 2 GM R 22018 年 10 月 23 日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索（所有 钢索均处在同一竖直面内）斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。
23、下列说法正确的是（ ） A增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 B为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度 C索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下 D为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布 3如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为的带电小球，以初速度 v 从点竖直向上运动，通过mM 点时，速度大小为 2v，方向与电场方向相反，则小球从运动到的过程（ ）NMN A动能增加B机械能增加 2 1 2 mv 2 2mv C重力势能增加D电势能增加 2 3 2 mv 2 2mv 4笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁
24、体远离霍尔元件，电脑 正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为 、长为的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入方向向右的电流ace 时，电子的定向移动速度为 v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是 元件的前、后表面间出现电压，以此控制屏幕的熄灭。则元件的（ ）U A前表面的电势比后表面的低 B前、后表面间的电压与 v 无关U C前、后表面间的电压与成正比Uc D自由电子受到的洛伦兹力大小为 eU a 5如图为、三种光在同一光电效应装置中测得的光电流和电压的关系。由、组成的复色abcabc 光通过
25、三棱镜时，下述光路图中正确的是（ ） 二、不定项选择题（每小题二、不定项选择题（每小题 6 分，共分，共 18 分。每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的。全部选分。每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的。全部选 对的得对的得 6 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得分，选错或不答的得 0 分）分） 6我国核聚变反应研究大科学装置“人造太阳”2018 年获得重大突破，等离子体中心电子温度首次达到 1 亿度，为人类开发利用核聚变能源奠定了重要的技术基础。下列关于聚变的说法正确的是（ ） A核聚变比核裂变更为安全、清洁 B任何两个原子核都可以发生聚变 C两个轻核结合成质量较大的核，总质量较聚变前增加 D两个轻核结合成质量较大的核，核子的比结合能增加 7一列简谐横波沿轴传播，已知轴上和处质点的振动图像分别如图 1、图 2 所示，xx 1 1mx 2 7 mx 则此列波的传播速率可能是（ ） ABCD7 m/s
