1、圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程222210 xyabab焦点12,0,0FcFc222210,0 xyabab焦点12,0,0FcFc焦半径1020,PFaex PFaexe为离心率，0 x为点P的横坐标.1020,PFexa PFexae为离心率，0 x为点P的横坐标.焦半径范围acPFacP为椭圆上一点，F为焦点.PFacP为双曲线上一点，F为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba如图，直线l过焦点1F与椭圆相交于,A B两点.则2ABF的周长为4a.（即224F AF BABa）如图，直线l过焦
2、点1F与双曲线相交于,A B两点.则224F AF BABa.焦点弦倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点.焦点弦长222222sinabABabb.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点.焦点弦长222222sinabABabb.AF与BF数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，则2112aAFBFb.直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点，则2112aAFBFb.已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则bPOa.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则POa.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知12FPF，12PFF
3、，21PF F，则（1）1 22tan2PF FSb；（2）离心率sinsinsine.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知12FPF，12PFF，21PF F，则（1）1 222cot2tan2PF FbSb；（2）离心率sinsinsine.垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OMABbkka.如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OMABbkka.（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端点），P是椭圆上异于,A
4、B的一点，则22PAPBbk ka.推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PAPBbk ka 如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是双曲线上异于,A B的一点，则22PAPBbk ka.推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PAPBbk ka.直线l过焦点,0F c与椭圆相交于,A B两点，点2,0aPc，则APFBPF（即0PAPBkk）.直线l过焦点,0F c与双曲线相交于,A B两点，点2,0aPc，则APF
5、BPF（即0PAPBkk）.切线方程已知点00,P xy是椭圆上一点，则椭圆在点P处的切线方程为00221x xy yab.已知点00,P xy是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为00221x xy yab.双曲线的结论1过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：设斜率为k的直线l过定点0,0Ptt，双曲线方程为222210,0 xyabab，过点P与双曲线相切时的斜率为0k.（1）当0bka时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；（2）当bka时，直线l与双曲线只有一个交点；（3）当0bkka时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的
6、同一支上；（4）当0kk时，直线l与双曲线只有一个交点；（5）当0kk时，直线l与双曲线没有交点.2如图，,0F c是双曲线222210,0 xyabab的焦点，过点F作FH垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为H，O为原点，则,OHa FHb.3点P是双曲线222210,0 xyabab上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定值2222a bab.4点P是双曲线222210,0 xyabab上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于,M N两点，O为原点，则平行四边形OMPN的面积为定值2ab.抛物线的结论如图，抛物线方程为20ypx p，准线2px 与x轴相交于点P，
7、过焦点,02pF的直线l与抛物线相交于11,A x y，22,B xy两点，O为原点，直线l的倾斜角为.1212212,4.px xy yp 2焦半径：12pAFx，22pBFx，12ABxxp.3焦点弦：22sinpAB.4,AF BF的数量关系：112AFBFp，22sinpAF BF.5三角形AOB的面积22sinAOBpS.6以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切.7直线,PA PB的斜率之和为零（0PAPBkk），即APFBPF.8点,A O N三点共线；点,B O M三点共线.9如图，点,A B是抛物线20ypx p，O为原点，若90AOBo，则直线AB过定点2,0p.
