1、辽宁省部分重点中学协作体 2009 年高考模拟考试数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分。考试时间 120分钟。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式2P(A+ B)= P(A)+ P(B) S 4 R如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径P(AB)= P(A) P(B) 球的体积公式4如果事件 A 在一次试验中发生 3V球 R3的概率是 P，那么 n 次独立重复 其中 R 表示球的半径试验中 A 恰好发生 k 次的概率 k k n knPn (k) C P (1 P) (k 0,1, 2, , n)第卷（选择题 共
2、60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21抛物线 x 2y的准线方程是 （ ）A1y B81y C81y D2y122设复数3iz 1 i ,则 等于 （ ）21 1A i2 21 1B i2 21 1C i2 21 1D i2 23在直线 AB 上，点 A 的坐标是（ 1，2），向量 AB (2, 1) ，则直线 AB 的方程为（ ）A x 2y 5 0 B x 2y 3 0C 2x y 4 0 D2x y 04已知 ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b,c,且A ,a 3, b 1，
3、则角3B 等于 （ ）A B C2 656D6或565已知 m, n 是不同的直线， , 是不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）A若 m n,n ,则mB若 m/ n,n ,则m/C若 ,m ,则mD若 / ,m ,则m/6若按照右侧程序框图输出的结果为 4，则输入的 x所有可能取值的和等于 （ ）A0 B1C2 D317已知幂函数 y f ( x) 的图象经过点 (4, ),则f (2) = （ ）2A14B4 C22D 28 已 知 正 项 等 比 数 列 an 满足log2 a1 log2 a2 log2 a2009 2009 ， 则l o 2g( a1 a2 0 0) 的9 最小值为
4、 （ ）A1 B32C2 D log2 20092 x g x ax2 bx c y f x y g x9已知函数 f (x) x 2 2, ( ) ,若 ( )的图象与 ( ) 的图象关于点（ 2，0）对称，则 a b c等于（ ）A5 B-5 C1 D-110现有六名学生站成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻，丙、丁两人也不能相邻，则不同的站排方法共有 （ ）A408 种 B336 种 C264 种 D240 种11已知函数 (x) sin( x)f ，则要得到其导函数 y f (x) 的图象， 只需将函数3y f (x) 的图象 （ ）A向左平移23个单位 B向右平移23个单位C向左平移
5、个单位个单位 D向右平移2 22 b x a12已知 0 a 1,0 b 1,则函数f (x) x loga 2 logb 8 的 图象恒在 x 轴上方的概率为 （ ）A14B34C13D23第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必答题和选答题两部分， 第 13 题第 21 题为必答题， 每个试题考生都必须作答，第 22 题为选答题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。13一个几何体的三视图如图所示，主视图、左视图、俯视图均为腰长为 1 的等腰直角三角形，则其外接球的表面积为 。1 214若 sin( ) ,则cos( 2 ) = 。6 3 32
6、y2 x15已知双曲线 1的左、右焦点分虽为 F1、F2，过点16 12F1作直线 l 交双曲线的左支于 A、B 两点，且 | AB 8,则三角形 ABF 2 的周长等于 。16已知在四面体 ABCD 中，各棱长均为 1，点 E 是线段 BC 的中点，则 AE CD 等于 。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17（本小题满分 10）已知盒子中有 4 个红球， n 个白球，若从中一次取出 4 个球，其中白球的个数为 X，且E(X )127.（I）求 n 的值；（II ）若从中不放回地逐一抽取，取到所有白球则停止抽取。在前 3 次取球中恰取到
7、1个白球的条件下，共需取球 Y 次，求 Y 的分布列和 E（Y）。18（本小题满分 12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形， ADC DCB , AD 1, BC 3 ，2PC=CD=2 ， PC 平面 ABCD ，E 是线段 AB 的中点。（I）求证： DE 平面 PAC；（II ）求二面角 BPAC 的大小。19（本小题满分 12 分）1 3*已 知 数 列 an满足 : a ,a ,2a a a (n 2, n N ), 数列b 满1 2 n n 1 n 1 n4 4*足： b1 0,3bn bn n(n 2,n N ),数列bn 的前n项和为Sn .1（I）求证：数列 bn
8、 an 为等比数列；（II ）求证：数列 bn 为递增数列；（III ）若当且仅当 n 3时, Sn取得最小值 ,求b1 的取值范围。20（本小题满分 12 分）2x 13 2已知函数 f ( x) 2 , g(x) ax a x(a 0).x 1 3（I）当 x 0,3时,求f (x) 的值域；1（II ）对于任意 x1 0,3, 总存在 x2 0,3, 使f (x1) g( x0 ) 成立，求实数 a 的取值6范围。21（本小题满分 12 分）2 2x y已知椭圆 1(a b 0)2 2a b的长轴长为 4，离心率为12，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点， 过点 P 作椭圆的切线 l ，
9、交 y 轴于点 A ，直线 l 过点 P 且垂直于 l ，交 y 轴于点 B。（I）求椭圆的方程；（II ）试判断以 AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由。22请考生在 A 、B、C 三题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。A（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， AB 、CD 是圆的两条平行弦， BE/AC ，并交 CD 于 E，交圆于 F，过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P，PC=ED=1 ，PA=2。（I）求 AC 的长；（II ）求证： EF=BE。B（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l : s
10、in( ) 4和圆C : 2k cos( )(k 0), 若直线 l 上的点到4 4 圆 C 上的点的最小距离等于 2。（I）求圆心 C 的直角坐标；（II ）求实数 k 的值。C（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f ( x) | 2x 1| | 2x 3| .（I）求不等式 f ( x) 6的解集；（II ）若关于 x 的不等式 f (x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围。参考答案一、选择题：DDABD ACCBB CD二、填空题：13 3 14三、解答题：791532 161417解：（I） X 服从超几何分布E(X ) 4n4 n127n 3 3 分2A 12
11、（II ） P(Y 5) , 5 分2A 641 1 2C C A 12 2 2P(Y 6) , 7 分3A 341 3C A 12 3P(Y 7) 9 分4A 24Y 5 6 7P1 1 16 3 2 10 分1 1 1 19E(Y) 5 6 7 12 分6 3 2 318解：（）取中点，连接，1则EF CD , EF (AD BC) 22AD DF 1, CD EF 2,CDA EFD 90CDA EFDDAC FDEEDA FDE 90EDA DAC 90 DE AC 4 分PC 平面 ABCD, PC DEDE 平面 PAC 6 分（II ）以点 C 为坐标原点，分别以 CD，CB，C
12、P 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则C (0,0,0), D (2,0,0), B( 0,3,0), P( 0,0,2), A( 2,1,0), E (1,2,0)DE 平面 PAC平面 8 分PAC的一个法向量为 DE ( 1,2,0)设平面 PAB 的一个法向量为 n (x, y, z) ，由 PA ( 2,1, 2), PB (0,3, 2) ，得2x3yy2z2z00不妨令3x 1,则y 1, z ，23即 n (1,1, ) 10 分2cos DE,n( 1) 1 2 1 0175232285852 85二面角 B PA C arccos . 12 分的
13、大小为85*19解：（I） 2an an 1 an (n 2,n N )1an 是等差数列又 1a1 ,a 4234 1 1 2n 1an (n 1) 2 分 4 2 4 1 n *bn bn 1 (n 2,n N 3 3)1 n 1 2n 1 1 2n 1 1bn an bn bn (bn1 13 3 4 3 12 32n41)13(bn a ) 5 分n1又 b1 a b 01 141bn an是b1 为首项，以413为公比的等比数列 6 分（II ）1 1n 1b a (b ) ( ) ,ann n 14 32n41bn(b114)(13)n 12n41当n 2时1 2 1 1n,bn
14、b 1 (b )( )n 12 3 4 32又b1 0 bn bn 1 0bn 是单调递增数列 9 分（III ） 当且仅当 n 3时, Sn取最小值b30b405 1 12(b )( ) 014 4 3即 ,7 1 13(b )( ) 014 4 3b ( 47, 11) 12 分122 2x 2(1 x)(1 x)20解：（I）f (x)(2x21)(2x1)2x 0 （0，1） 1 （1，3） 3+ 0 -f (x)f (x)0 135函数f ( x)的值域为 0,1 3 分1（II ）设 x 0,3 时，函数 y g(x) 的值域为 A，6对于任意 ，x 0,311总存在 x2 0,3
15、, 使f (x1 ) g( x2 )6 0,1 Ag (x)2 a a x a2 2ax ( )（1）当 a 0时, x (0,3)时，g (x) 0,函数g( x)在( 0,3) 上单调递减，g (3) g(x) g(0)g(0) 0不满足 6 分 0,1 A（2）当 a 0 时，g (x) a(x a)(x a),令 g ( x) 0,x1 a或x2 a （舍去）当 0 a 3,即0 a 9时，列表如下：x 0(0, a) a ( a ,3)3- 0 +g ( x)g( x)023a2a29a 3ag(0) 0, g( a) 0,若 0,1 A，1 1 2则 g (3) (9a 3a )
16、16 61 a 2 9 分当 a 3,即a 9时， x (0,3)时，g (x) 0,函数 g( x)在( 0,3) 上单调递减g (3) g(x) g(0)g (0) 0,不满足 11 分 0,1 A综上，实数 a的取值范围是 1 a 2. 12 分21解：（I）2a 4,ca12a 2,c 1,b 32 y2 x椭圆方程为 1 2 分4 3（II ）设点 P( x0 , y0 )( x0 0, y0 0),直线 l 的方程为 y y0 k(x x0 ),2 y2x代入 1,4 32 x k y kx x y kx2 2整理，得 (3 4k ) 8 ( ) 4( ) 12 00 0 0 0x
17、 x 是方程的两个相等实根08k( y kx0 02x0 3 42k)解，得3x0k 6 分4y0直线l的方程为 y3x0y0 (x x04y0)2 24y 3x0 0令 x 0，得点 A 的坐标为 (0, )4y02 2x0 y0又 14 32 24y0 3x012点A的坐标为(0,3y0)4y0又直线 l 的方程为 y y0 ( x x )03x0y0令 x 0，得点 B 的坐标为 (0, )38 分以AB为直径的圆方程为x x ( y3y0)(yy03)0y 32 2 y0整理，得 x y ( ) 1 0 10 分3 y0令 y 0,得x 1,以 AB 为直径的圆恒过定点（ 1，0）和（
18、 -1，0）。 12 分2 PC PD PA PC22 A解：（I） PA , 2, 1PD 4，又 PC ED 1, CE 2 3 分PAC CBA, PCA CAB,PAC CBAPC ACAC AB2 PC ABAC 2AC 2 7 分（II ） CE ED BE EF, BE AC 2EF2122EF BE 10 分B解：（I） 2k cos 2k sin2 k k2 cos 2sin2 y kx ky2圆C的直角坐标方程为 x 2 2 0 2 分即2 22 )2(x k) ( y k k2 222 2圆心的直角坐标为 ( k, k) 4 分2 2 2 2（II ） sin cos 4 2 2直线l的直角坐标方程为 x y 4 2 0 6 分|22k22k42| | k | 22即| k 4 | 2 | k |, 8 分两边平方，得 | k | 2k 3kk02k或2k 0 k2k 3解，得 k 1, 10 分C解：（I）原不等式等价于x32或12x32(2x 1) (2x 3) 6 (2x 1) (2x 3) 6x12或3 分(2x 1) (2x 3) 6解，得321 3x 2或 x 或2 21x12即不等式的解集为 x | 1 x 2 6 分（II ） | 2x 1| | 2x 3 | | (2x 1) (2x 3) | 4 8 分a 4 10 分
