1、山柳讲数学 1 第第六六学学 最值问题解题策略最值问题解题策略 【基础要点基础要点】 初中阶段，几何方面求线段的最值问题，离不开两句话 让我们一起大声喊出来： 两点之间，线段最短； 垂线段最短 基本模型：将军饮马，胡不归，阿氏圆 【典型例题典型例题】 模型模型 1：将军饮马将军饮马 模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都 要巡查河岸侧的两个军营 A、 B， 他总是先去 A 营， 再到河边饮马， 之后再去 B 营， 如图 ， 他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图，作 B 关于直线 l 的对称
2、点 B，连接 AB与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答 （1）理由：如图，在直线 L 上另取任一点 C，连接 AC，BC，BC， 直线 l 是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l 上 CB=，CB= AC+CB=AC+CB= 在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即 AC+CB 最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从 而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其 中 C 为 AB与 l 的交点，即 A、C、B三点共线） 本问题可拓
3、展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型 （2）模型应用 1如图 ，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点 求 EF+FB 的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称，连结 ED 交 AC 于 F，则 EF+FB 的最小值就是线段的长度，EF+FB 的最小值 是 2如图，已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值是； 山柳讲数学 2 3如图，一次函数 y=2x+
4、4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 O 为坐标原点，点 C 与点 D 分别为线段 OA，AB 的中点，点 P 为 OB 上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写 出取得最小值时 P 点坐标 图 （3）拓展迁移 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为 x=1，且抛物线经过 A（1，0）、C（0， 3）两点，与 x 轴交于另一点 B 求这条抛物线所对应的函数关系式； 在抛物线的对称轴直线 x=1 上找到一点 M，使ACM 周长最小，请求出此时点 M 的坐标 与ACM 周长最小值（结果保留根号） （4）代数应用：求代数式3664 2 2 xx（0x6）的最小值 山柳
5、讲数学 3 模型模型 2：胡不归胡不归 有一则历史故事： 说的是一个身在他乡的小伙子， 得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了人们告诉他，在弥留之际， 老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线 （如下图） A 是出发地， B 是目的地；AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地为了急切回家，小伙子选择 了直线路程 AB 但是， 他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素 如果他能选择一条合 适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的 那么，这应该是那
6、条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在 AC 上选定一点 D，小伙子从 A 走到 D，然后从 D 折往 B，可望最早到达 B用现代的科学 语言表达，就是： 若在驿道上行走的速度为 1 V，在沙地上行走的速度为 2 V，即求 21 V BD V AD 的最小值. 【模型分析】如图，已知点（6，0），B（0，2 3），点 P 是 x 轴上的一动点，求 PBPA 2 1 的最小值 山柳讲数学 4 模型模型 3：阿氏圆阿氏圆 问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上 一动点，连结 AP、BP，求 AP+BP 的最小值
7、（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上 取点 D，使 CD=1，则有=，又PCD=BCP，PCDBCP=， PD=BP，AP+BP=AP+PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是上一点， 求 2PA+PB 的最小值 山柳讲数学 5 【巩固训练巩固训练】 1某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线 l 同旁有两个定点 A、B，在直 线 l 上存
8、在点 P，使得 PA+PB 的值最小解法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB， 则 AB 与直线 l 的交点即为 P，且 PA+PB 的最小值为 AB请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图 1，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2，E 是斜边 AB 的中点，P 是 AC 边上的一动点，则 PB+PE 的最小值为； （2）几何拓展：如图 2，ABC 中，AB=2，BAC=30，若在 AC、AB 上各取一点 M、N 使 BM+MN 的值最小，求这个最小值； （3）代数应用：求代数式（0x4）的最小值 2 如图， 抛物线y=x22x3与x轴交于A、 B两点， 过B的直线
9、交抛物线于E， 且tanEBA=， 有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的 速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s 3如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0， ），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求PB+PD 的最小值 山柳讲数学 6 4如图所示，已知抛物线 y=a（x+3）（x1）（a0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，
10、与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y=x+b 与抛物线的另一个交点为 D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接 BE一动点 Q 从 点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒个单位 的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最 少？ 5如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上一动点， 求PC+PD 的最小值 6如图，直线 yx2 与抛物线 yx 22mxm2m 交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧）， 与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M （1）若 P 为直线 OD 上一动点，求APB 的面积； （2）当四边形 CODM 是菱形时，求点 D 的坐标； （3）作点 B 关于直线 MD 的对称点 B，以 M 为圆心，MD 为半径作M，点 Q 是M 上一 动点，求 QB 2 2 QB 的最小值
