1、二 绝对值不等式 1. 绝对值三角不等式 【自主预习】【自主预习】 1.1. 绝对值的几何意义绝对值的几何意义 原点原点 距离距离 长度长度 a a 2.2. 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 (1)(1) 定理定理 1:1: 如果如果 a,bR,a,bR, 则则 | |a+b|_,a+b|_, 当且仅当且仅 当当 _ 时时 , , 等号成立等号成立 . . (2)(2) 定理定理 1 1 的推广的推广 : : 如果如果 a,ba,b 是实数是实数 , , 则则 |a|-|b|a|-|b| |ab|a|+|b|.|ab|a|+|b|. |a|+|b|a|+|b| ab0ab0 (3)(3) 定
2、理定理 2:2: 如果如果 a,b,cR,a,b,cR, 那么那么 |a-c|a-b|+|b-|a-c|a-b|+|b- c|,c|, 当且仅当当且仅当 _ 时时 , , 等号成立等号成立 . . (a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0 【即时小测】【即时小测】 1.1. 已知已知 a,bR,a,bR, 则使不等式则使不等式 |a+b|0B.a+b0D.abm 时时 , , 求证求证 : m 1, 所以 | x2| | b| . 又因为| x| m | a| , 所以 故原不等式成立 . 2 2222 abxxabab | |2, xxxxxx xx +=+a 的解集不是的解集不是 R,
3、R, 求求 a a 的取值范围的取值范围 . . 【解析】只要 a 不小于 | x-3| +| x+1| 的最小值, 则| x-3| +| x+1| a 的解集不是 R, 而 | x-3| +| x+1| =| 3-x| +| x+1| | 3-x+x+1| =4, 当且仅当 (3-x)(x+1) 0, 即 -1 x 3时取最小值4, 所以 a 的取值范围是 4, +). 【方法技巧】【方法技巧】求求 f(x)=|x+a|+|x+b|f(x)=|x+a|+|x+b| 和和 f(x)=|x+a|-|f(x)=|x+a|-| x+b|x+b| 的最值的三种方法的最值的三种方法 (1)(1) 转化法
4、转化法 : : 转化为分段函数进而利用分段函数的性转化为分段函数进而利用分段函数的性 质求解质求解 . . (2)(2) 利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解 , , 但要但要 注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值 . . (3)(3) 利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义 . . 【变式训练】【变式训练】已知已知 xR,xR, 求函数求函数 f(x)=|x+1|-|x-2|f(x)=|x+1|-|x-2| 的的 最大值最大值 . . 【解析】根据绝对值的三角不等式 , , 有 |x+1|-|x-2| |x+1
5、|-|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3.|(x+1)-(x-2)|=3. 当且仅当 x x2 2 时等号成立 . . 故函 数 f(x)=|x+1|-|x-2|f(x)=|x+1|-|x-2|3,3, 所以最大值为3.3. 类型三类型三 绝对值三角不等式的综合应用 绝对值三角不等式的综合应用 【典例】【典例】 (2014(2014 全国卷全国卷 ) ) 设函数设函数 f(x)= +|x-a|f(x)= +|x-a| (a0).(a0). (1)(1) 证明证明 :f(x)2.:f(x)2. (2)(2) 若若 f(3)3时, f(3)=a+ , 由 f(3)u2. 又在 -1, 1 上
6、 u0, 故 l gu 1l gu2, 得 f(x1)f(x2), 所以 f(x) 在 -1, 1 上是减函数 . (2) 因为 所以 11111 | t| t| |(t)(t)| 66663 -+-+=， 11111 | t| t| | t(t)| 66663 +-=， 1111 | t| t|. 3663 -+ 由 (1) 的结论, 有 1111 f( )(| t| t|)f(). 3663 -+ 17113 f( )lgf()lg 310310 71113 lg | t| t| lg . 106610 =-= -+ 而， 所以 自我纠错自我纠错 绝对值不等式在证明中的应用 绝对值不等式在
7、证明中的应用 【典例】【典例】求证求证 : : abab . 1ab1a1b + + 【失误案例】【失误案例】 分析解题过程分析解题过程 , , 找出错误之处找出错误之处 , , 并写出正确答案并写出正确答案 . . 提示 : : 错误的根本原因是用错了绝对值不等式 , , 不能保 证1+|a+b|1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|a|,1+|a+b|1+|b|1+|b| 成立 . . 正确解答 过程如下 : : 【解析】当 | a+b| =0时, 显然成立 . 当 | a+b| 0时, 所以不等式成立 . abab11 11 1ab1ab 11 abab abab 1ab1ab1a1b + = + + + =+ + ，
