1、直角三角形的全等判定及性质内容分析直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲1、 直角三角形全等的判定方法：（1） 直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2） 直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“HL”）例题解析【例1】 如图，D=C=90，请添加一个条件，使得ABCBAD，并在括号内写出判定的依据。（1）AD=_()；BAC
2、D（2）DAB=_ ()【难度】【答案】【解析】ABCDEFGOH【例2】 已知：如图，EFAD，BCAD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有_对【难度】【答案】【解析】【例3】 下列命题中，正确的个数是()两条边分别相等的两个直角三角形全等；斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；斜边相等的两个等腰直角三角形全等A3B2C1D0【难度】【答案】【解析】【例4】 已知：如图，ACBC，ADBD，AD=BC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F， EABCDF求证：CE=DF【难度】【答案】【解析】ABCDE【例5】 如图，已知：RtABC中，ACB是直角，D是AB上一点，BD=
3、BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE【难度】【答案】【解析】【例6】 如图，ABC中，ABBC，AD平分BAC，DFAC，ED=CD求证：AC =AE+2BEABCDEF【难度】【答案】【解析】【例7】 如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由ABCDEFGABCDEFG图2图1【难度】【答案】【解析】【例8】 在直角ABC中，AB=AC，BAC=90，直线l为经过点A的任一直线，BDl于点D，CEl于点E，若BDCE，试问：（1） AD
4、与CE的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试ABCDEl【难度】【答案】【解析】【例9】 如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E（1） 若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：ABACABCDE图2ABCDE（2） 若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由【难度】【答案】【解析】图1【例10】 如图，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EFCD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，
5、求证：DE=EGABCDEFG【难度】【答案】【解析】模块二：直角三角形的性质知识精讲2、 两个性质：（1） 直角三角形的两个锐角互余；（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的例题解析ABCD【例11】 如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D： （1）若B=55，则A=_； （2）若BA=10，则B=_； （3）图中与A互余的角有_，与A相等的角有_【难度】【答案】【解析】ABCDMN【例12】 如图，已知，四边形ABCD中，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD中点求证：MNBD【难度】【答案】【解析】ABCD
6、E【例13】 如图，在RtABC中，C=90，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设A=y，DFC=x，（1）求证：CDB=CEB；（2）用x的代数式表示y【难度】【答案】【解析】ABCDPF【例14】 如图中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，BF=DC，P是CF中 点 求证：（1）；（2）【难度】【答案】【解析】ABCDEFOM【例15】 如图，交于点O，且BD=BO，CA=CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，求证：【难度】【答案】【解析】【例16】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别是AD、BC的中点，若B与ABCDMNC互余，则MN与(BCA
7、D)的关系是什么?【难度】【答案】【解析】【例17】 如图，已知在钝角ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点（1）求证：FDG=90；BEFHDAGC（2）连结FG，试问FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由【难度】【答案】【解析】ABCDE12【例18】 如图，等腰直角三角形ABC中，ACB90，AD为腰CB上的中线，CEAD交AB于E求证：CDAEDB【难度】【答案】【解析】【例19】 如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF、CE，
8、取AF、CE的中点M、N，连接MB、NB、NM（1） 若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABE=FBC=90，如图1所示，则MBN是_三角形；（2） 若ABE和FBC中，BA=BE，BC=BF，且ABE=FBC=，如图2所示，则MBN是_三角形，且MBN=_；ABCMEFN图2ABCNEFM图1ABCEFNM图3（3） 若（2）中的ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明【难度】【答案】【解析】ABCDEFNHM【例20】 已知，如图，在ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE
9、交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、M求证：MN是线段EF的中垂线【难度】【答案】【解析】模块三：直角三角形性质的推论知识精讲3、 推论：（1） 在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半；（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30例题解析【例21】 （1）ABC中，AB=AC=6，B=30，则BC边上的高AD=_；（2）ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角BAC=_【难度】【答案】【解析】ABCDE【例22】 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC的度数为_【难度】【答案】【解析】AB
10、CDNM【例23】 已知：如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：【难度】【答案】【解析】【例24】 已知：如图，RtABC和RtABD中，DA=DB，ADB=90，BC=AB，ACB=90，DEAB，联结DC，求EDC的大小【难度】【答案】【解析】ABCD【例25】 已知如图，在直角ABC中，ACB=90，A=30，D为AB上一点，且BD =AB求证：CDAB 【难度】【答案】【解析】【例26】 已知等边ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，过点B作BGAD，垂足为G，（1） 求FG：BF的值；ABCDEFG（2）
11、 若D、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由 【难度】【答案】【解析】【例27】 在ABC中，已知A=60，BEAC于E，CFAB于F，点D是BC中点. （1）如果AB=AC，求证DEF为等边三角形；ABCDEFM（2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度【难度】【答案】【解析】【例28】 已知MAN，AC平分MAN，（1）在图1中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC. （2）在图2中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则(1)中
12、的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ABCDMNNABCDM【难度】【答案】【解析】随堂检测【习题1】 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A 两条直角边对应相等B 斜边一个锐角对应相等C 一条直角边和一条斜边对应相等D 一条边和一个角对应相等【难度】【答案】【解析】【习题2】 如图在ABC中，ACB=90，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则DCE=_【难度】【答案】【解析】【习题3】 如图在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，A=30，则AD =_ABABCD【难度】【答案】【解析】ABCDE【习题4】 如图，在直角ABC在，ACB=90，AB=8c
13、m，D为AB的中点，DEAC于E，A=30，求BC、CD和DE的长【难度】【答案】【解析】ABCDEH【习题5】 如图，ABC中，ADBC于点D,BEAC于点E，交AD于点H，且AD=BD，AC=BH，连接CH求证：ABC=BCH【难度】【答案】【解析】ABCDEF【习题6】 如图，已知，在锐角三角形ABC中，ABC=2C，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，求证：BF=BD【难度】【答案】【解析】ACBEFD【习题7】 如图，在ABC中，BEAC于点E，CFAB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、DE（1） 求证：ED=DF；（2） 若DEF是等边三角形，
14、则ABC应满足什么条件?【难度】【答案】【解析】【习题8】 如图，ADBC，且BDCD，BD = CD，AC = BC求证：AB = BOABDOC【难度】【答案】【解析】ABCDEG【习题9】 已知：如图在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE，DGCE，垂足为点G求证：AEC=3DCE【难度】【答案】【解析】ABCDFE【习题10】 如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的一点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，CFBE. 求AF：BF的值【难度】【答案】【解析】【习题11】 如图，在直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，以AB为边向外作等边三
15、角形ABD，AEBD于点E，AE交CD于点M.（1） 线段DM与线段BC有怎样的数量关系?并证明；（2） 若ABC于ABD在AB的同侧，CD的延长线与AE的延长线交于点M，请在图2中画出ABD与点M；线段DM与BC仍有（1）中的数量关系吗?并证明ABCDME图1ABC图2【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A0B1C2D3【难度】【答案】【解析】【作业2】 （1）直角ABC中，C=90，CDAB，点E是A
16、B的中点，ACD=25，则ECB=_；ABCE（2）直角ABC中，C=90，CDAB，点E是AB的中点，DCE=10，则B=_【难度】【答案】【解析】DABCDE【作业3】 如图，中，则=_，=_【难度】【答案】【解析】【作业4】 （1）等腰三角形底角是75，腰长为9，则此三角形的面积是_；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_【难度】【答案】【解析】【作业5】 已知：ABBC，DCBC，点E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CDABCDE【难度】【答案】【解析】【作业6】 已知：如图，ABC中，B=40，C=20，DACA，求证：CD=2AB
17、ABCD【难度】【答案】【解析】ABCDE【作业7】 如图，已知：ABC中，AB=AC，A=60，BD=CD，BEAC，DEBE，求证：4BE=AC.【难度】【答案】【解析】ABCDEF【作业8】 在等腰直角ABC中，D是斜边AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且AE=CF，联结DE、DF、EF，试判断DEF的形状，并加以证明【难度】【答案】【解析】ABCDMNO【作业9】 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，AC、BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点（1） 求证：MNBD；（2） 当BAC=15，AC=10，OB=OM时，求MN的长【难度】【答案】【解析】【作业10】 已知：等腰直角ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D是线段BC上的一点，且BP=PD，过点D作AC边上的高DE，求证：PE=BOABCDPEO【难度】【答案】【解析】【作业11】 如图1，已知点D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点（1） 求证：BMD为等腰直角三角形；（2） 将ADE绕点A逆时针旋转45，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；图1ABCDEMABCDE图2MB（3） 将ADE绕点A逆时针旋转135，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由【难度】【答案】【解析】
