1、导数与微分一、导数概念1.自变量增量：2.函数增量：3.导数定义：第1页导数与微分即导数为函数增量与自变量增量比极限第2页导数与微分第3页导数与微分二、导数物理和几何意义1.物理意义：表示运动物体瞬时速度即：2.几何意义：表示曲线yf(x)在x0处切线斜率即 若切点为 则曲线在 切线方程为：法线方程为：第4页导数与微分第5页导数与微分三、基本求导公式：第6页导数与微分第7页导数与微分第8页导数与微分四、求导法则若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则第9页导数与微分1.求以下函数导数第10页导数与微分第11页导数与微分第12页导数与微分2.复合函数求导第13页导数与微分注：复合函数求导法则关
2、键在于：（1)将复合函数分解成若干个基本初等函数；（2)分别求出这些函数导数并相乘；（3)将所设中间变量还原第14页导数与微分第15页导数与微分第16页导数与微分第17页导数与微分第18页导数与微分第19页导数与微分第20页导数与微分例5：证实：偶函数导数是奇函数。证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)u=-x第21页导数与微分3.隐函数求导法则：隐函数：由含x，y方程F(x,y）0给出函数称为隐函数。有些方程，能够从中解出y，将y表示成x显函数形式。如：有些方程则不能解出y，如 等，对于这么隐函数可无须解出y，而是将y作为x函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数第22页导数与微
3、分隐函数求导法则：将y作为x函数，yy(x)，于是F(x，y(x)）0对方程两边x求导，遇y时，将y作为中间变量，利用复合函数求导法则对y求导再乘 得到一个含方程，最终从新方程中解出第23页导数与微分例6：求以下函数导数第24页导数与微分第25页导数与微分第26页导数与微分第27页导数与微分第28页导数与微分第29页导数与微分第30页导数与微分注：对一些较复杂乘积，商或根式函数求导时，可利用先取对数后求导方法计算第31页导数与微分5.参数方程求导法则第32页导数与微分第33页导数与微分五、函数微分1.微分定义:设函数y=f(x)在点x0处可导,是自变量x增量,则称 为函数f(x)在x0处关于x
4、微分.记为:,即2.函数可微条件:定理:函数y=f(x)在x点可微充分必要条件是y=f(x)在x点处可导.即：函数可微 存在,则函数可导且 ,反之,函数可导,既 存在,则 从而函数可微.第34页导数与微分第35页导数与微分第36页导数与微分第37页导数与微分第38页导数与微分3.微分公式第39页导数与微分第40页导数与微分4.微分法则第41页导数与微分例10 求以下函数微分：第42页导数与微分第43页导数与微分5.一阶微分形式不变性：若u为自变量,yf(u),则,若u为中间变量,从而不论u是自变量还是中间变量其微分形式不变,皆为dy=f(x)du.我们将微分这一性质称为一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性能够方便求出复合函数和隐函数微分和导数。第44页导数与微分第45页导数与微分第46页导数与微分第47页导数与微分例12 求以下隐函数微分和导数第48页导数与微分第49页导数与微分第50页导数与微分6.微分在近似计算中应用第51页导数与微分第52页导数与微分第53页
