1、南京 *大学 高数教研室微积分微积分教学课件教学课件第1页 第五章 导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 内容导航前前 言言理论基础：中值定理理论基础：中值定理一阶导数应用一阶导数应用 二阶导数应用二阶导数应用数学建模：最优化模型数学建模：最优化模型第2页 第五章 导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 前前 言言本章我们深入用导数来研究函
2、数特征，并由此处理一些实际问题。导数可应用于求各种改变率，如求变速直线运动速度、加速度、切线斜率，经济边际等问题。用数学处理实际问题，可统称为数学建模数学建模。最终介绍微分概念及应用 第3页 5-1 理论基础:中值定理精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 拉格朗日中拉格朗日中值定理定理 设函数因为y=f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，则必定在（a，b）内最少存在一点x0使得如图所表示xy0bax0y=f(x)第4页 5-1 理论基础:中值定理精品课程v
3、序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1 1 试证当x0时，有令f(t)=ln(1+t)，则f(t)在0，x上满足拉格朗日中值定理，则其中即因为所以 证证第5页 5-1 理论基础:中值定理精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例2 2 试证当有则yf(x)在a，b是增函数。任，因为说明可用中值定理有其中由已知，故，证得f(x)在a，b递增。证证在a，b存在；
4、应用此中值定理注意（结构）什么函数在什么区间上利用。应用此中值定理注意（结构）什么函数在什么区间上利用。拉格朗日中值定理是导数与函数联络桥梁拉格朗日中值定理是导数与函数联络桥梁。第6页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 函数单调性判定函数单调性判定设函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b连续，（，（a,ba,b）可）可导，那么，那么例例3 3 判别函数 单调性解 第7页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v
5、第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例4 4 求函数单调区间。令得，解解函数定义域为数轴上讨论，如图 x-13yy+_+在 区间取 代入得 在 区间取x=0 代入得 区间取代入得在得 函数在和上递增；在上递减。第8页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 主要主要说明明:，解题步骤：1.求导；2.令，求驻点xi和奇点xi（y不可导点，见下例）；首先求出函数定义域，因为要把函数定义
6、域讨论完，技巧是只须取一好计算点x0，这有“投石问路”方法技巧。确定函数单调区间依据为：点）（.数轴上以xi（驻点、奇点可统称为分界点）分区间讨论正负号，得结论。以及定义域外不讨论单调性；关于讨论一个区间上 符号，第9页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例5 5 确定函数定义域为单调区间。解解因为则无驻点；则x=0为奇点当x=0时不存在，（也能够是单调区间分界点）讨论 得函数在递减，递增。第10页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函
7、 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 函数极大值和极小值函数极大值和极小值定定义 设函数yf(x)在（a，b）有意义，若x0附近函数值都大于（或都小于）f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)一个极大极大极大极大值值（或极小值），点x0叫函数f(x)极大极大值点点（或极小值点）。函数极大值和极小值统称为极极值。极大值点和极小值点统称为极极值点点。注意注意:极值是局部局部概念-局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。第11页 5-2 一阶导数应用精
8、品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 怎样求函数极值？怎样求函数极值？以下列图所表示：可见，极值与函数单调性亲密联络，极值就是函数单调区间分界点。因而能够经过求单调区间来求极值。因而能够经过求单调区间来求极值。xy0y=f(x)x1x2x3x4第12页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例6 6 求函数极值。f(x)定义域为令解解
9、得驻点讨论如图 x1极大2极小yy+_+得，当x=1时，函数有极大值f(1)=2；当x=2时，函数有极小值f(2)=1。第13页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 说明明 求函数极求函数极值方法与步方法与步骤：令分区间讨论将极值点代入f(x)算出极值。求。，求一阶驻点和奇点xi。正负号，确定单调区间进而确定极值点。第14页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章
10、 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例7 7 求函数极值。函数定义域为解解令得讨论如图 得 函数极小值为，驻点不是极值点。x-1yy+_+第15页 5-2 一阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例8 8 求函数极值。函数定义域为 解解奇点，驻点讨论如图 得，函数极大值为，极小值为x0yy+_+第16页 5-3 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v
11、第7章 定积分应用v第8章 微分方程 曲线凹凸区间判定（如图）曲线凹凸区间判定（如图）直观看曲线“往上弯”为凹凹，每点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸凸，每点切线在曲线上方。xy0 xy0abbay=f(x)y=f(x)a图b图第17页 5-3 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 深入深入观察曲察曲线凹凸性与切凹凸性与切线关系关系a图曲线是凹,切线倾斜角 为锐角，且由小变大，是递增，有f(x)递增，则表明有 递增，反之亦然，这就得到有f(x)凹；(b）图同理
12、有，f(x)凸。回想曲线上凹凸分界点叫做曲线拐点拐点。第18页 5-2 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例9 9 求凹凸区间和拐点。解解 函数定义域为，令（为二阶驻点）讨论如图 得 曲线在凸，在凹，拐点为（3，-146）。x3-+1041045252-146-146-464-4646 63 3-2-2x xy y草图草图 5-3 二阶导数应用第19页 5-3 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v
13、第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 求曲求曲线凹凸区凹凸区间、拐点与、拐点与单调区区间、极、极值步步骤与关与关键点点类似似：、（2）求二阶驻点和奇点xi；其分界点xi代回函数f(x)，并算出f(xi)，则有拐点。（1）求；（3）由xi分区间讨论符号确定凹凸区间；第20页 5-3 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1010 求曲线凹凸区间和拐点。解解 函数定义域为 ，有二阶奇点x=0，讨论如图 得 曲线在凸，在可可见
14、，二，二阶导数不存在点也可能是曲数不存在点也可能是曲线拐点拐点 凹，拐点为（0，0）x0-+第21页 5-3 二阶导数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 曲线形态判别方法小结曲线形态判别方法小结 曲线增减与极值1、极值为增减区间分界点2、步骤（1）求（2）求一阶驻点、奇点xi；（3）以xi分区间讨论曲线凹凸与拐点1、拐点为凹凸区间分界点2、步骤（1）求、（2）求二阶驻点、奇点xi（3）以xi分区间讨论；符号确定增减区间与极值符号确定凹凸区间与拐点第22页 5-4 数学
15、建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 求出一些量最大值和最小值对于许多实际问题都显得十分主要。比如求时间最短、利润最大、成本最低等等。对应，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或说必须用优化思想、方法去分析处理。初等数学中用二次函数、三角函数、不等式等等方法能够求函数最值，这里我们将看到，高等数学用导数怎样提供一个更有效方法来处理许多最优化问题。第23页 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章
16、求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1313 求在-3，3上最大值和最小值。从以上讨论可知，函数最值只可能在函数极值或区间端点处，于是求函数最值方法是先求f(x)极值可能点xi，再求f(xi)和f(a)、f(b)，从中比较出最大为最大值，最小为最小值。解解，令 得驻点，计算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。比较比较 得函数在-3，3上最大值为f(-3)=f(3)=10，最小值为f(-2)=f(2)=-15。第24页 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章
17、定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例14 生产易拉罐饮料，其容积V一定时，希望制易拉罐材料最省。假设易拉罐侧面和底面厚度相同，而顶部厚度是底、侧面厚度三倍，试求易拉罐高和底面直径。市场上易拉罐，其高和底面直径之比是否符合你得到结论。解解 假定易拉罐是圆柱形，设其高为h，底面圆半径为r，则顶厚度为故所需材料为再设底、侧面金属板厚度为再由已知条件消去一个变元，即r、h满足约束条件（定值）代入上式将第25页 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应
18、用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 计算 令，解得讨论如图 故是f(r)唯一极小值，因而是最小值点此时，易拉罐直径为 易拉罐高为 即易拉罐高是底面直径一倍。市场上不少易拉罐，如可口可乐、椰汁等，与此结果近似。r0-第26页 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 在开区间上怎样求最值？有这么结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值则这个极小（大）就是最小（大）值。注意注意：最值与极值关系：最值与极
19、值关系第27页 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 4.题设中已知什么条件，将其表示出来（约束条件），将约束条件代入目标函数消元、化简；数学建模实用提醒数学建模实用提醒1.最优化模型通常是由目标函数与约束条件组成；2.全方面分析问题，确认优化哪个量，则考虑求其函数（目标函数）；3.求目标函数需要依据（找）一些公式，如面积、体积公式、旅程公式、勾股定理、三角公式、牛顿定律、浮力定律等等；5.用导数方法求极值进而求出最值。第28页 5-5 微分：导
20、数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 假如说用导数判定确定函数单调性、极值、曲线凹凸性、拐点，是导数在几何上应用，那么这里“微分微分”则主要是导数在代数上代数上应用。因为“微分”主要问题是函数近似计算怎样求一个函数改变量？微分概念及思想微分概念及思想设函数y=f(x)导数存在，即，由极限概念令，称它为函数f(x)微分微分。并记 ，则，则第29页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导
21、数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例16 求函数微分解解需要注意需要注意：(1)微分意义微分意义因为，说明能够用微分求函数改变量，即这里越小近似程度越好。(2)微分思想微分思想以下列图所表示：第30页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 如右图所表示：MT是y=f(x)在M点切线微分，当较小时，可用直线MT来近似曲线MP（或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。可见，“以直代曲以直代曲”是微分一个基本思想。是微分
22、一个基本思想。于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小一部分”。x x0 0y yMMP PT TN Nx xX+X+X Xy=f(x)y=f(x)第31页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程(3)微分计算微分计算因为，所以，“求微分就是求导数求微分就是求导数”（而且在存在情况下，可微与可导等价）。，可微与可导等价）。于是，由导数公式与法则可直接得到微分公式与法则，以下表 微分基本公式（略）微分
23、基本公式（略）微分四则运算法则微分四则运算法则设u、v是x可导函数，则第32页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 复合函数微分复合函数微分 不论u是自变量还是中间变量例17 求函数微分解解例18 填空：（）（）（）（）第33页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例19 在下面括号中以适当函数填空
24、：分析例17求微分是经过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似求导公式，然后猜察反推和屡次试算求导公式，然后猜察反推和屡次试算。解说明说明：由微分逆运算求原函数是接下来第6章讲内容，经过求原函数可求定积分。第34页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 微分近似计算微分近似计算由得到近似公式：例20 求近似值解设代入上述近似公式得第35页 5-5 微分：导数代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例21 证实近似公式：证实类似地，能够证实当较小时有下面近似公式第36页
