1、习题课一、一、曲线积分计算法曲线积分计算法二、曲面积分计算法二、曲面积分计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线与曲面积分计算曲线与曲面积分计算 第五章 第1页一、一、曲线积分计算法曲线积分计算法1.基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类(对弧长对弧长)第二类第二类(对坐标对坐标)(1)统一积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类:下小上大下小上大第二类第二类:下始上终下始上终机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页(1)利用对称性简化计算
2、利用对称性简化计算;(2)利用积分与路径无关利用积分与路径无关等价条件等价条件;(3)利用格林公式利用格林公式(注意注意加辅助线技巧加辅助线技巧);(4)利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分联络公式利用两类曲线积分联络公式.2.2.基本技巧基本技巧基本技巧基本技巧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页二、曲面积分计算法二、曲面积分计算法1.1.基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类(对面积对面积 )第二类第二类(对坐标对坐标)转化转化二重积分二重积分(1)(1)统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2)(2)积分元素投影积分元
3、素投影第一类第一类:一直非负一直非负第二类第二类:有向投影有向投影(3)(3)确定二重积分域确定二重积分域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页2.2.2.2.基本技巧基本技巧基本技巧基本技巧(1)(1)利用对称性简化计算利用对称性简化计算(2)(2)利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面技巧添加辅助面技巧(辅助面普通取平行坐标面平面辅助面普通取平行坐标面平面)(3)(3)两类曲面积分转化两类曲面积分转化机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页1.计算计算其中其中L为圆周为圆周方法方法1:用参数方程计算用参数方程
4、计算则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 原式原式=第6页1.计算计算其中其中L为圆周为圆周方法方法2:利用极坐标利用极坐标,原式原式=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页例例例例2.2.计算计算其中 为曲线解解:利用轮换对称性,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页其中其中L为摆线为摆线上对应上对应 t 从从 0 到到 2 一段弧一段弧.解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.3.计算计算计算计算第9页其中其中 由平面由平面 y=z 截球面截球面解解:曲线曲线 参数方程参数方程故故原式原式=从从 z
5、轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.4.计算计算计算计算第10页原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页例例例例5.5.验证验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令则由定理定理 2 可知存在原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页思索与练习思索与练习1.设且都取正向,问以下计算是否正确?提醒提醒:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页2.2.设设提醒提醒:第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第15页例例例例6.6.计算计算其中L 是沿逆
6、时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页解法解法解法解法2 2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页7.计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 顺时针方向。顺时针方向。其中其中L 为以原点为中心为以原点为中心,a 为半径上半圆周为半径上半圆周解法解法第18页计算其中L为上半圆周解解:沿逆时针方向.8.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作所作功功,其中其中 为平面为平面 x+y+z
7、=1 被三个坐标面所截成三角形整个被三个坐标面所截成三角形整个提醒提醒:方法方法1边界边界,从从 z 轴正向看去沿轴正向看去沿顺时针方向顺时针方向.利用轮换对称性利用轮换对称性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9.9.第20页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页斯托克斯斯托克斯斯托克斯斯托克斯(Stokes)(Stokes)公式公式公式公式 第22页设三角形区域为,方向取上侧,则方法方法2利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页思思 考考 题题1)二重积分是哪一类积分?答答:第一类曲面积分特例.2)设曲面问以下等式是否成立?
8、不对不对!对坐标积分与 侧相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页其中其中 为柱面为柱面得位于第一卦线部分得位于第一卦线部分.解解:外侧外侧被平面被平面 z=0,z=3 所截所截机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例1.1.计算计算计算计算 ：外侧，垂直于外侧，垂直于oxy面面,：为前侧为前侧第25页故故第26页其中其中 为圆柱面为圆柱面被平面被平面 x+z=2 和和 z=0所截出部分。所截出部分。解解:2.计算计算作辅助面作辅助面,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页其中其中 为下半球面为下半球面上侧。上侧。解解:3.计
9、算计算作辅助面作辅助面,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页其中其中 为锥面为锥面介于介于 z=0 及及z=h 之间部分之间部分下侧下侧.则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法1 取取例例4.4利用利用Gauss 公式计算积分公式计算积分上侧上侧所围区域为所围区域为 第29页而而利用对称性注意第30页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页其中其中 为锥面为锥面介于介于 z=0 及及z=h 之间部分之间部分下侧下侧.则法向量则法向量 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2例例4.4利用利用G
10、auss 公式计算积分公式计算积分为下侧为下侧第32页第33页设设 为曲面为曲面取上侧取上侧,求求 解解:取取 下侧下侧用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例4.5.4.5.第34页6 设设 是一光滑闭曲面是一光滑闭曲面,所围立体 体 是 外法线向量与点(x,y,z)向径试证证证:设 单位外法向量为 则夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面技巧)(2)推出闭曲面积分为零充要条件:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页
11、思索与练习思索与练习所围立体,判断以下演算是否正确?(1)(2)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页例例例例8.8.计算曲面积分计算曲面积分其中,解解:思索思索:本题 改为椭球面时,应怎样计算?提醒提醒:在椭球面内作辅助小球面内侧,然后用高斯公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页例例例例9.9.证实证实:设(常向量)则单位外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页例例例例10.10.计算曲面积分计算曲面积分中 是球面解解:利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页*例例例例11.11.11.11.置于原点,电量为 q 点电荷产生场强为解解:计算结果与仅原点有点电荷事实相符.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第43页例例例例12.12.设L 是平面与柱面交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分上侧,D为在 xoy 面上投影.由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 第44页D 形心机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页设在右半平面 x 0 内,力组成力场,其中k 为常数,证实在此力场中场力所作功与所取路径无关.提醒提醒:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 7.第47页
