1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第四讲第四讲第四讲第四讲 数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第1页第二章 数列极限与常数项级数本章学习要求：第2页第二章 数列极限与常数项级数第二节第二节 数列极限收敛准则数列极限收敛准则第三节第三节 数列极限运算数列极限运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量三、极限运算四、施笃兹定理及其应用第3页1.单调收敛准则 单调降低有下界数列必有极限.单调增加有
2、上界数列必有极限.一、数列极限收敛准则 通常说成：单调有界数列必有极限通常说成：单调有界数列必有极限.第4页证证由中学牛顿二项式展开公式例例1第5页类似地,有第6页第7页又 等比数列求和 放大不等式每个括号小于 1.第8页 总而言之,数列xn是单调增加且有上界,由极限存在准则可知,该数列极限存在,通常将它纪为 e,即e 称为欧拉常数.第9页第10页 欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），
3、与他共同生活40年结发之妻先他10年逝世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体组员。第11页 欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版论著。仅仅双目失明后 17 年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是当前已知结果最多数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲愿望，学了一段时期神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉含有超人计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，17861853
4、）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风翱翔一样。”第12页 有一次，欧拉两个学生计算一个复杂收敛级数和，加到第17 项时两人发觉在第 50 位数字相差一个单位。为了确定终究谁对，欧拉专心算进行了全部运算，准确地找出了错误。尤其是在他双目失明后，利专心算处理了使牛顿头疼月球运动复杂分析运算。欧拉创用 a，b，c 表示三角形三条边，用 A，B，C表示对应三个角(1748)；创用 表示求和符号(1755)；提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数底；还用y 表示差分等等。十八世纪四十年代，欧拉一些著作就已传到中国，如他在1748年出版无穷分析引论。第13页2
5、.数列极限夹逼定理设数列 xn,yn,zn 满足以下关系:(2)则(1)yn xn zn,n Z+(或从某一项开始);想想：怎样证实夹逼定理?第14页第15页解解因为例例2想得通吧？想得通吧？第16页解解例例3第17页 夹逼定理夹逼定理例例4解解第18页例例5解解 夹逼定理夹逼定理请自己做!第19页有界数列主要性质有界数列主要性质由任何有界数列必能选出收敛子数列由任何有界数列必能选出收敛子数列.定理定理定理定理第20页左端点组成单调增加数列左端点组成单调增加数列右端点组成单调降低数列右端点组成单调降低数列第21页第22页上面所用到方法归结起来称为“区间套定理”.(区间套定理)定理定理定理定理第
6、23页3.柯西收敛准则 满足此条件数列,称为“柯西列”.柯西准则可写为:第24页证证由柯西收敛准则可知,该数列是发散.例例6第25页证证由柯西收敛准则可知,该数列是收敛.例例7第26页 柯柯 西西 A.L.Cauchy (17891857)业绩永存业绩永存 数学大师数学大师第27页 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学律师，与当初法国大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往亲密。少年时代柯西数学才华就颇受这两位大数学赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日提议下，其父亲加强了对柯西文学素质培养，使得以后柯西在诗歌方面也表现出很高才华。18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两
7、年后以第一名成绩被巴黎桥梁公路学院录用，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。第28页 因为身体欠佳，接收拉格朗日和拉普拉斯劝说，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清楚分析体系。这是微积分发展史上一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说极限定义或定义。当今全部微积分教科书都还（最少在本质上）沿用柯
8、西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统开创性工作。他把定积分定义为和极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分存在性。第29页 他首先利用中值定理证实了微积分基本定理。经过柯西以及以后维尔斯特拉斯艰辛工作，使数学分析基本概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想上混乱局面，并使微积分发展为当代数学最基础、最庞大数学学科。数学分析严谨化工作一开始就产生了很大影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表与级数相关论文和著作全部检验一遍，确认无误为止。第30页 柯西一生撰写数学论著有800各种。他是19 个
9、科学院或著名学术团体组员。1838年他还被授予男爵封号。他在学术上贡献包括到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。柯西一生最大错误是“失落”了才华出众年轻数学家伽罗华与阿贝尔开创性论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他临终遗言：“人总是要死，但他们业绩永存。人总是要死，但他们业绩永存。”第31页二、无穷小量与无穷大量1.1.无穷小量无穷小量 对数列极限描述,实际上,就是对整序变量极限描述.第32页(1)(1)无穷小量定义无穷小量定义 简言之：以零为极限量,为该极限过程中无穷小
10、量.无穷小量描述是变量改变趋势无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数不是指一个很小数.第33页 无穷小量描述是变量改变趋势无穷小量描述是变量改变趋势,不是指一个很小数不是指一个很小数.例例8第34页(2)(2)无穷小量运算性质无穷小量运算性质两个无穷小量商情况比较复杂,以后会专门讨论.(推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.)第35页证证 其它性质可仿此进行证实.第36页几个问题几个问题结结 论论第37页2.2.无穷大量无穷大量 首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,无穷大量不是指一个很大数,也是描述变量改变趋势.第38页(1)(1)无穷大量定义无穷大量定义定义无穷大量时,用是绝对值
11、去掉绝对值符号,则能够定义正无穷大量和负无穷大量.去掉绝对值符号去掉绝对值符号会怎么样？会怎么样？第39页第40页 无穷大量描述是变量改变趋势无穷大量描述是变量改变趋势,不是指一个很大数不是指一个很大数.例例9第41页由无穷大量与无界量定义是否可得出:无穷大量一定是无界量无穷大量一定是无界量,反之反之,无界量一定是无穷大量无界量一定是无穷大量?无穷大量一定是无界量无穷大量一定是无界量.无界量不一定是无穷大量无界量不一定是无穷大量.几个问题几个问题考查例题考查例题结结 论论第42页(2)(2)无穷小量与无穷大量关系无穷小量与无穷大量关系 无穷小量与无穷大量互为倒数关系？分母不能为零第43页第44
12、页 利用无穷小量与无穷大量关系能够将一些无穷大量运算归结为相应无穷小量运算,并可得到相关无穷大量运算性质.第45页几个问题几个问题结结 论论第46页考查例题考查例题利用这里提供数列能够得出上面结论利用这里提供数列能够得出上面结论.第47页(3)(3)无穷大量运算性质无穷大量运算性质请同学自己证实.第48页(1)(1)无穷小量与极限关系无穷小量与极限关系上述过程显然能够反推过去,于是就可得出下面主要定理：三、极限运算定理怎么写？定理怎么写？第49页定理或写为第50页(2)(2)数列数列(整序变量整序变量)极限运算极限运算第51页证由无穷小量运算性质,可得到其余证实由学其余证实由学生自己完成生自己
13、完成第52页解解因为两个无穷大量差不一定是无穷大,所以进行变形处理：例例10第53页 部分分式法例例11解解第54页 几何平均值极限公式例例12解解第55页例例13解解第56页 类似该例做法,还能够得到以下结果:第57页例例14解解除最大一个外,其余均取为零.第58页例例15解解第59页例例16证证第60页例例17证证第61页四、施笃兹(O.Stolz)定理及其应用 利用施笃兹定理计算数列极限利用施笃兹定理计算数列极限,往往会使问题变得十分简单往往会使问题变得十分简单.施笃兹定理:第62页解解由施笃兹定理,令则例例18算术平均值由此由此,利用对数函数可得出例利用对数函数可得出例1212几何平均极限几何平均极限.第63页例例19证证证证展开后得第64页算数平均值算数平均值算数平均值算数平均值第65页剩下问题请同学自己处理。剩下问题请同学自己处理。第66页
