1、3.7 3.7 拉普拉斯定理与行列式乘法规则拉普拉斯定理与行列式乘法规则 利用行列式按行（列）展开式能够把利用行列式按行（列）展开式能够把n n阶行列式化为阶行列式化为n-1n-1阶行列式来处理，阶行列式来处理，这在简这在简化计算以及理论证实中都有很好应用化计算以及理论证实中都有很好应用.有时有时我们还能够依据行列式结构把一个我们还能够依据行列式结构把一个n n阶行列阶行列式一次性地降为一个式一次性地降为一个n-kn-k（1kn)1kn)阶行列式阶行列式来处理，这时就要用到拉普拉斯来处理，这时就要用到拉普拉斯（Laplace）展开定理展开定理.1/133.7.1 3.7.1 k k 阶子式及其
2、余子式、代数余子式阶子式及其余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式行列式 D 中任意中任意选定定 k 行行 k 列列按原来相按原来相对次序次序组成成k 阶行列式行列式 S称称为行列行列 ()，位于位于这些行和列交叉点上些行和列交叉点上 个元素个元素式式 D 一个一个 k 阶子式子式；在；在 D 中划去中划去这 k 行行 k 列后，列后，式式 M称称为 S余子式余子式;余下元素按照原来次序余下元素按照原来次序组成成 阶行列行列 2/13若若 k 级子式子式 S 在在 D 中所在行和列序数分中所在行和列序数分别是是 那么在那么在 S 余子式余子式M前面前面后称之后称之为 S 代数代数
3、加上符号加上符号余子式，余子式，记为 3/13比如，行列式第第4 4行行第第2 2行行第第1 1列列 第第3 3列列4/133.7.2 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理由由这 k 行元素所行元素所组成一切成一切k级子式与它子式与它们 在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k()行，行，代数余子式乘代数余子式乘积之和等于之和等于 D设在在D 中取定中取定 k 行，由行，由这 k 行得到行得到 k 级子式子式则 .，它，它们对应代数余子代数余子式分别为式分别为为5/13例例3.13 把行列式把行列式按第按第1,2两行展开两行展开.解解 由第由第1,2两行能两行能够得到得到 =6个个2阶子式子式:6/13代数余子式于是7/13例例3.158/133.7.3 行列式乘法行列式乘法规则规则设n 阶行列式行列式其中其中则则9/13证实证实 作作2n阶行列式行列式由拉普拉斯定理，由拉普拉斯定理，10/13其次，对D作以下恒等变形：可得可得这里里11/13所以，所以，所以所以其中其中12/1313/13
